数学习题课中的教学实效

李金亮

教学实效是通过学生课堂的学习情况来衡量的，在数学习题课中最能体现教学实效，数学习题课是通过习题为载体对数学知识、数学方法、数学思想的一个有效整合，通过有效整合有时会产生知识和方法的创新。习题课中教师引导得恰当的话将会成为学生大展“数学拳脚”的舞台，学生的数学能力将得到有效的锻炼和体现，下面教学案例是我的一节习题课教学片段。

例  在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球;第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按右图所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则     ;      （答案用n表示）

（大部分学生能读懂题目的意思，少数学生读题目的理解存在困难，但通过稍加提示能理解）

教师：第1堆有1个，第2堆有（1+2）+1个，第3堆有（1+2+3）+（1+2）+1个，以此类推，第n堆的乒乓球数请同学们在草稿本上试着表示。

（老师巡视，让以学生把结果写在黑板上）

第n堆的乒乓球数为（1+2+…+n）+（1+2+…+n-1）+…+（1+2）+1个

教师：通过这个式子我们想到等差数列{n}的前n项和公式 =n（n+1）/2，第一堆有个，第二堆有+个，…… ，第n堆有++…+个 ，我们先解决  ++…+的表达式， ++…+，下面请同学们把这个式子进行化简，三分钟后教师和学生一起在黑板上写出化简过程

[1*（1+1）+2（2+1）+…+n*（n+1）]/2

= [（1+2+…+n）+（12+22+   +32+…+n2）]/2，

又因为12+22+ +32+…+n2=n（n+1）（2n+1） /6（上节课已推导），

于是[n（n+1）/2+ n（n+1）（2n+1） /6] /2，

=n（n+1）（n+2） /6.

本题答案10，n（n+1）（n+2） /6.

就上述的解题教学对于中等以上学生，除了上述的基本收获外，教师还可以创造性地设置学生数学素养提升的平台，引导学生的创造性发现。 对上面的解题教学我又作了如下设计：

教师：我们的工作不仅仅停留在对问题的解决上，同学们可以尝试一下对此类问题作出推广。

（此言一出，学生们顿时产生了困惑）

教师：我们一起来对问题做一下推广：对自然列= n ， 记{}的前n项和为，把看成一个数列的通项，得到一个新数列{}，记{}的前n项和为，又把看成一个新数列的通项，记{}的前n项和为，……，以此类推有（k =1、2、3、……），

在学生学习过程中成功和失败的期望可以表现为一个任务有多种不同的价值要求，教师要为学生开放的能力提供一整套可修改的办法 ，应该向学生解释，不是所有学生都能学好这些能力，但每个学生能至少学好某一能力[1]，这样会增强学生的学习积极性，以至在整个教学过程中不同层次学生对数学学习都有所收获。

下面我引领学生一起来设法求出的表达式

分析问题

= n ，  = n（n+1）/2，

于是= ++…+

= n（n+1）（n+2） /6 （前面已求），

观察= n（n+1）/2=，= n（n+1）（n+2） /6=，

（能够观察出这一点是问题解决的关键）

所以有==+++…+，

于是我们可以猜想

如果=+++…+ 成成立，

就有==n（n+1）（n+2）（n+3） /4！，

如果=+++…+ ① 成立，

就有==n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4） /5！

=（n+4）！ /5！（n-1）！，

更一般地，如果=+++…+成了，

就有=（n+k）！ /（k+1）！（n-1）！.

对问题的解决关键要证明①式成立，现证如下：

证明：∵+=（组合数公式）

∴+++…+

=+++…+

=++…+

……

=+=，

∴=+++…+成立.

于是==（n+k）！ /（k+1）！（n-1）！ （k=1、2、3、……）。

之后我对学生们说此问题的解决可以看作是一个创造性的发现，并让学生们给取一个名字。通过学生们的讨论与评选，最后确定了的名字——广义前n项和，于是我们象数学家一样得到了数学上新的东西，具体如下：

广义前n项和：对自然列= n  记{}的前n项和为，把看成一个数列的通项，得到一个新数列{}，记{}的前n项和为，又把看成一个新数列的通项，记{}的前n项和为，……，以此类推有（k=1、2、3、……），就被稱为广义前n项和，且==（n+k）！ /（k+1）！（n-1）！ （k=1、2、3、……）。

在教学过程中这一创造性发现是围绕学生主体进行的，每一步的推导是以学生思维的启发为动力，教师只起一个导向的作用，现代教学论认为，在教学过程中，教师要引导学生的思维，就像蚂蚁吃苹果，如果他只在外面，总觉得光溜溜的，没味道，一旦咬开一个洞进去，就越啃越有味道了，教师在课堂中的作用就是要引导学生“咬开一个洞”，让学生钻进去。学生钻进去固然会体会到数学的甜与美，产生了对数学的情怀[2]。

参考文献

[1] Jo Boaler， Stanford University. “Opening Our Ideas”： How a detracked mathematics approach promoted respect， responsibility， and high achievement. [M] In Theory into Practice， Winter 2006， Vol. 45， No. 1

[2] 张思明.用心做教育 [M]. 高等教育出版社出版. 2005.8.1

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