高中数学均值定理及其应用探讨

张连英

摘 要：在高中的数学学习中，均值定理是一项工具性知识内容。同时不少学生在学习均值定理的过程中，对均值定理没有深刻的理解，不能正确的应用均值定理解决问题，不能熟练的灵活的运用均值定理。在这样的背景下，做为一名高中的数学老师，要深刻的认识到均值定理的广泛用处，了解到均值定理在高中数学中的重要作用。所以教师在日常的教学过程中，要注意向学生展示均值定理在解决问题方面的的突出特点，帮助学生加深对均值定理的理解。本文就高中数学均值定理及其应用探讨展开讨论。

关键词：高中数学;均值定理;应用

高中阶段的均值定理在学生的学习过程中，是一个比较难以理解的知识点。因为高中生更加的习惯于叫算出准确的结果，对于均值定理这样的不等式表达方式没有明确的认识。学生在学习的时候对均值定理不够重视，在解题的过程中就不会有有效的练习。在高中阶段的学习过程中，有很多部分的习题都可以利用均值定理进行解答，就算不能利用均值定理解出正确的答案，也可以对解决问题提供一定的帮助。做为一名高中的数学老师，要帮助学生建立起对均值定理的正确理解，让学生了解到均值定理的广泛应用，帮助学生提高解题的效率，提高学生成绩。

1、均值定理的内容

均值定理是建立在均值不等式的只是基础上的一个工具性定理，要想对均值定理的的内容有所了解，就要掌握好不等式的相关知识。但是对于高中生来说，基础的不等式知识是比较简单的，学生也更容易掌握。但是学生对于均值定理的理解是有些困难的。对于均值定理的内容（a+b）/2>=（ab）1/2来说，是由于一定的使用条件的，教师在教学的过程中要着重强调均值定理的使用条件。对于这样的均值定理来说，其中的a、b都要求是正数，而且当且仅当a=b的时候，才能取到等于号。而对于的均值定理的变式a2+b2>=2ab来说，仅仅是要求a、b属于实数即可。同时在教材里把（a+b）/2定义为算数平均数，把（ab）1/2称为a、b的几何平均数，所以也可以把均值定理表述成两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数。在高中的教学阶段中， 教师要非常注意到对于均值不等式的条件的讲解，在日常的应用过程中，也要注意到对应用条件的讲解与推导。均值定理在高中阶段的解题过程中，有着非常重要的应用。在解决一些不等式问题、导数问题、函数问题以及一些比较特殊的选择填空问题的时候，都有着非常重要的应用。有效的利用均值定理进行解题，在一些特殊的问题里，可以更准确的、更快速的得出正确的答案。均值定理的应用是非常广泛，特别是利用均值定理的特殊条件，可以有效的解决选择、填空中的最值问题。所以老师要注意均值定理的讲解，帮助学生有效的理解均值定理，灵活的应用的均值定理，提高做题的效率，提高学生的数学成就。

2、均值定理的有效应用

2.1深刻理解均值定理

想要有效的应用对均值定理，首先就要对均值定理有一定的理解。对于学生来说不仅要记住均值定理的内容和适用条件，还要对均值定理的内容有一定的理解。应用是要建立在一定的理解上，对知识的理解的越深刻，对知识的利用就越灵活，在这样的条件中，学生才能提高成绩。对于教师来说，就要注意在上课的过程中，对均值定理进行有效的讲解，帮助学生加深对均值定理的理解。老师在讲解的过程中，要注意与之前的知识相联系，加强学生的基础，还要利用各种方法提高学生的学习兴趣，同时要让学生认识到均值定理的重要作用。

例如在人教版教材中第二章2.2节《基本不等式》的讲解过程中，就要利用各种有效的教学方法，帮助学生深刻的理解均值定理。在上课的时候，教师可以先利用多媒体技术帮助学生复习一下不等式的知识点，帮助学生巩固好基础。然后教师就要结合教材的内容，给出均值不等式，让学生利用不等式的知识加以证明。这个知识的证明比较简单，基本上所有学生都可以完成。然后就要向学生明确基本不等式的使用条件。帮助学生加深对均值不等式的理解。然后教师可以利用反证法在黑板上板书证明均值不等式的应用条件，加深学生的记忆。之后就要结合几何图形帮助学生理解均值不等式的几何意义。教师在黑板上画个圆，找出圆心，做直径，做出垂直于直径的一条弦。让学生思考，如何用这个图形证明基本不等式。学习比较好，观察能力比较强的学生就可以发现均值定理的几何解释，即半径不小于半弦长，仅当半弦通过圆心是二者相等。这样的教学过程就可以让学生清晰的感受到均值定理的内容和使用条件，对学生深刻的理解均值定理有很大的帮助。

2.2利用均值的定理解决最值问题

最值问题是高考中的热点问题，是具有一定难度的问题。均值定理最基本的也是最常见的应用就是解决最值问题。根据均值定理的内容可以知道，当几个正数的和为定值的时候，它们的积就可以利用均值定理取得最值，同样如果积是定值也可以利用均值定理取得最值。当然在高中的教学背景下，数学题目的设计有简单的也有困难的，对学生能力考察也是比较全面的。所以作为一名高中的数学老师，想要让学生在考试中能够正确的使用均值定理，不仅要帮助学生打好不等式的基础，还要让学生对均值定理有更加深刻的理解，真正的做到灵活的运用均值定理。

例如教师在设计练习题的时候，纪要注意到均值定理这一方面的应用。可以设置一些简单的应用帮助学生巩固基础，设置一个到两个有难度的帮助学生拓宽思维。教师在上课的时候对于例题的选择是非常重要的，如果选择一些过于简单的习题作为例题，不能突出均值定理的优点，学生对均值定理的内容就不能明确的认识。如果选择的题目太难，对于刚学习到均值定理的学生来说又难以理解，打击学生的自信心。所以例题的选择是非常重要的。像a>b>0，求a2+16/b（a-b）的最小值，这样的題目已知条件里明确的满足了均值不等式的使用条件，有助于学生把解题思路放在均值定理上，学生在解题的时候只需要对题目的结构进行适当的变形，就可以发现利用均值定理解决问题的方法，得出24的正确答案，利用均值定理解决最值问题是每个学生都应该掌握的。

2.3利用均值定理解决证明问题

利用均值定理不等式的形式，可以用来对一些不等式的证明，但是在证明不等式成立的时候，需要注意到均值定理的使用条件，即都是正数而且和或者乘积为定值，才可以可利用均值不等式解决证明问题。老师在讲解均值定理的时候，就要向学生介绍这一方面的内容。虽然这种证明不是高考考察的重点，但是它也在均值定理的考察范围内，对于高考的准备不能有半点的侥幸心理。同时对于这类应用的掌握，有利于培养学生发散性的思维，会在学生学习其他的内容是提供一定的帮助，有利于学生成绩的提高。

例如在教学的过程中，老师就可以设置一些不等式证明的题目，用来给学生讲解均值定理在证明上的应用。老师在上课的时候就可以板书题目：已知X1X2.......Xn=1，且X1X2......XN均大于零，求证（1+X1）（1+X2）......（1+Xn）>=2n，这样的题目就就可以利用均值定理进行求解。然后让学生短暂的思考一下，然后老师就可以提问学生：“大家有什么解题思路吗”然后叫几个学生回答，然后老师就要给出正确的解答思路，告诉学生们要利用均值定理进行解答，并提醒学生在解答时应该注意到的一些问题。然后给学生一些时间，让学生进行解题，老师在这个时候就要观察学生的答题状态，适当的调整自己的教学计划。在班级里的大部分的学生读出结果后，教师就要在黑板上讲解这道题，帮助学生加深理解。然后还要留几个练习题帮助学生巩固知识，加深记忆。

2.4利用均值定理解决函数问题

函数问题是高中阶段非常重要的学习内容，难度相较于其他的学习内容来说也是比较难的，想要解答这类问题需要学生有较强的基础和数学思维。利用基础的均值定理可以有效的帮助学生解决一部分的函数问题。均值定理在函数问题中的应用还是比较常见的，而且一般来说难度不大，大部分的学生都可以拿到这部分的分数。因为函数的题型灵活多变，就需要学生具有较强的逻辑思维与扎实的基础知识。在日常的教学活动中就需要加强对学生基础的练习。

例如在进行这一部分的复习的时候，就要从基础抓起。在三角函数问题中，均值定理有着非常广泛的应用，所以利用均值定理解决三角函数问题就是教学的重点之一，同时也是高考考察的重点。用传统的方法解决三角函数的问题，过程繁琐，需要多次的频繁的利用三角公式进行变换，学生在解题的过程中非常容易出错，然而如果利用均值定理解答就会变得简单很多。不仅会节约学生大量的时间，还会提高学生的准确性，可以有效的提高学生的考试成绩。

结束语

在高中阶段的均值定理是一个非常重要的内容，不仅在高考中占据着很重要的地位，而且在利用均值不等式解决问题的过程中，还扩宽了学生的解题思路，而且均值定理与其他的知识也有很密切的联系，可以帮助学生加深对其他知识的理解。帮助学生找到了新的解题方法，有利于学生在高考中取得更好的成绩。

参考文献：

[1]汤茂林. 二元均值定理的高等证法[J]. 保山学院学报，2012，31（5）：38-40. .1674-9340.2012.05.010.

[2]刘晓明. 均值定理及其應用探讨[J]. 中山大学学报论丛，2006，26（6）：61-66. 1674-3202.2006.06.017.

1780501705236