解(1,1)块对称不定线性系统的广义修正SSOR迭代法

程 军，李正彪，郑彭丹，张莉君

(1.曲靖师范学院教师教育学院，云南 曲靖 655011；2.曲靖师范学院数学与统计学院，云南 曲靖 655011；3.中南林业科技大学涉外学院信息与工程学院，湖南 长沙 410211；4.曲靖市特殊教育学校，云南 曲靖 655000)

在许多应用中，需要求解一个具有对称块矩阵的线性方程组

(1)

其中A∈Rn×n对称不定矩阵，B∈Rm×n(n≥m)满秩矩阵，即秩(B)=m，向量x，f∈Rn，y，g∈Rm，该线性系统称之为鞍点问题。

鞍点问题出现在很多科学计算领域和工程应用领域，其中A∈Rn×n在鞍点问题(1)中对称正定矩阵，这里有许多不同的迭代方法来解决这个问题[1-6]。

其中A∈Rn×n在线性系统问题(1)中是对称不定矩阵，关于这种情形的研究论文文献还很少。本文提出了一种求解对于A∈Rn×n是称不定矩阵线性系统问题的广义MSSOR(GMSSOR)迭代方法。并分析了相应方法的收敛性。数值实验表明，在选取适当参数的条件下，GMSSOR方法比MSSOR方法具有更快的收敛速度。本论文的整体安排如下：在第2节中，我们提出了新的迭代方法，并在第3节中讨论了保证其收敛性的条件，第4节给出了数值算例，证明了该方法的可行性和有效性。

1 广义MSSOR迭代法

在本节中，针对线性系统(1)中A∈Rn×n是对称不定矩阵的情况，我们提出一个矩阵迭代方法，线性系统(1)可以写成如下形式：

(2)

这里A∈Rn×n是对称不定矩阵，可以对A进行强迫正定分解[7]，即

A=LDLT-E

(3)

其中LDLT对称不定矩阵，D正定对称矩阵，L是单位下三角矩阵，以及E对角矩阵。

首先，我们使用矩阵分解(3)来构造如下矩阵分解形式:

(4)

其中Q非奇异且对称的。

设

通过矩阵分解形式(4)，我们提出了解决问题(2)的迭代方法:

(5)

或等价于

(6)

这种迭代方法可以写成以下算法。

算法

(1) 利用吉尔-默里强迫正定方法[7]，产生这样一个矩阵分解方法A=LDLT-E;

(2) 选择矩阵M∈Rm×n和Q，构造抉择分解形式(4);

(7)

该迭代方法的迭代矩阵为

(8)

2 迭代方法的收敛性分析

在这一节中，我们讨论了该迭代法的收敛结果。

让ρ(G)表示迭代矩阵G的谱半径，那么当且仅当ρ(G)<1时，这个方法是收敛的。其中λ是一个G的一个特征值，(uT，vT)T是其特征值对应的特征向量，即

(9)

同时也等价于

(10)

也就是

(11)

为了证明该迭代方法的收敛性，我们首先给出一个引理

引理[1]实系数方程x2+bx+c=0的两个根的模均小于1的充分必要条件是|c|<1且|b|<1+c。

证明略，详见文献[8]

现在我们给出以下定理。

(12)

证明从(11)的第二个方程，我们得到

(λ-1)v=Q-1Mu-λQ-1Mu+λQ-1Bu

(13)

(14)

从引理可知，|λ<1|当且仅当

(15)

证明完成

3 数值算例

例设A=(ajj)，B=(bjj)，其中

表1 谱半径和收敛所需的时间

4 结论

在表1中，我们列出了迭代矩阵G的谱半径ρ(G)，以及在迭代法(7)中对于不同数值n迭代收敛所需的时间，表1表明迭代方法(7)是收敛的，且新方法是有效的。