四轮轮毂电机独立驱动电动汽车轨迹跟踪与横摆稳定性协调控制研究*

张 雷，赵宪华，王震坡

(北京理工大学，电动车辆国家工程实验室，北京 100081)

前言

电动化、网联化、智能化、共享化已成为当今汽车技术发展的普遍共识。 相关研究表明，高级别自动驾驶技术有望显著提高交通系统的通行效率、降低能耗和减少车辆安全事故[1]。 四轮轮毂电机独立驱动电动汽车将具有独立驱动/制动能力的驱动电机安装在轮毂内，具有传动链短、传动效率高、结构紧凑和易于实现底盘模块化设计等优点，可以有效改善车辆动力性、经济性和操稳性，是新能源汽车的主要技术发展方向之一[2-3]。 通过对各轮驱动力矩进行优化分配，可以充分利用各轮处的路面附着力，实现驱动防滑和直接横摆力矩控制，进而提高车辆的主动安全性[4-6]；此外可通过实时优化前后轴驱动转矩分配，尽可能使驱动电机工作在高效区，从而提高整车驱动效率[7-8]。

智能汽车是一种融合了环境感知、规划决策、运动控制等功能的智能化、集成化系统[9]。 轨迹跟踪控制是智能汽车实现自动驾驶的关键技术之一，其目标是根据上层控制器规划的轨迹和车辆的实时状态信息生成车辆实时控制量，如前轮转角、驱动力/制动力等，以保证车辆能够按照期望的轨迹行驶[10]。 常见的轨迹跟踪控制算法包括PID、LQR、滑模变结构控制和纯跟踪控制等。 文献[11]中设计了一种基于横向位置误差和横摆率的嵌套PID 控制器，其原理是利用基于横摆率跟踪的前轮主动转向控制改善转向动力学特性；文献[12]中提出了一种基于自适应分层控制架构的轨迹跟踪方法，上层基于滑模控制器求解前轮转角和附加横摆力矩，下层利用伪逆控制分配算法实现四轮驱动转矩分配；文献[13]中根据车辆参数和车速确定预瞄距离，基于车辆的位置信息和规划路径选择预瞄点，利用纯跟踪算法计算出前轮偏角控制量，建立了车辆横向运动模型并在Matlab 中进行了路径跟踪仿真验证；为了保证控制系统快速收敛性和稳定性，文献[14]中构建了基于路径跟随误差的线性系统，采用LQR 最优控制方法实现了对系统的闭环控制，并通过Simulink 和CarSim 联合仿真以及实车试验验证了该方法的可行性。 但上述方法普遍存在对参数及环境依赖程度较高的问题，一旦环境发生变化往往导致跟踪控制效果恶化。

模型预测控制(model predictive control， MPC)又称为滚动时域控制，是由工业过程控制发展出来的一种控制方法(如图1 所示)。 该方法基于控制系统模型预测未来特定时间周期内的系统输出，通过求解带约束条件的最优控制问题，使系统在该时间周期内的跟踪误差最小，具有鲁棒性强等特点[15]。 模型预测控制方法具备预测模型、滚动优化和反馈校正的基本特征[16-17]，能够有效处理多优化目标、多约束问题，并能及时弥补模型失配、时变和干扰等引起的不确定性，适合于无人驾驶车辆的轨迹跟踪控制[18]。 文献[19]中基于简化的非线性车辆动力学模型提出了一种基于模型预测控制的路径跟踪方法，通过同时控制转向和制动实现目标轨迹跟踪，并进行了仿真和试验验证；文献[20]中提出了一种用于不同车速下无人驾驶车辆避障控制的模型预测控制器，该控制器基于3 自由度非线性车辆模型，将路径跟踪与避障控制问题统一优化求解。 但现有的基于模型预测控制的方法多适用于中低车速且路面附着条件良好的情况，在高速、低附着条件下难以实现路径跟踪精度和车辆运动稳定性的协调控制。

图1 模型预测控制算法

为提高车辆在高速、低附着等极限工况下轨迹跟踪的精度和运动稳定性，本文中基于四轮轮毂电机独立驱动电动汽车，提出了基于分层控制架构的轨迹跟踪与横摆稳定性协调控制方法(如图2 所示)，同时考虑非线性约束，增强轨迹跟踪的精度；采用直接横摆力矩控制(DYC)，以车辆稳定性为控制目标，对4 个车轮驱动力矩进行优化分配，提高车辆在极端工况下的稳定性。

图2 轨迹跟踪与横摆稳定性协调控制架构

1 车辆动力学模型

本文中主要研究目标是确保四轮轮毂电机独立驱动电动汽车快速而准确地跟踪参考轨迹，并保证在高速、低附着等极限工况下的车辆稳定性，属于车辆动力学控制的范畴。 建立车辆动力学模型用作模型预测控制器的预测模型，要求该模型既能准确地描述车辆的动力学响应，又要尽可能地简化以提高控制算法的执行效率。 因此，对车辆模型的假设和简化如下:

(1)忽略转向系统的影响，直接以前轮转角为输入；

(2)忽略悬架系统的作用，认为车厢只做平行于地面的平面运动，即忽略车辆的垂向运动；

(3)假定车辆轮胎工作在线性区；

(4)忽略空气阻力和滚动阻力影响。

基于上述假设，搭建了仅考虑纵向运动、横向运动和横摆运动的3 自由度车辆模型，如图3 所示。

图3 3 自由度车辆模型

根据牛顿第二定律，汽车动力学平衡方程为

式中:m为整车整备质量；Iz为车辆绕z轴的转动惯量；lf和lr分别为质心到前、后轴的距离；δf为车辆前轮转角；ψ为车辆横摆角；Fxf和Fxr分别为前后轮胎所受纵向力；Fyf和Fyr分别为前后轮胎所受侧向力；ΔMz为附加横摆力矩。

由车身坐标系与大地坐标系之间的转换关系可得:

本文中采用了线性轮胎模型，由于侧偏角和纵向滑动率较小时，轮胎力可用线性函数近似描述，且在侧向加速ay≤0.4g时具有较高拟合精度，因此可得到轮胎的纵向力和侧向力为

式中:Clf和Clr分别为前后轮轮胎纵向刚度；Ccf和Ccr分别为前后轮轮胎侧偏刚度；sf和sr分别为前后轮轮胎的滑动率；αf和αr分别为前后轮轮胎侧偏角。

当轮胎侧偏角较小时，采用小角度假设，将其近似为

轮胎在地面上的滑动率s为

式中:r为车轮滚动半径；ω为车轮转动角速度。

对前轮转角做小角度假设，即 sinδf≈δf，cosδf≈1，结合式(1)～式(6)，简化的车辆动力学模型为

写成状态空间表达式的形式:

式中:ξ为状态量；u为控制量；y为输出量；C为输出量矩阵。

2 轨迹跟踪控制器设计

2.1 模型线性化

由于式(8)车辆模型为非线性模型，而基于非线性模型的预测控制算法求解困难且实时性差。 因此，本文中采用近似线性化方法对上述非线性车辆模型进行线性化处理。

由于所有参考轨迹点均须满足车辆动力学方程，其一般形式为

将非线性模型在参考轨迹点采用泰勒级数展开并忽略高阶项近似得到线性化模型:

将式(10)与式(9)相减进一步得到线性化车辆误差模型:

采用前向欧拉方法，利用1 阶差商代替微分得到离散状态空间:

其中:Ak，t ＝I +TA(t) ；Bk，t ＝TB(t) ；Ck，t ＝C(t)式中:I为单位矩阵；T为模型预测控制器的采样周期；k为离散步长。

2.2 模型预测方程构建

系统状态空间表达式为

式中η(k ｜t) 为预测时域内系统输出。

假设当前时刻为k，预测时域为Np，控制时域为Nc，且有Nc≤Np，未来Np个时间周期内状态变量和控制轨迹可表示为

基于状态空间模型，可以推导出预测时域内的状态变量序列:

预测时域内的系统输出为

定义k时刻系统输出:

定义k时刻系统输入:

综合式(19)和式(20)，将未来时刻系统输出以矩阵的形式表达:

其中:

由以上公式推导可知，通过当前时刻的状态量x(k｜k)和控制时域内的控制增量ΔU(k)可以计算得到预测时域内的状态变量和系统输出。

2.3 优化求解

轨迹跟踪控制器的求解不仅需要考虑状态量约束、控制增量约束和状态量约束，还要考虑轮胎物理特性约束和车辆稳定性约束。

由于前文中假定轮胎工作于线性区，轮胎力计算采用的是近似表达式，为满足轮胎侧向力与轮胎侧偏角呈线性关系，且保证轮胎力在附着极限内，需要对轮胎侧偏角、质心侧偏角进行如下限制:

式中:μ为路面附着系数；β为质心侧偏角。

为实现参考轨迹的实时跟踪，应以减少预测输出与参考轨迹点之间的偏差为优化控制目标，同时考虑转向机构、轮毂电机等执行机构限制。 由于车辆动力学模型是时变模型且引入多约束条件，难以保证优化目标在每个时刻均能获得可行解，因而在优化目标中加入松弛因子以适当降低求解难度。 定义模型预测控制器的优化目标函数:

式中:ηref为参考输出向量；Q∈R3×3和R∈R2×2分别为跟踪精度和控制增量的权重矩阵；ε为松弛因子(ε＞0)；ρ为ε的权重系数。

目标函数的第一部分反映了以减小预测输出与参考输出间误差为目标的轨迹跟踪能力；第二部分反映了应尽量减小控制量(即前轮转角和附加横摆力矩)波动。

将式(23)转化成标准二次型形式以便于求解，在优化目标函数中，控制量是以控制增量的形式存在的，因此约束条件也应以增量或者控制增量与转换矩阵相乘的形式来表示。

式中:ΔUt为控制变量增量；Ut为控制量；yhc为硬约束输出量；ysc为软约束输出量。

在已知当前t时刻的状态量ξ(t)和上一时刻的控制量u(t-1)的情况下，可在控制周期内完成对优化目标函数的求解，得到控制时域内的一系列最优控制增量序列。

将该序列中的第一个元素作为实际控制输入增量作用于系统。

进入下一个控制周期后，重复上述过程，如此循环实现对车辆的轨迹跟踪控制。

2.4 控制器参数选择

预测时域和控制时域是模型预测控制器中的两个关键参数，它们的取值能够直接影响控制器的控制效果。

2.4.1 预测时域

在每个时间周期，模型预测控制器对控制对象在未来一定时间周期的系统输出做出预测，并利用优化求解器找出最佳控制输入序列，使控制对象的输出尽可能地逼近设定点，该预测时间周期即为预测时域Np。 预测时域的大小主要影响系统的稳定性和快速跟踪性。 当Np取值较小时，系统动态响应快，但系统的稳定性较差；当Np取值较大时，系统的稳定性较好，但动态响应能力较差。 因此，对于Np的选择，应权衡系统的稳定性和动态响应能力，其基本要求是应大于时滞延迟，以尽可能地覆盖控制对象的主要动态特性部分。

2.4.2 控制时域

从当前时刻k开始的Nc个时间周期为控制时域，在控制时域以外预测时域内保持控制输入不变。控制时域内每个周期的控制变量被认为是可优化求解的自由变量。 在Np值确定的情况下，Nc值越小，在各个采样点的系统跟踪性能就越差。 控制时域的大小主要影响系统的动态性能，因此，需要根据控制对象的动态性能要求选取，其基本要求是:首先满足条件Nc≤Np；其次Nc值应大于系统的非最小相位响应时间，建议Nc取值范围为预测时域Np的10%～20%(即 0.1Np≤Nc≤0.2Np)，且至少 2～3 个周期。

3 下层转矩优化分配控制器

下层转矩分配控制器的任务是在多约束条件下求解最优轮胎纵向力分配以满足附加横摆力矩ΔMz和纵向需求驱动力Fx＿exp的要求。 综合考虑 4 个车轮的路面附着情况，建立了基于轮胎附着利用率最小化的优化目标函数。

式中:Fxi j、Fyi j、Fzi j和μi j分别为 4 个车轮处的纵向力、侧向力、垂向载荷和轮胎与路面间的附着系数；cij为各车轮所对应的权重系数。

轮胎的纵向力和侧向力存在耦合关系，二者受到附着摩擦椭圆的约束。 四轮轮毂电机独立驱动电动汽车的各轮纵向力独立可控，但侧向力主要通过转向系统控制。 本文中上层控制器通过求解优化函数得到附加横摆力矩，而下层控制器则尽量使各轮胎纵向力最小化，以保留侧向力裕度，提高车辆稳定性。 为方便计算，将优化目标函数简化为

在优化分配算法求解过程中，有效解既要满足上层广义力与力矩需求，同时又受驱动电机最大输出转矩和路面附着条件限制，因此，约束条件为

式中:Bf和Br分别为前、后轴轮距；Tmax为轮毂电机所能提供的最大驱动转矩。

上述优化问题的优化目标可分为两部分:第一部分为性能优化目标，即通过最小化轮胎纵向力增加稳定裕度；第二部分是通过轮胎纵向力实现上层目标控制力(矩)需求，即Bu＝v。 采用二次规划对驱动力矩进行求解，利用权重系数将两部分优化合并在一起。

式中:Wv为对角加权矩阵，通过调整权重改变目标控制力(力矩)的优先级；Wu为加权矩阵；cij为调整车轮纵向力在优化目标函数的权重；γ为权重系数，当权重系数很大时，在约束条件下优先满足。

由于轮毂电机所能提供的最大驱动力为

因此，控制变量的边界条件为

该形式的优化转矩分配问题为凸二次规划问题，由于有效集法具有迭代次数较少、计算效率高等优点，且适用于中小规模二次规划问题，因此本文中将有效集法用于上述优化转矩分配问题求解。

4 仿真分析

本文中采用双移线轨迹作为参考轨迹，该工况可以充分验证本文中提出的协调控制策略在高速和低附着工况下的控制性能。 利用 Matlab/Simulink与车辆动力学仿真软件CarSim 搭建了联合仿真平台，具体车辆参数见表1，轨迹跟踪和横摆稳定性协调控制算法封装在S-Function 模块中。

表1 车辆模型部分参数

4.1 不同车速下双移线工况

为验证控制器在不同车速下的有效性和可靠性，选择在附着条件(μ＝0.8)良好的路面上分别以车速30、60 和90 km/h 开展仿真测试。

仿真结果如图4 所示，图4(a)和图4(c)分别表示车辆的位置信息和姿态信息，在中低车速30 和60 km/h情况下，车辆可以准确地跟踪参考轨迹，仅在弯道处有微小的跟踪偏差，跟踪性能良好。 随着车速的升高，在高速90 km/h 情况下，车辆实际跟踪效果变差，车辆实际行驶轨迹相对于参考轨迹存在一定的滞后，但考虑到车速较高，跟踪误差仍在可接受范围内。 图4(b)采用均方根误差(RMS)和最大误差(MAX)对横向位移误差进了统计分析，直观地描述了不同车速下的轨迹跟踪效果。 图4(d)表明，随着车速的提高，前轮转角动作时间显著提前。 从图4(e)、图4(f)和图4(g)可以看出，车辆质心侧偏角、横摆角速度均保持在极限范围内且收敛性良好；在高速下车辆的侧向加速度超过了0.4g，此时线性轮胎模型的精度会受到一定影响，导致轮胎力的计算值与真实值间存在偏差，但车辆整体运行未失稳，验证了横摆稳定性控制的有效性。 图4(h)描述了MPC 控制器每个运算周期所需要的计算时间，可以看出，运算平稳、效率较高，可以满足控制器的实时性要求。 图4(i)和图4(j)分别为车辆在90 km/h下的优化分配转矩和轮胎负荷率。 可以看出，异侧车轮转矩不同，产生了附加横摆力矩；由于前轮为车辆转向轮，造成前轮的轮胎负荷率要明显高于后轮，但负荷率低于0.5，可为车辆提供足够的侧向稳定裕度。 上述结果表明，协调控制器在不同车速下均能较好地跟踪参考轨迹，在中低车速下跟踪效果良好，在高速下仍能在保证一定跟踪精度的前提下保持车辆运动稳定性。

图4 不同车速下的仿真结果

4.2 不同路面附着条件下双移线工况

在低附着路面下，轮胎可提供的侧向力不足易导致路径跟踪效果不佳，甚至引起车辆失稳。 为了验证本文中提出的协调控制器在不同路面附着条件下的鲁棒性，在高附(μ＝0.8)和低附(μ＝0.3)路面以70 km/h 的车速开展仿真测试。

仿真结果如图5 所示。 轨迹跟踪效果如图5(a)和图5(c)所示，在不同路面附着条件下均能取得较好的轨迹追踪效果，但相对于高附情况，低附情况下的跟踪误差稍大。 图5(b)反映了横向位移偏差的统计情况，低附情况下的均方根误差和最大误差值均明显高于高附情况。 从图5(d)可以看出，低附情况下的前轮转角变化较大，趋于稳定的时间更长，但由于横摆稳定性控制的作用，前轮转角未超出极限范围。 从图5(e)可以看出，相对于高附情况，低附情况下的横摆角速度收敛时间更长，且存在小幅波动，但整体上两种路面附着条件下的横摆角速度变化均较小，保证了车辆的稳定性。 图5(f)表示质心侧偏角随时间的变化关系，低附情况下在第二个弯道处质心侧偏角变化稍大，但仍被限定在较小范围，表明具有良好的轨迹跟踪性能和行驶稳定性。 图5(g)表明，两种附着条件下侧向加速度均被限制在0.4g范围内，虽然低附路面情况下轮胎可提供的侧向力较小，但直接横摆力矩控制可有效弥补这一缺陷，保证了车辆的运动稳定性。 图5(h)所反映的MPC 控制器计算时间较短，可保证系统在有效时间内求得可行解。 图5(i)和图5(j)分别为车辆在μ＝0.3 下的优化分配转矩和轮胎负荷率，负荷率最高值低于0.6，仍可为车辆提供一定的侧向稳定裕度。

图5 不同附着条件下的仿真结果

5 结论

本文中针对四轮轮毂电机独立驱动电动汽车在高速、低附等极限工况下的轨迹跟踪问题，提出了一种基于分层架构的轨迹跟踪与横摆稳定性协调控制策略，上层为模型预测控制器，下层为转矩优化分配控制器，通过CarSim&Simulink 联合仿真平台进行了仿真验证。 仿真结果表明，所设计的协调控制器在不同车速和不同附着条件下均有较好的鲁棒性，尤其在中低车速和良好附着条件下的轨迹跟踪效果较好，在高速、低附情况下存在一定的跟踪误差，但仍可满足车辆对跟踪精度和运动稳定性的要求。

本文中模型预测控制器的参数为人工调试获得，对于复杂工况及真实驾驶环境的适应性还有待提高，高速、低附情况下的跟踪精度也可通过选择更优的控制周期、预测时域和控制时域来加以改善。