神奇的三角形内的一点

文王姗姗

（作者单位：江苏省无锡市西漳中学）

一天，几何学家佩多接到了一位经济学家打来的电话：如果等边三角形内有一个点P，无论P的位置在三角形内如何变动，P到三角形三边的距离之和是否总是不变呢？佩多教授马上给了让他满意的答复：

如图1，在等边△ABC中，连接PA、PB、PC。用x、y、z分 别表 示点P到△ABC三边的距离。设等边△ABC边长为a，高为h。

图1

x+y+z=h，即P到等边三角形三边的距离之和等于它的高。

通过解答过程，我们不难发现，一个七年级的学生也能给这位经济学家满意的答复，因为这只是运用了简单的三角形的面积公式。但是，这个问题启发我们思考：如果在任意一个三角形内随便放一个点，会有怎样的发现呢？

如图2，P为△ABC内任意一点，分别连接AP、CP、BP并延长，交BC、AB、AC于点D、F、E。

图2

根 据 题 意，得S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC，

由简单的三角形面积公式和比例的性质，我们得到了这样一个较为复杂的结论。这个问题还可以继续衍生下去。AP、CP、BP的延长线与三角形三边的交点为D、F、E，它们将三角形三边分成了六条线段，这六条线段之间有没有特殊的数量关系呢？

看似平凡的三角形内的一点，藏着多少神奇和奥秘！一个基本图形就像一个万花筒，稍一转动，就能变幻多端、绽放光彩，其实只有几片不起眼的涂色纸片而已。