方程lnx=bx-a两实根和的范围及应用

许银伙

(福建省泉州外国语学校 362000)

方程lnx=bx-a两实根和的范围问题，通常牵涉极值点偏移，是近几年高考模拟卷中的热点题型，在高考中也曾出现.本文通过研究得出常见的六个相关结论，并展示结论相应的推证方法及应用，旨在帮助同学们掌握这类压轴题型的解决方法.

一、结论及证明

结论一当b=1时，若方程lnx=x-a有两不同实根x1,x2，则x1+x2>2.

又因为x2>1，2-x1>1，f(x)在(1,+)上单调递增，所以x2>2-x1，x1+x2>2成立.

结论二当b=1时，方程lnx=x-a有两不同实根x1,x2，则有x1+x2>a+1.

证明设x11.

评注方法一应用二级结论，思路很难想到，需要经验和探究，才可能摸索到.方法二的思路比较常规，但运算量大，而且需要用高等数学的知识才能解决.

结论三当b=1时，若方程lnx=x-a有两不同实根x1,x2，则有x1+x2<2a.

评注结论三的证明仍然是采用了构造函数，利用新函数在极值点两侧的单调性，类似于结论一证明的方法一，运用分析法，它们新函数的构造应该都是自然会想到的.

利用结论二，仿照结论四证明，过程略.

利用结论三，仿照结论四证明，过程略.

二、应用例题

(1)求实数a的取值范围；

(1)求实数a的取值范围；

(2)求证：x1x2>e2.

例3 已知函数f(x)=ex-kx-2k有两不同的零点x1,x2，求证：x1+x2>-2.

记t1=x1+2，t2=x2+2，由已知得：t1,t2是方程lnx=x-(2+lnk)的两不同实根，由结论一得：t1+t2>2，所以x1+x2>-2成立.

例4 已知函数f(x)=ex-3x-m有两不同零点x1,x2，求证：ex1+ex2>6.

(1)求实数a的取值范围；

(2)求证：2lnx1+lnx2<0.

解析(1)f′(x)=lnx-x+a，f′(x)有两不同零点，可得a∈(1,+)(过程略). (2)由已知得：lnx1=x1-a，lnx2=x2-a，01，lnx1<0.由结论三得：x1+x2<2a.则2lnx1+lnx2

(1)求实数a的取值范围；

例7 已知函数f(x)=x-lnx+a有两零点x1,x2，且x1

(1)求实数a的取值范围；

解析(1)实数a的取值范围a<-1(过程略).

三、相应练习

(1)若x>0时，f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围；

2. 已知函数f(x)=lnx-x.

3. 已知函数f(x)=ex-ax2-ax(a>0)有两个不同的极值点x1,x2.

(1)求实数a的取值范围；

(2)求证：x1+x2

参考答案