例谈一类三角混合题的求解策略

黄智锐 江中伟

(广东省梅州市虎山中学 514299)

近几年来，全国和各省高考对三角函数部分的考查，在内容、题量、分值三个方面保持相对稳定的同时，加大了对三角函数和其他函数结合的一类新函数的考查，难度较大，往往都是压轴题. 这样的命题意在考查考生的计算能力、演绎推理能力、综合应用知识解决问题的能力以及数学思想方法的应用，激发学生进一步学习的潜能. 近几年来不断在高考的相关问题中出现，成为高考题型中的一个创新，仅供参考.

一、sinx、cosx或tanx与一次函数的和或差相结合

此题型形如f(x)=asinx+bx+c、f(x)=acosx+bx+c或f(x)=atanx+bx+c(a,b,c∈R).

例1 设函数f(x)=ax-sinx.若a=1，求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程.

解析由已知得f(x)=x-sinx，求导得f′(x)=1-cosx，因为f(π)=π，f′(π)=2，故所求的切线方程为y-π=2(x-π)，即y=2x-π.

点评根据导数的几何意义求解切线方程.

例2 设函数f(x)=3x+2cosx,g(x)=(ex-1)(e2x-5),若∀x1∈(-,0]，∀x2∈R，f(x1)+a≤g(x2)，则实数a的取值范围是( ).

解析因为f′(x)=3-2sinx>0，所以f(x)在(-,0]上为增函数，所以f(x)max=f(0)=2.令t=ex(t>0)，则h(t)=(t-1)(t2-5)，h′(t)=(t+1)(3t-5).当时，h′(t)<0；当t>时，h′(t)>0.所以从而依题意可得即故应选D.

点评求导，确定f(x)max=f(0)=2，然后换元，构造函数求出g(x)=(ex-1)(e2x-5)的最小值，利用f(x)max+a≤g(x)min，列不等式求实数a即可.

请同学们思考：

1.若∀x1∈(-,0]，∃x2∈[-1,1]，其余条件不变，则实数a的取值范围是____.

2.若∃x1∈(-,0]，∃x2∈[-1,1]，其余条件不变，则实数a的取值范围是____.

3.若∃x1∈(-,0]，∀x2∈[-1,1]，其余条件不变，则实数a的取值范围是____.

二、sinx、cosx或tanx与二次函数的和或差相结合

此题型形如f(x)=asinx+bx2+cx+d、f(x)=acosx+bx2+cx+d或f(x)=atanx+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R).

例3 设函数f(x)=cosx+kx2+(2k-1)x(x∈R).

(1)证明：对∀k∈R，函数f(x)都不是奇函数;

解析(1)假设函数f(x)为奇函数，因为x∈R，所以f(0)=0，这与f(0)=k·02+cos0+(2k-1)·0=1矛盾.故对∀k∈R，函数f(x)都不是奇函数.

点评(1)采用反证法，假设f(x)为奇函数，则必有f(0)=0与f(0)=1矛盾，故假设不成立，即可证明f(x)不是奇函数；

三、sinx、cosx或tanx与三次函数的和或差相结合

此题型形如f(x)=asinx+bx3+cx2+dx+e、f(x)=acosx+bx3+cx2+dx+e或f(x)=atanx+bx3+cx2+dx+e(a,b,c,d,e∈R).

例4 设函数f(x)=ax-sinx.当a≤1，x∈[0,+)时，证明：

四、sinx、cosx或tanx与指数函数的和或差相结合

例5 已知函数f(x)=ex-cosx.

(1)求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;

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解析(1)∵f(x)=ex-cosx，则f′(x)=ex+sinx，∴f(0)=0，f′(0)=1.故函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程y=x.

(2)当x>0时，ex>1≥cosx，此时f(x)=ex-cosx>0，所以函数f(x)在(0,+)上没有零点.又f(0)=0，下面只需证明函数f(x)在上有且只有一个零点.构造函数g(x)=f′(x)=ex+sinx，则g′(x)=ex+cosx.当时，g′(x)>0，所以函数g(x)在上单调递增.因为f′(0)=1，由零点存在定理知，存在使得f′(t)=0，且当时，f′(x)<0；当t0，所以函数f(x)在x=t处取得极小值，则f(t)

点评(1)利用导数研究曲线上某点(x0,f(x0))处的切线方程是基本题型，只需求出f(x0)和f′(x0)，然后利用点斜式写出所求切线的方程即可；

(2)利用分类讨论思想，当x>0时，ex>cosx来说明函数f(x)在(0,+)上没有零点，并利用函数f(x)的单调性和零点存在定理证明函数f(x)在上有且只有一个零点，结合f(0)=0，可证明函数f(x)在)上有两个零点.

五、sinx、cosx或tanx与对数函数的和或差相结合

例6 函数f(x)=sinx-ln(1+x)，f′(x)为f(x)的导数.

证明：f(x)有且仅有2个零点.

②当0ln(1+x)，∴f(x)>0；

③当x1f(x1)，∴f(x)>0；

④当x>2π时，∵ln(1+x)>lne=1，sinx≤1，∴f(x)>0.

故f(x)有且仅有2个零点.

点评此题是2019年高考理数全国Ⅰ卷第20题第(2)问，用分类讨论的方法结合求导判断函数的单调性，再利用零点存在定理可证得.

六、 sinx、cosx或tanx与分式函数的积或商相结合

点评(1)先对函数求导，再求切线的斜率写出切线方程，即得切线的纵截距.

七、形如f(x)=Axmsinx+Bxncosx+C (A、B、C∈R，m、n∈N*)

点评根据导函数的解析式可判断f′(x)为偶函数，利用偶函数图象性质及函数图象的特点即可选出正确答案.

八、sinx、cosx或tanx与其他函数的和差积商相结合

总之，这类三角混合题的求解，无论如何变化，都离不开函数单调性的研究，因此在备考中就应该紧紧围绕这个中心问题，熟练掌握函数求导公式、运用导数工具研究单调性的方法. 进行分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想方法的训练和总结.