一般线性空间中近似Benson真有效解的若干刻画

陈 楠，黄 斌，徐义红

(南昌大学数学系，江西 南昌 330031)

在局部凸空间中关于向量优化问题的研究已取得丰硕的成果。李仲飞[1]研究了拓扑线性空间中带集值映射的向量优化问题的Benson真有效性，获得两个标量化结果和两个Lagrange乘子定理。Borwein等[2]在赋范线性空间研究了集值优化问题的超有效性。徐义红等[3]在Hausdorff局部凸空间中，在近似锥-次类凸假设下，利用凸集分离定理，分别得到了Kuhn-Tucker型和Lagrange型最优性条件。近年来，在没有拓扑结构的线性空间中研究集值优化问题吸引了学者们的关注。Zhou等[4-6]在实线性空间中讨论了集值优化弱有效解、近似Benson真有效解和近似Henig有效解的最优性条件。Adan等[7]得到了集值优化问题Benson真有效解的Kuhn-Tucker条件、标量定理。Gutierrez等[8]在没有任何拓扑结构情况下，借助改进集的序，研究了实线性空间带约束的向量优化问题的Benson真有效解和Henig有效解。

近似解在向量优化问题中扮演重要的角色，在非紧情形下向量均衡问题的(弱)有效解可能是空的，而近似解在非常弱的假设下也可能存在。因此对近似解进行理论分析是很有意义的。Qiu等[9-10]在Hausdorff局部凸空间中讨论了向量均衡问题的εe-弱有效解、εk-Henig有效解和超有效解与ε-最优解的关系。孟旭东等[11]给出了向量均衡问题的近似解的最优性条件。Qiu等[12]通过标量化的方法，讨论向量优化问题近似解和弱有效解之间的关系。Chen等[13]讨论了集值向量均衡问题的弱有效解和近似有效解之间的关系。

向量均衡问题是向量优化问题的推广，本文拟在一般线性空间中引进集值均衡问题的近似Benson真有效解，并建立近似Benson真有效解的最优性条件。

1 预备知识

假设X，Y，Z为一般线性空间，集合A为Y中非空子集。若A≠Y，则称A是非平凡的。若a∈A，λ≥0有λa∈A，则称A为锥。若锥A满足A∩(-A)={0}，则称A是点锥。集合A的生成锥定义为cone(A)={λa|λ≥0，a∈A}。

定义1.1[5]设A是Y中的一个非空子集。称A是均衡的，如果∀a∈A，∀λ∈[-1，1]，λa∈A。称A是吸收的，如果∀y∈Y，∃λ′>0，∀λ∈[0，λ′]，λy∈A。

定义1.2[5]设S⊂Y，S是锥。若B是凸集，S=cone(B)且存在均衡的，吸收的凸集V使得0∉B+V，则称B是S的基。

设B是S的基，记N(0)={V⊂Y:V是均衡的、吸收的凸集且0∉B+V}。

A的代数内部定义为

cor(A):={a∈A|∀y∈Y，∃λ′>0，∀λ∈[0，λ′]，a+λy∈A}

A的向量闭定义为

vcl(A):={k∈Y|∃y∈Y，∀λ′>0，∃λ∈[0，λ′]，k+λy∈A}

若A=vcl(A)，则称A是向量闭的。

注1.1若A是非平凡锥，则0∉cor(A)。

记Y*和Z*分别为Y和Z的代数对偶，设S，K分别为Y，Z中的点凸锥，S的代数对偶锥S+定义为

S+={y*∈Y*|〈y*，y〉≥0，∀y∈S}

S的严格正对偶S+i定义为

S+i={y*∈Y*|〈y*，y〉>0，∀y∈S{0}}

定义1.3[14]集值映射F:X→2Y称为在X上是广义S-次类凸的，如果cone(F(X))+cor(S)是凸的。

设G:X→2Z,φ:X×X→2Y为集值映射，记可行集Ω={x∈X:G(x)∩(-K)≠∅}。

其中P∪{0}是Y中的凸锥。

(Φ-SEPC)的向量Benson真有效解的全体记为XvBen(Φ，Ω)

下面引进关于均衡问题的近似向量Benson真有效解的概念。

命题1.1对任意ε∈S，有XvBen(Φ，Ω)⊂ε-XvBen(Φ，Ω)。

(1.1)

因为ε∈S且S是一个凸锥，所以ε+S⊂S+S⊂S。于是

因此

由(1.1)得

部分班组长擅自将其他验收合格脚手架牌子拆卸，挂于未经验收合格的脚手架，企图蒙混过关。项目部制定制度，对于该行为予以严格处罚，同时，安排脚手架主管对所有脚手架挂牌情况建立台账，只有脚手架主管及脚手架检查工程师拥有挂牌和移牌权利，挂牌不能使用铁丝，必须使用脚手架主管的专用工具。最终彻底杜绝了该行为发生，避免企业形象受损。

注1.2由命题1.1得

命题1.2对任意ε1，ε2∈S，若ε2-ε1∈S，则

ε1-XvBen(Φ，Ω)⊂ε2-XvBen(Φ，Ω)

证明类似命题1.1的证明。

定义1.6[11]设B⊂Y，0∉B，B是凸集，若对任意Q∈ζ(B)，存在V∈N(0)使得

Q∩(B+V)=∅

其中ζ(B)={Q⊂Y:Q是凸集，cor(Q)≠∅，Q=vcl(Q)，Q∩cone(B)={0}}。则称B是向量紧的。

命题1.3设Y是有限维局部凸拓扑线性空间，若B是紧集，则B是向量紧的。

证明设Q∈ζ(B)，由于Y是有限维空间，cor(Q)≠∅，因此int(Q)=cor(Q)[15]。由于Q是凸集且int(Q)≠∅，由[16]得vcl(Q)=cl(Q)，由Q=vcl(Q)得Q=cl(Q)。因此Q是闭集。

∀n∈+设则存在bn∈B，vn∈V0使由B是紧集得存在nk∈+使得nk→+时，bnk→b0。由得ynk→b0∈B。又由于ynk∈Q且Q是闭集，因此b0∈Q，于是b0∈B∩Q⊂Q∩cone(B)。由0∉B得b0≠0，因此Q∩cone(B)≠{0}，矛盾。

引理1.1[4]设F:X→2Y是集值映射。cor(S)≠∅，则下列陈述等价:

(ⅰ)F在X上是广义S-次类凸的;

(ⅱ) vcl(cone(F(X)+S))是凸集。

引理1.2[6]假设cor(S)≠∅，则下列陈述等价:

(ⅰ) cone(F(X)+cor(S))是凸的；

(ⅱ) ∃u∈cor(S)使得∀x1，x2∈X，∀λ∈(0，1)，∀ε>0

εu+λF(x1)+(1-λ)F(x2)⊂cone(F(X))+S

引理1.3[16]设A是Y中的非空子集，C是Y中的的非平凡的凸锥。如果cor(C)≠∅，则

(ⅰ)A+cor(C)=cor(vcl(A+C));

(ⅱ) vcl(cone(A)+C)=vcl(cone(A+C));

(ⅲ) vcl(A+C)=vcl(A+cor(C))。

引理1.4[17]设A是Y中的非空子集，则A+=(vcl(A))+。

引理1.5[17]设C⊂Y是非平凡点凸锥，A是Y中非空子集。如果vcl(cone(A)+C)是凸的，则下列陈述只有一个成立:

(ⅰ)A∩(-cor(C))≠∅;

(ⅱ)A+∩C+≠{0}。

引理1.6[18]设s*∈S*{0}，s∈cor(S)，则s*(s)>0。

命题1.4若F在X上是广义S-次类凸的，P是点凸锥，S⊂P，则F在X上是广义P-次类凸的。

证明由于F在X上是广义S-次类凸的，因此cone(F(X))+cor(S)是凸的，由引理1.2，∃u∈cor(S)使得∀x1，x2∈X，∀λ∈(0，1)，∀ε>0有

εu+λF(x1)+(1-λ)F(x2)⊂cone(F(X))+S

由S⊂P得u∈cor(P)且∀x1，x2∈X，∀λ∈(0，1)，∀ε>0有

εu+λF(x1)+(1-λ)F(x2)⊂cone(F(X))+P

再由引理1.2可知cone(F(X))+cor(P)是凸集，因而F在X上广义P-次类凸的。

引理1.7[18]设S，K分别是Y，Z中的凸锥，则(S×K)+=S+×K+。

引理1.8[18]设Q1⊂Y，Q2⊂Z。若cor(Q1)≠∅，cor(Q2)≠∅，则

cor(Q1×Q2)=cor(Q1)×cor(Q2)

定理1.1设S和Q为Y中两个锥，S∩Q={0}，B是S的基，∃V0∈N(0)使得Q∩(B+V0)=∅。则存在点凸锥P使得S{0}⊂cor(P)且Q∩P={0}。

矛盾。

2 Benson真有效意义下集值均衡问题最优性条件

由0∉cor(P)得cor(P)⊂P{0}于是

(2.1)

φ(X)∩-(cor(P)×cor(K))=∅

(2.2)

(2.3)

于是

由(2.3)得

由0∈S得

因此

与(2.1)矛盾。

由φ在X上是广义S×K-次类凸的、S×K⊂P×K及命题1.4知φ在X上是广义P×K-次类凸的，所以vcl(cone(φ(X)+P×K))是凸集，由(2.2)、引理1.4及引理1.7知存在(s*，k*)≠(θY*，θZ*)使得

(s*，k*)∈(P×K)+

(2.4)

且

(s*，k*)∈(φ(X))+

(2.5)

由(2.5)得

即

(2.6)

由(2.4)知s*∈P+，k*∈K+。下证s*≠0。

反证法，若s*=0，则k*≠0，代入(2.6)得

k*(G(x))≥0，∀x∈X

(2.7)

由假设得存在z1∈G(x′)使得z1∈-cor(K)。

由k*∈K+{0}得k*(z1)<0。由(2.7)得k*(z1)≥0，矛盾。由S{0}⊂cor(P)及引理1.6有s*(S{0})>0，因此s*∈S+i。

证明在定理2.1中，令ε=0，则存在s*∈S+i，k*∈K+使得

(2.8)

(2.9)

(2.10)

(2.11)

定理2.2假设

(ⅱ) 存在s*∈S+i，k*∈K+使得

证明由(ⅱ)得

(2.12)

由x∈Ω得存在zx∈G(x)使得zx∈-K，由k*∈K+得k*(zx)≤0，因此k*(G(x))∩(-，0]≠∅。由(2.12)得于是

再由s*(S)≥0得

因此

由引理1.3有

由s*∈S+i得s*(-S{0})<0。因此

于是