基于等几何方法的压电功能梯度板动力学及主动振动控制分析

刘 涛，汪 超，刘庆运，胡文锋，胡晓磊

(1. 安徽工业大学机械工程学院，马鞍山243002；2. 上海大学机电工程与自动化学院，上海200072)

压电智能结构因其具有自诊断、自适应和自修复的性能被广泛应用于航空航天、生物医学等领域。其是将压电材料粘贴(或埋置)于梁、板、壳等结构的表面(内部)。当外部环境发生变化时，它能够根据其自身的物理特性和形状变化做出响应。伴随着先进制造技术的革新，压电智能结构形式更加多样化、复杂化。因此，研究不同形式的压电智能结构的力学行为，具有重要科学和工程意义。目前，国内外学者已开展了相关的静力学[1]、动力学[2]、主动控制[3−5]、非线性[6−7]等问题的研究。

压电智能板结构是压电智能结构最基本的结构形式之一，就其数值建模方法来看，构造层合板单元常采用三维弹性理论、叠层层合理论以及包含经典板理论(CPT)、一阶剪切变形理论(FSDT)、高阶剪切变形理论(HSDT)的等效单层理论。其中，等效单层理论所耗费的计算量相对较少。因此，许多学者将等效单层理论与多种数值方法相结合用于压电智能板结构力学性能的研究。

基于有限单元法(FEM)，He 等[3]与Liew 等[4−5]研究了表面粘贴有压电层的功能梯度板(压电功能梯度板)在机-电-热载荷下的静力学、动力学特性和主动振动控制等问题。Wang 等[8]分析了压电智能层合板的主动振动控制与动态稳定性，并提出将传感器层和驱动器层粘贴于中间层的同一方向，以解决当传感器层和驱动器层分布于中间层的上下表面、且中间基层的铺设角度为[−45°/45°/−45°/45°]时系统不稳定的问题[9]。基于广义C0连续的高阶剪切变形理论，Nguyen 等[10]利用多边形有限单元法分析了压电梯度多孔板非线性静态、动态响应以及带有压电层的石墨烯增强的功能梯度金属泡沫板[11]的主动振动控制问题。Phung-Van 等[12]基于单元光滑有限元方法(CS-FEM)对压电智能层合板的力学性能进行了研究。在CSFEM 中，其先将每个母三角形单元划分为三个子三角形单元，并在每个子三角单元中利用离散剪切间隙法消除剪切自锁[13]；然后在整个母三角形单元上运用应变光滑技术解决三角形单元在FEM 计算中偏“刚性”的缺陷[14−15]。利用这种方法，Nguyen-Quang 等[16]则针对压电功能梯度板的静力学和主动振动控制问题进行了研究。结合HSDT和冯·卡尔曼方程，Fakhari和Ohadi[17]研究了热环境下压电功能梯度板的非线性主动振动控制等问题。Wang 等[18]利用FEM 和改进的非支配排序遗传算法提出了一种用于压电智能层合板形状控制的设计方法。其主要目的是通过同时优化基板(层合板)和执行器(压电材料)使板的静态形状控制达到最大化。Tzou 和Tseng[19]利用恒增益和恒振幅两种负速度反馈控制方法，分析了表面粘贴有多片分布式压电材料的智能压电复合板的主动振动控制问题。

无网格法克服了有限元法对网格的依赖[20]，在涉及网格畸变、网格移动问题时具有明显的优势[21]。这也使得它成为压电智能结构主要的研究方法之一。Li 等[22]用双向B样条有限点法，研究了表面粘贴有压电层的层合板(压电智能层合板)的静力分析、静态变形控制和材料参数识别。Selim 等[23]基于Reddy[24]的三阶剪切变形理论和IMLS-Ritz 方法研究了两种不同结构的压电功能梯度板的主动振动控制问题。基于径向点插值方法，Liu 等[25]分析了压电智能层合板的静态、动态形状控制，Nourmohammadi 等[26]则分析了压电功能梯度板的几何非线性响应。

上述研究工作大多采用有限单元法或无网格法，尽管利用这些方法对压电智能结构进行研究的成果已经较为丰富。但就上述的数值方法而言，它们也存在各自的弊端。例如：FEM会因为单元畸变导致计算精度降低[27]；无网格法由于没有明确统一的数学表达形式，且不同构造体系下的参数也呈现不确定状态，使其不易形成通用性集成化程序[28]。为解决这些问题，Hughes等[29]提出一种新的数值方法−等几何分析(Isogeometric analysis,IGA)。其基本思想是将计算机辅助设计(Computer aided design,CAD)的非均匀有理B样条(NURBS)作为计算机辅助工程(Computer aided engineering,CAE)的形函数，这样既避免了如有限元使用拉格朗日多项式插值函数带来的逼近误差，又获得了力学数值方法所需的高阶性。

目前，已有少部分学者将IGA 引入到压电智能结构的分析中。如，Phung-Van 等利用高阶剪切变形理论分析了压电智能层合板的线性[30]、非线性动态响应控制[31]。在压电智能结构中，功能梯度板因其材料具有应力缓和的独特性能，若采用其作为基体，可通过控制材料梯度变化，并结合压电层电场大小，产生预期的变形及运动。基于等几何分析，少量学者研究了压电功能梯度板在机-电-热负载下的几何非线性瞬态响应[32]以及表面粘贴有压电层的石墨烯增强的功能梯度多孔板的静态、动态响应[33]。

上述文献研究的结构大多为压电层对称分布于功能梯度材料板的上、下表面(结构A：图1(a))，并没有考虑此类结构用于振动控制时的动态稳定性。此外，功能梯度材料常被应用于热环境当中，此类压电层对称分布的结构使得总会有一侧的压电材料暴露于高温坏境中，而温度会对压电材料的弹性模量、介电常数等产生较大的影响[34]，最终影响智能结构的性能。若将两层压电材料分布于功能梯度材料的同一侧(低温测，结构B：图1(b))，则会有效地减少温度对于压电材料性能的影响。针对结构A 和结构B两种压电功能梯度板，Selim等[23]研究了它们的主动振动控制问题，但其只分析了两种结构的振动控制效果。目前，有关两种结构的动态响应以及在主动控制中的传感器、驱动器的电压响应的研究工作较为鲜见。而这些问题恰恰对压电智能结构的设计和工程应用有着重要的影响。如：两种板结构的刚度有何不同、在振动控制过程中传感器、驱动器的电压响应存在何种差异。这些问题直接影响着结构本身、控制器以及控制硬件(如功率放大器)的设计。

图1 压电功能梯度板Fig.1 Piezoelectric functionally graded plate

因此，本文基于等几何分析方法与Reddy 的三阶剪切变形理论，并引入物理中面的概念，研究如图1 所示的两种不同结构的压电功能梯度板的动态响应及主动振动控制问题。文中重点分析两种结构在不同机械载荷下的动态响应、振动控制效果以及传感器和驱动器的电压响应，旨在为压电智能结构的设计及工程应用提供参考。

1 压电功能梯度板模型

定义压电功能梯度板的长为a，宽为b。功能梯度材料层由金属和陶瓷组成，其厚度为hf。每层压电材料的厚度均为hp，板的总厚度为ht=hf+2hp。本文研究的两种结构形式如图1所示。忽略各层之间的胶粘层，在结构A 中，功能梯度层的上、下表面均覆盖有一层压电材料。其中，上压电层极化方向向下，下压电层极化方向向上；在结构B中，功能梯度层的上表面覆盖两层极化方向均向上的压电层。

1.1 功能梯度层的体积分数

在功能梯度层中，定义金属材料的体积分数含量沿厚度方向呈幂函数分布。

对于结构A：

式中：下标c和m 分别代表非金属和金属；z代表厚度方向上的坐标，对于结构A：z∈[−hf/2,hf/2]，对于结构B：z∈[−ht/2,ht/2−2hp]；n为功能梯度指数n∈[0,∞]；Pc和Pm分别为非金属和金属的相关材料属性，如密度、弹性模量或者泊松比等。

1.2 三阶剪切变形理论

为消除非均匀复合材料结构力学问题中拉伸-弯曲耦合效应，本文引入物理中面的概念[35]，结合三阶剪切变形理论，可得到压电功能梯度板内部任意一点的位移为：

1.3 本构方程

式中：D为电位移向量；e和g分别为压电应力常数矩阵及介电常数矩阵

对于结构B，式(22)中积分区域要做修改。

1.4 等几何分析

在压电功能梯度板中，本文采用NURBS基函数对机械位移场与电势场分别进行离散化。

1.4.1 NURBS 基函数

对于二维平面问题，NURBS 基函数由两个方向的一维B样条基函数的张量积构成[37]：

2 闭环控制分析

如图2所示，在结构A 的闭环控制中，上压电层作为驱动器，下压电层作为传感器。结构在机械载荷作用下产生机械变形时，传感器层感知结构的变形而产生相应的输出电压。通过反馈控制原理，该感应电压通过控制器控制增益放大后，作为驱动器的输入电压。驱动器由于逆压电效应产生相应的反驱动力抑制结构的变形，从而达到控制结构变形的目的。对于结构B，上压电层作为传感器，下压电层作为驱动器。

图2 带有压电驱动器和传感器的功能梯度板的主动控制示意图Fig.2 Diagram of the active control of the FGPwith surfacebonded a piezoelectric actuator and sensor

根据上述分析，在闭环控制中，式(37)可改写为：

3 数值算例

本节，首先通过分析压电智能结构的自由振动与静态弯曲响应，验证了本文所提等几何分析方法的正确性和有效性；其次，利用模态叠加技术与Newmark-β 直接积分法，分析了两种不同结构的压电功能梯度板的动态响应及在主动控制中的振动、电压响应。

文中所有数值算例的网格密度均采用16×16、NURBS基函数阶次均取为p=q=3。机械边界条件简写为：简支(S)，固支(C)，自由(F)。如未特殊说明，材料参数可查阅表1。

3.1 验证性分析

3.1.1压电功能梯度板固有频率分析

如图1(a)所示，一个四边简支的压电功能梯度板的尺寸为：a=b= 400 mm,hf= 5 mm,hp= 0.1 mm。其功能梯度层材料为Ti-6A1-4V 与aluminum oxide、压电层材料为PZT-G1195N。表2列举了板的第1阶、2阶、4阶、6阶、8阶固有频率。通过与文献[39]的解析解结果比较，验证了本文方法的正确性。

表1 材料参数Table 1 Material parameters

表2 四边简支(SSSS)PFGP 的固有频率/Hz Table2 Natural frequencies for an SSSSPFGP

3.1.2悬臂压电双晶梁静态弯曲响应分析

如图3所示，以一个悬臂压电双晶梁为例，对压电智能结构的静态弯曲响应进行分析。梁的尺寸为100 mm×5 mm×1 mm，其上、下层压电材料采用极化方向相反的PVDF材料(上层极化方向向下，下层极化方向向上)。材料参数为E11=E22=2.0 GPa,G12=1.0 GPa,ν12=0,e31=e32=0.046 C/m2,k11=k22=k33=0.1062×10−9F/m。当 对 上、下 压 电层施加外电场时，梁因逆压电效应而产生弯曲变形。

表3 为不同电压下梁末端(x=a,y=b/2)的挠度值。可以看出，本文所提方法对于分析含压电材料的智能结构的静态弯曲行为的有效性。

3.2 动态响应分析

定义四种时变机械载荷为：

图3 压电双晶梁示意图[22]Fig.3 Geometry of a piezoelectric bimorph beam[22]

表3 同电压载荷下压电双晶梁的末端挠度值/(1×10−6 m)Table 3 Tip deflectionsof the cantilever piezoelectric bimorph beam with different voltages

式中，q0=−15 MPa，F(t)如图4所示，其表达式为：

在正弦横向载荷(Sinusoidal load)作用下，一个长度为200 mm、厚度为10 mm 的四边简支的功能梯度(Al/Al2O3)方板在n= 1 时，其中心点的无量纲化挠度=w/h如图5所示。该结果与文献[33]的结果基本一致。

图4 四种时变机械载荷F(t)Fig.4 Four different time-varying loads F(t)

图5 n= 1时，四边简支的功能梯度板中心点的无量纲化挠度Fig.5 Dimensionlessdeflection of center poin for an SSSSFGPwith n=1

在此基础上，对结构A、结构B两种压电功能梯度板的动态响应进行分析。两种结构的机械边界条件均为四边固支。压电层是厚度为2 mm 的PZT-G1195N 材料。功能梯度层是厚度为20 mm的Ti-6A1-4V/aluminum oxide 材料。板的尺寸为200 mm ×200 mm(a×b)。式(64)与式(65)中的均布载荷q0=−10 000 N/m2，γ=330 s−1，t1=0.003 s。

图6与图7分别为两种板结构的中心点在四种不同横向机械时变载荷下的动态挠度。可以看出：1)当功能梯度指数n增加时，板中心点挠度的振幅和周期随之减小。这是由于n增加时，板的陶瓷成分也逐渐增加，板的刚度随之增强；2)结构A 的动态挠度振幅大于结构B的。但随着n的增加，这种差距逐渐减小；3) 在相同的材料及尺寸条件下，结构B的刚度大于结构A。

3.3 主动振动控制分析

本节，首先利用速度反馈控制方法，研究了两种不同结构的悬臂压电功能梯度板的主动振动控制，验证了该方法的有效性。其次，分析了结构A 与结构B在自由振动和受迫振动时的主动振动控制、传感器层电压响应、驱动器层电压响应。

算例1.悬臂压电功能梯度板

图6 板结构A 中心点动态挠度Fig.6 Dynamic deflection of center point of plate structure A

板的尺寸为300 mm ×300 mm (a×b)，功能梯度层是厚度为5 mm 的Ti-6A1-4V/aluminum oxide材料。压电层是厚度为0.1 mm 的PZT-G1195N 材料。仅在此算例中，PZT-G1195N 的压电应力常数e31=e32=6.1468 C/m2。

图7 板结构B中心点动态挠度Fig.7 Dynamic deflection of center point of plate structure B

图8 n=1时，悬臂板的末端挠度Fig.8 Tip deflection of a cantilevered plate with n=1

因此，在动态响应控制分析中，本文采用物理中面来消除拉弯耦合效应对于结构A 的影响，从而使系统稳定。

图9与图10为速度反馈增益Gv对两种板结构末端节点动态挠度的控制效果。可以看出，结构A 与结构B均可有效地实现功能梯度板的动态响应控制。

算例2.四边固支的压电功能梯度板

板的材料及尺寸均与3.2节动态响应分析中的压电功能梯度板相同。式(65)中，t1=0.002 s。引入瑞利阻尼，在四种机械载荷作用下，两种板结构中心点动态挠度的控制效果如图11和图12所示。通过对比可知：1)Gv=0时，由于板的结构阻尼，动态挠度的振幅逐渐减小；2)随着速度增益Gv的增大，主动阻尼C=GvKφφa Kφ−φ1sKφus随之增大，强迫振动阶段和自由振动阶段动态挠度的振幅均减小的越快；3)与本节算例1类似，两种结构在不同时变机械载荷作用下，板的动态挠度响应控制效果均较好。

图13与图14分别为两种结构的传感器层中心点的动态电压。可以看出：1)Gv=0时的动态电压的振幅大于Gv≠ 0时的振幅；2)结构A 与结构B传感器层的输出电压响应方向相反，且结构B电压的振幅大于结构A。这是由于在计算结构A 的机电耦合刚度矩阵Kφus时，矩阵e˜(式(45))中的第2项(z−z0)eTm、第三项(z3−c0)eTm在z方向(z∈[−ht/2,−hf/2])积分后为负所造成的。

图9 结构A：板末端动态挠度控制效果Fig.9 Structure A:thetip transient deflectionof a cantilevered plate

图10 结构B：板末端动态挠度控制效果Fig.10 Structure B:the tip transient deflection of a cantilevered plate

图15与图16分别为两种结构的驱动器层中心点的动态电压。通过对比可知：1)Gv的值越大，传感器层动态电压的振幅也越大，这是由式(58)决定的；2)在驱动器层，结构B抑制振动所需的驱动电压振幅大于结构A，且两者方向相反。这是由于结构A 与结构B的驱动器层位置不同、且极化方向相反；3)由于结构B驱动器所需电压高于结构A，若选用结构B此类结构进行设计时，更应考虑其电退极化效应[34]。

图11 结构A：板中心点动态挠度控制效果Fig.11 Structure A: the central transient deflection of a full clamped plate

图12 结构B：板中心点动态挠度控制效果Fig.12 Structure B: the central transient deflection of a full clamped plate

图13 结构A：传感器层中心点动态电压Fig.13 Structure A:dynamic voltage at the center of sensor layer

由上述分析可知，通过速度反馈控制方法可有效地抑制板的振动，达到主动控制的目的。在工程应用中，可根据实际的需求设计反馈增益Gv的大小，实现板振荡时间及幅度的控制。

图14 结构B：传感器层中心点动态电压Fig.14 Structure B:dynamic voltageat the center of sensor layer

图15 结构A：驱动器层中心点动态电压Fig.15 Structure A:dynamic voltage at the center of actuator layer

图16 结构B：驱动器层中心点动态电压Fig.16 Structure B:dynamic voltage at the center of actuator layer

4 结论

本文结合等几何分析与三阶剪切变形理论为压电功能梯度板的动力学及主动振动控制分析提供了一个新的高精度数值分析方法。研究了两种不同结构的压电功能梯度板的动态响应及主动振动控制问题，并得到了以下结论：

(1)通过对两种结构的动态响应的分析可知，相同尺寸及材料条件下，结构B(压电层均粘贴于中间功能梯度层的同一侧)的刚度大于结构A 的(压电层分别粘贴于中间功能梯度层的上、下表面)。随着功能梯度指数n的增加，差距逐渐较小。

(2)利用速度反馈控制增益Gv可有效地实现结构A、结构B的主动振动控制，且控制效果良好。

(3)结构B传感器层因压电效应产生的电压振幅大于结构A，且两者方向相反。在驱动器层，结构B 抑制振动所需的驱动电压振幅也大于结构A，且两者方向相反。