关联速度问题

王若冰

两个或两个以上物体由轻绳或轻杆连接在一起，或直接挤压在一起，称为关联体，它们的运动称为关联运动。相互关联的两个物体在运动过程中，一般不是都沿绳、杆或接触面运动的，即二者的速度通常不同，但存在某种联系，称为关联速度。要想求解关联速度，就需要找到关联速度间的联系，并正确分解已知速度，下面以由两个物体组成的关联体问题为例，具体说明。

题型一：由绳连接物体的关联速度问题

例1 如图1所示，光滑定滑轮固定在天花板上的O点，一根轻绳跨过定滑轮系在A、B两物体上。若物体A以速度v沿水平地面向左匀速运动，某时刻，系在物体A、B上的两段轻绳分别与水平方向成a、β角，则此时物体B的速度为（   ）。

解析：如图2所示，将物体A的速度沿绳方向与垂直于绳方向进行分解，则沿绳方向的分速度大小v1= vcos a;将物体B的速度沿绳方向与垂直于绳方向进行分解，则沿绳方向的分速度大小v3=vBcosβ。因为同一根轻绳上沿绳方向的速度大小相等，所以v1=

答案.C

点评：求解由轻绳连接的两个物体的关联速度，需要先将两个物体的速度分别沿绳方向和垂直于绳方向进行分解，再根据两个物体沿绳方向的分速度相等建立等量关系，从而使问题得以解决。

题型二：由杆連接物体的关联速度问题

例2 如图3所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙面和水平地面滑动，当轻杆和竖直墙面间的夹角为θ时，轻杆的A端沿墙面下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是（    ）。

答案：C

点评：求解关联速度问题时，一定要找到物体实际发生的运动（合运动），分解的是合速度而不是分速度，这是关键。题型三：相互接触物体的关联速度问题

例3 如图5所示，将楔形木块B放在光滑水平面上靠墙角处并用手扶着，在木块和墙面之间放人一个小球A。已知楔形木块的倾角为θ，放手让小球和木块同时由静止开始运动，某一时刻，二者的速度分别为VA和VB，则（    ）。

点评：处理相互接触物体的关联速度问题时，需要根据物体的运动效果合理分解合速度（实际速度），再根据两物体垂直于接触面方向的分速度相等建立等量关系，从而使问题得以解决。

方法与总结

分析关联速度问题的步骤：

（1）确定合速度的方向：物体实际运动的方向就是合运动的方向，也就是合速度的方向。

（2）确定合运动的两个效果。

由轻绳或可自由转动的轻杆连接物体：

效果1：沿绳或杆方向的运动;

效果2：垂直于绳或杆方向的运动。

相互接触物体：

效果1：沿接触面方向的运动;

效果2：垂直于接触面方向的运动。

（3）画出合速度与分速度的矢量图，确定它们的大小关系。

跟踪训练

1.如图7所示，汽车以速度v向左匀速行驶，跨过定滑轮的轻绳一端系在汽车上，另一端系一质量为M的重物。当汽车到达图示位置时，轻绳与水平方向间的夹角为θ，此时物体M的上升速度大小为多少？（结果用v和θ表示）

2.如图8所示，长为L的直杆一端可绕固定轴o无摩擦地转动，另一端靠在表面光滑的竖直挡板上，挡板以速度v水平向左匀速运动。当直杆与竖直方向间的夹角为臼时，直杆端点A的线速度大小为多少？（结果用v和0表示）

3.一个半径为R的半圆柱体以速度v0水平向右匀速运动，在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图9所示。当杆和半圆柱体的接触点为P时，P点与柱心o的连线与竖直方向间的夹角为θ，此时杆的速度大小为多少？