深化知识理解　彰显育人导向

摘  要：以一节习题课为例，阐述教师需要深化知识理解，优化课堂习题，重视信息技术，调整教学方法，做到将动手操作、构建思路、知识总结的机会留给学生，从而发挥数学教学的育人导向.

关键词：知识理解;育人导向;数学教学;习题课;[GeoGebra]软件

《普通高中数学课程标准（2017年版）》实施以来，育人为本已经成为数学教育界的共识. 然而，在日常数学教学中，依然存在“重知识轻素养”“重教师讲授轻学生参与”的现象. 这不利于发挥数学的育人价值. 要扭转这种现象，教师就要重视信息技术，调整教学方法，将动手操作、构建思路和课堂总结的机会留给学生，把表扬与鼓励的话语说给学生. 基于该理念，笔者结合一节习题课与同行分享拙见.

一、课堂概述

课前，授课教师板书两道例题，并作出相应图形.

例1 如图1，矩形[ABCD]中，[AB=4， AD=2.] 若[M，N]分别是[CD，BC]的中点，则[AM ∙ MN]的值为（    ）.

例2  如图2，在[△ABC]中，[AB⊥AC]，[M]為[BC]的中点.

（1）若[AB=AC]，求[AB+2AC]与[2AB+AC]夹角的余弦值;

（2）若[O]是线段[AM]上的一点，且[AB=AC=2]，求[OA ∙ OB+OC ∙ OA]的最小值.

上课铃响，教师指定一位学生板演例1，学生的解答过程如下.

[AM ∙ MN=AD+DM ∙ MC+CN=AD ∙ MC+][AD ∙ CN+DM ∙ MC+DM ∙ CN].

因为[M，N]分别是[CD，BC]的中点，

所以[DM=2， MC=2， CN=1].

学生未解答完毕，教师就让他回到座位上，然后继续讲解.

方法1：基向量法.

接着，教师描述解析法（建立适当的平面直角坐标系，用坐标法解决问题的方法），并强调“建系”的一般原则（尽可能对称，尽可能多的点在坐标轴上）. 然后指出利用解析法求平面向量的数量积的关键是准确找出相关点的坐标，边讲边板书.（没有给学生留时间建系.）

方法2：解析法.

建立如图3所示的平面直角坐标系，则可以得到[A0，0，B4，0，C4，2，D0，2，M2，2，N4，1][AM=2，2， MN=2，-1， AM ∙ MN=2×2+2×][-1=2].

最后教师点评，基向量法“只能硬攻，不能巧求”，解析法“不能硬攻，只需巧求”.

（2）例2的概述.

教师让学生结合图2理解例2，边讲边板书.

方法1：基向量法.

（1）[AB=a， AC=b，cosθ=a+2b ∙ 2a+ba+2b2a+b=45.]

（2）设[AO=λAM0≤λ≤1， OA=-λAM=-λ2a+b，][OB=OA+AB=1-λ2a-λ2b]，[OC=OA+AC=-λ2a+][1-λ2b]. 原式=[OA ∙ OB+OC=-λ2a+b ∙ 1-λa+1-λb=][2λ2-λ=2λ-122-12≥-12]，最小值为[-12].

接着教师讲了以下两种方法.

（二次函数法）令[OA=t， OM=1-t，0≤t≤1，][OA ∙ OB+OC=2OA ∙ OM=-2OA ∙ OM=-2t1-t=][2t2-t=][2t-122-12≥-12].

（基本不等式法）令[OA=a， OM=b，a+b=1，][ OA ∙ OB+OC=2OA ∙ OM=-2ab≥-2a+b22=-12.]

方法2：解析法.

建立如图4所示的平面直角坐标系.

（1）设[AB=AC=tt>0. A0，0，Bt，0，C0，t，][AB=t，0， AC=0，t. ]

则[AB+2AC=t，2t，2AB+AC=2t，t，cosθ=][2t2+2t25t ⋅ 5t=45];

（2）由题得[t=2，A0，0，B2，0，C0，2，][M22， 22].

设[Om，m 0≤m≤1， OA=-m，-m， OB=][2-m，-m， OC=-m， 2-m.]

故[OA ∙ OB+OC ∙ OA=OA ∙ OB+OC=-m，-m ∙][2-2m， 2-2m=4m2-22m≥-12].

最后，教师强调“要根据[AO=λAM 0≤λ≤1]，求点[O]的坐标”，并再次总结，基向量法“只可硬攻，不可巧求”，解析法“不可硬攻，只可巧求”.

二、教学建议

在这节课上，授课教师展示了扎实的教学功底，彰显了传统数学教学的魅力. 然而，值得思考的是，在本节课的教学过程中，授课教师无疑成为了主角，引领着整个“剧情”的发展. 学生沦为了配角，充当着这场“戏剧”的看客. 显然，这样的情形不利于学生数学思维的发展与素养的提升. 数学教师的职责不只是给传授学生知识，还在于教会学生用数学的思维思考世界，以彰显数学教学的育人导向. 为此，本节课教学过程有四个方面值得优化.

1. 深化知识理解

向量基底法与坐标法是解决平面向量数量积问题的两种基本方法. 它们均以平面向量基本定理为理论基础，都属于向量法. 向量基底法突出向量的形的属性. 它以两个不共线的向量作为基底，用平面向量的线性运算表示目标向量，再利用数量积的定义求解问题. 其中，选择合适的基底是基础，利用“闭合回路”表示待求向量是关键. 而坐标法突出向量数的特征. 它以垂直关系（或构建垂直关系）为切入点，建立平面直角坐标系，将待求向量坐标化，再利用向量数量积的坐标运算法则求解问题. 其中，建立合理的坐标系是前提，向量的坐标化是关键. 一般而言，向量基底法是利用向量解决平面向量数量积问题的通法. 能用坐标法解决的问题，向量基底法同样可以解决;而向量基底法能解决的一些问题，坐标法有时不能或者不易解决. 至于选择哪一种方法，需要具体问题具体分析.

当然，例1的解法不局限于向量基底法与坐标法，还有以下两种方法.

（1）被教师否定而学生没有完成的方法.

[AM ∙ MN=AD+DM ∙ MC+CN=AD ∙ MC+][AD ∙ CN+DM ∙ MC+DM ∙ CN].

因为[M，N]分别是[CD，BC]的中点，

所以[DM=2]，[MC=2]，[CN=1]，[AD⊥MC]，[DM⊥CN].

所以[AM ∙ MN=ADCNcosπ+DMMCcos0=2.]

（2）回归平面向量数量积的定义.

由[M，N]分别是[CD，BC]的中点，得[DM=][MC=2， CN=1].

所以[AM=22， MN=5，∠AMD=π4].

设[∠NMC=θ，] 则[sinθ=55，cosθ=255，cosθ+π4=][cosθcosπ4-sinθsinπ4=1010].

所以[AM ∙ MN=AMMNcosθ+π4=2].

2. 优化课堂习题

习题课重在借助例题、习题深化对已学的概念、定义、定理、公式及法则的理解，突出应用. 因此，一些教师就将讲题、练题等机械化活动作为习题课的内容，没有发挥习题课应有的教学功能，结果导致例题没少讲、习题没少练，教学效果却不尽如人意. 因此，教师要认真思考习题课的教学主题，精心组织、优化教学内容，使得教学有章法、学习有效果. 例如，本节课的教学内容是利用向量基底法和坐标法解决向量的数量积问题. 然而，从学的角度来看，学生仅仅知道了求向量数量积的两种方法，而对于两者的区别是什么、联系在哪里、孰优孰劣、当面对复杂的问题时该如何抉择仍存在困难. 从教的角度来看，两个例题的载体（矩形、等腰直角三角形）类同（垂直关系），使得例题承载的教学价值弱化，无法让学生辨别两种解法的区别. 因此，两道例题可以加以整合，进而优化教学内容. 具体如下.

题目1  在矩形[ABCD]中，[AB=4， AD=2]. 若[M，N]分别是[AB，BC]的中点.

（1）求[AM ∙ MN]的值.

（2）求[AC]与[2AD+AM]的夹角的余弦值;

（3）若[P]是线段[DM]的中点，[O]是[AP]上的一点，求[OA ∙ OM+OA ∙ OD]的最小值.

题目2  在梯形[ABCD]中，[AB∥CD，AB=4，CD=][2]，且[∠A=π3]，点[P]是直线[AD]上的任意一点. 求[PB+2PC]的最小值.

题目3  在[△ABC]中，[AB=4，AC=2]，点[O]是[△ABC]的外接圆的圆心. 求[OA ∙ BC]的值.

由于例1含有等腰直角三角形元素，因此可以将例2整合到例1中，即题目1. 这样避免学生重复（选基底、建坐标系）做题，把更多的精力用在题目的审阅与解法的领悟上. 设计题目2既是改变问题的考查形式，将数量积的考查融入对向量的模的考查中，又是让学生学会识别问题，即在没有特殊关系（不垂直）的情况下，学会选择合理的解题方法. 虽然用两种方法都可以，但坐标法对学生建系的观察、分析和选择能力要求较高，有一定难度. 也可以结合平面几何知识，挖掘试题的本质（实际上是两条平行线之间的距离），让学生明白不只有两种方法，还有其他方法可以解决问题. 题目3告诉学生建系不容易时，可以用向量基底法解决，从而让学生领悟向量基底法的通法作用.

3. 重视信息技术

当然，题目2还有进一步思考的空间. 由于仅知道梯形[ABCD]的上底和下底的长度及腰[AD]的方向，因此梯形的形状会随着点[D]在直线[AD]上位置的变化而变化. 而点[P]是直线[AD]上的任意一点，它的位置的变化也会引起[PB+2PC]的变化. 那么，这两种变化会对[PB+2PC]取最小值有何影响？

对于这个问题，我们可以借助[GeoGebra]软件开展数学探究，过程如下：首先，利用[GeoGebra]软件构造[△PBE]，使得[PE=2PC]，然后构造[BE]的中点[F]，则[PB+2PC=2PF]（如图5），然后借助“轨迹”工具构造出点[F]的轨迹（过点[B]且与直线[AD]平行的直线），则[PB+2PC]的最小值就是这两条平行线间距离的2倍.

[GeoGebra]软件作为一款动态数学软件，功能强大，操作便利，能让静态的数学内容“动”起来，使抽象的数学知识形象起来，进而成为培养学生直观想象素养的有力工具. 如今，[GeoGebra]软件的应用已经深入高中数学教材，也走进了高中数学课堂，发挥着启迪学生智慧、提升学生素养的功效，有效缓解了传统教学手段“只可意会，不可言传”的窘境.

4. 调整教学方法

（1）把动手操作的机会留给学生.

数学素养的形成离不开思考讨论、操作辨析及反思内化. 在这个过程中，学生需要一定的时间与空间. 教师要把握好教學时机，该放手的时候要放手，让学生自己思考并内化于心. 如果教师事无巨细地为学生包办一切，反而不利于学生的发展. 例如，在课前授课时，教师把两道例题写在黑板上，从而节约教学时间，这无可厚非;但在学生没有看题的情况下，教师自行画出图形的做法就值得商榷. 因为例题本身没有给出图形，教师“抢走”了学生作图的权利，导致学生错失了作图、想图及借图说话的机会，也错失了一次用数学思维思考问题的完整过程. 在讲解例1时，授课教师先描述解析法，强调建立平面直角坐标系的一般规则（两个“尽可能”），接着建立平面直角坐标系解决问题. 学生没有经历建系的过程，也缺乏对不同建系方式的比较，对两个“尽可能”的理解也不够深刻，只知其然，不知其所以然. 其后果是当遇到新的问题情境时，学生无法把这种经验进行迁移，只能照本宣科，无法真正领会解析法的思想. 因此，教师不应该把作图、建系等动手操作的机会“据为己有”，而应该留给学生，让学生在动手操作中积累基本活动经验，提升数学学科核心素养.

（2）把构建思路的任务交给学生.

数学教学离不开解题. 引导学生综合运用所学知识，构建恰当的解题思路是数学教师的责任. 解题思路的形成是一个构筑条件与结论之间联系的动态过程，也是锤炼学生数学思维的动态过程. 因此，教师应该把构建解题思路的任务还给学生. 然而，在本节课上，授课教师并没有这样做，而是把解题的思路全盘托出，呈现给学生. 例2的第（2）小题，授课教师利用基向量法求出[OA ∙ OB+OC ∙ OA]的最小值[-12]之后，因为[OM]是[△ABC]的斜边[BC]上的中线，可得[OA ∙ OB+OC=-2OA ∙ OM]. 再令[OA=t， OM=][1-t]，得到[OA ∙ OB+OC=2t2-t]，然后借助二次函数求解该题;或者令[OA=a， OM=b]，于是有[a+b=1]，故[OA ∙ OB+OC=-2ab]，然后利用基本不等式进行求解. 但这些“巧妙”的方法，不是学生想出来的，而是授课教师讲出来的，由于缺乏自主的思考，这些方法可能会被学生记住一时，但终究会被“风吹雨打”去. 所以，教师上课仅有激情还不够，还要合理利用这种激情，把内心的“火热”转化成课堂的“实效”. 应该给学生时间与机会，让学生参与思路的构建过程，帮助他们学会思考.

（3）把总结提升的机会让给学生.

一节课的精华往往浓缩在课堂小结中. 课堂小结既是梳理数学知识与思想方法、构建知识结构的过程，也是促进学生反思、提升与升华的过程. 教师应该把课堂总结的机会留给学生，让学生回顾、反思并内化为自己的东西. 在本节课上，授课教师根据基向量法和解析法的特点，别出心裁地用四字词语（只可硬攻，不可巧求，不可硬攻，只可巧求）加以总结，让人耳目一新. 然而，这还不够，教师不应只着眼于一节课，而应着眼于教会学生总结、反思、内化. 例如，可以使用提示性问题“通过本节课的学习，你能说说我们研究了哪些问题？”“使用了哪些方法？”“你能简述这些方法的一般过程吗？”“你能说说这两种方法的区别何在？联系在哪里吗？”“你能说说用这两种方法解题的关键在哪里？”“你知道如何根据问题情境选择方法吗？”等等.

（4）把表扬和鼓励的语言送给学生.

教师要对学生取得的进步给予表扬，对进步缓慢的学生也给予鼓励. 这既是关爱学生的表现，也是教师“眼中有人，心中有学生”的体现. 然而，在实际教学中，一些教师忙于完成教学任务，往往忽略了这一重要的环节. 在本节课上，学生板演例1，由于教师看到学生没有按照自己预设的方法构建基底，于是不等他做完题就让学生下去. 这样的教学行为不仅会让学生感到无奈与失落，也在一定程度上打击了学生的学习积极性. 相反，如果教师能多一点耐心，多给学生一点时间和鼓励，学生可能就会带来一个惊喜（实际上按照学生的思路完全可以解决问题）. 因此，教师不要吝啬自己的表扬与鼓励，把它送给学生.

总之，“育人为本”是课程改革精神的体现. 作为广大数学教师中的一员，应该心中装着学生，设身處地为学生的发展着想，并把这种想法付诸教学实践之中.

参考文献：

[1]安振亚. 从课例点评谈青年教师如何上好一节课[J]. 中国数学教育（高中版），2020（3）：33-35，39.

收稿日期：2021-07-06

基金项目：安徽省教育信息技术研究课题——借助GeoGebra培养高中生数学直观想象素养的实践研究（AH2020045）.

作者简介：安振亚（1981— ），男，中学高级教师，主要从事数学教育教学与解题研究.