强可能性与弱必然性的逻辑

陈佳

1 哲学背景与动机

是什么让现实世界区别于其他可能世界？有些人主张，现实世界是实在的，其他的可能世界只不过是语言的构造。（[2]，第9 页）D.Lewis 等模态实在论者坚持，所有可能世界都同样是实在的，在这点上现实世界和其他可能世界没有区别。（[10]，第2 页）无论如何，我们至少可以有一条简单有效的标准以帮助我们识别出现实世界，这条标准本质地使用了第一人称索引词，所以可称之为第一人称标准：

我们所生活的世界是现实的，其他的世界（如果它们确实存在的话）不是现实的。因此，“猪会飞的世界”、“日本征服中国的世界”、“希拉里当选第45 届美国总统的世界”等这些世界顶多是可能的，但它们不是我们所生活的世界，因而不是现实的。我们只与现实世界中的事物具有时空联系，但与其他可能世界中的事物不具有时空联系。然而有趣的是，人们常常会关心那些非现实的可能世界，甚至着迷于此。人与动物以及人工智能的一个区别是人能够想象非现实的情境。这种反事实思维不仅能给人带来精神愉悦（许多艺术都可以被视为是一种想象活动），而且对于人类文明的延续和发展至关重要。比如Lewis（[9]）和Williamson（[18]）分别用反事实推理来刻画因果和模态概念，而掌握这两种概念对于人类进行决策实践和科学探究而言无疑都是必要的。

可能世界思想为模态逻辑提供了标准语义学。一个命题如果它在现实世界中是真的，则它是实然的；如果它在某个现实世界可及的可能世界中是真的，则它是可能的；如果它在所有现实世界可及的可能世界中都是真的，则它是必然的。现实世界相对于自身而言也是一个可及的可能世界，所以实然性蕴涵了可能性。然而，若某命题的可能性仅仅出于其实然性，那么这种可能性不免是有些平庸的。当我们讨论可能性时，我们更关心那些非现实的可能世界中有哪些命题成立。因此，本文将考察两种新的真势模态性质：强可能性和弱必然性。一个命题是强可能的，如果它在某个非现实的但可及的可能世界中是真的；它是弱必然的，如果它在所有非现实的但可及的可能世界中都是真的。不难发现，强可能性蕴涵了可能性，必然性蕴涵了弱必然性。此外，强可能与弱必然性互为对偶。这就是说，一个命题是强可能的，当且仅当它的否定不是弱必然的；它是弱必然的，当且仅当它的否定不是强可能的。在逻辑性质上，强可能性类似于可能性，弱必然性类似于必然性，但它们也具有显著的不同：实然性不蕴涵强可能性，弱必然性不蕴涵实然性，而且弱必然性不蕴涵强可能性。

与强可能性概念（以及弱必然性概念）直接相关的是他世界模态（modality for other-world），也被称为不等性模态（modality of inequality）。对于世界w而言，命题p在他世界上成立，当且仅当存在一个不同于w的世界v使得p在v上成立。他世界模态的概念起源于von Wright 对空间逻辑的研究1von Wright（[19]）称之为地点的模态逻辑（a modal logic of place）。，在此语境下它表达的意义是（某命题）在非此地的其他某个地点上（elsewhere）成立（对elsewhere 算子的研究，参见[15，16，19]）。类似地，在时态逻辑语境下它表达了（某命题）在非此时的其他某个时刻上（elsewhen）成立。2作为“elsewhere”在时态上的对应物，“elsewhen”是Segerberg 所生造的英语词。Segerberg认为刻画“elsewhere”和“elsewhen”的是同一种逻辑，更详细的讨论见[13，15，16]。在时态逻辑语言上了加入不等性算子（等同于“elsewhen”算子），从而能够刻画更加丰富的时间结构（比如严格线序）。他世界模态也可以作为一种真势模态来理解，比如Humberstone（[8]）认为，他世界模态逻辑为区分模态实在论、反实在论以及不可知论提供了恰当的逻辑基础，而这是普通的模态逻辑所做不到的。他世界模态与强可能性模态的联系和区别是显而易见的。一方面，当可能世界之间的可及关系是近全通关系时（即任意两个不同的可能世界之间都是可及的），他世界模态与强可能性模态是等价的，因此可以将他世界模态逻辑视为强可能性模态逻辑的特例。事实上，他世界模态逻辑的极小系统（即[19]中的系统SW B+A5，[16]中的系统KAB，[13]中的系统DL以及[8]中的系统KB4′）等价于下文所给出的系统4（及其等价系统5）。另一方面，他世界模态不涉及可能世界之间的可及关系，或者说它只涉及一种可及关系，即不等关系3在不等关系下，两个世界w 和v 是可及的，当且仅当wv。，而强可能性模态则可以容纳任意可及关系。从多模态逻辑角度来看，他世界模态只是一种模态，而对任何可能型模态而言（包括形而上学可能、物理可能、认知可能、置信可能、道义可能等等）都存在与之对应的一种强可能型模态，这也使得强可能性模态具有更宽广的应用前景。

强可能性和弱必然性概念也启发了我们去考察其他相关的真势模态。莱布尼茨提出：有些实然命题不仅是真的，而且是必然的；有些实然命题却仅仅是偶然的，“它们的反面是可能的”。4参见莱布尼茨《单子论》第33 节，中文译文见[20]，第482 页。按照可能世界语义的分析，莱布尼茨所谓“事实的真理”指的是这样的命题：它在现实世界中是真的，但在某个非现实的可及世界中不真，即它的否定是强可能的。莱氏“事实的真理”在当代文献中也被称为偶真性（accident）5与偶真性容易混淆的一个概念是偶然性（contingency），它是与非偶然性（non-contingency）相对偶的概念。称命题p 是偶然的，指的是p 及p 的否定都是可能的。关于偶然性逻辑，可参考[3，5，7]以概览这个领域。，它与本质性（essence）构成了一组对偶概念，它们作为非正规的真势模态而受到了逻辑学家的关注（参见[4，11，17，21]）。尽管在相关文献中，偶真性与本质性由可能性和必然性所定义，但实际上它们也可以被强可能性和弱必然性定义。不仅如此，利用强可能性和弱必然性模态我们还可以定义出一种新的偶然真理概念：称一个命题是“超偶然真理”，当且仅当它在现实世界中是真的，但它在任何非现实的可及世界中都不真，即它的否定是弱必然的。6值得与“超偶然真理”概念加以比较的还有Pan 和Yang（[12]）提出的强偶性概念（strong accident）。称一个命题具有强偶性，当且仅当该命题成立但其否定必然不成立。显然，任何满足强偶性的命题都是“超偶然真理”，但反之不必然。“超偶然真理”反映的是那些几乎不可能为真但偏偏竟然成真的命题，因此可以说它们是“奇迹”，构造关于“奇迹”的逻辑将是一个有趣的探索方向。

我们关心强可能性和弱必然性的另一个动机来自于动态逻辑。（[6]）模态逻辑除了是刻画可能性和必然性的，它也是刻画变化的。在这种解释之下，菱形算子代表的是在某种动作之后系统状态发生了转移，但这种解释并不排除“原地踏步”式的状态转移，即经过某种动作之后状态实际上未发生变化。与之对照的是，强可能性刻画的是状态转变，即经过某种动作之后系统的状态发生了变化。因此，强可能性在更严格的意义上刻画了变化。

综上所述，强可能性和弱必然性不仅在逻辑上是两种新的真势模态，在哲学上无疑也是颇具吸引力的重要概念。尽管如此，本文的目标主要在逻辑上而非哲学上，即对强可能性和弱必然性的逻辑（以下简称强可弱必逻辑）作一个初步但力图系统的研究。本文的安排如下：第2 节给出强可弱必逻辑的形式语言和语义，提出了适用于强可弱必逻辑的互模拟概念，并将之运用于对强可弱必语言和模态逻辑语言以及一阶语言的表达力比较；第3 节给出强可弱必逻辑的极小公理系统以及在各框架类上的扩张系统，并证明它们的可靠完全性；第4 节考虑了在同时含有必然和弱必然算子的双模态语言下的公理刻画，给出了两个具有普遍性的桥接公理但又指出了它们的局限性。

2 强可弱必逻辑：语言、语义和表达力

2.1 语言和语义

令Φ 是一原子命题集合，定义形式语言L(∗)为：

其中p ∈Φ。当∗取弱必然算子时，那么得到的是强可弱必逻辑语言SW；当∗取必然算子时，得到的是单模态逻辑语言ML；当∗既可以取也可以取时，得到的是带必然算子和弱必然算子的双模态逻辑语言ML+。给定公式φ和ψ，规定以及分别是¬(¬φ ∧¬ψ)，¬φ ∨ψ，的缩写。直观上，以及分别可以读作：“φ是弱必然的”，“φ是强可能的”，“φ是必然的”以及“φ是可能的”。

一个Kripke 模型（以下简称模型）是一个三元组M=(W，R，V)，其中W是一个非空的可能世界集合，R⊆W2是W上的二元可及关系，赋值函数V:Φ2W给每个原子命题指派一个满足它的可能世界集合。二元组F=(W，R)被称为M所基于的框架。对于w ∈W，称(M，w)是一个点模型。公式在点模型上的真值条件被归纳定义为：

由上述定义不难得出的真值条件：

这就是说，在w上是真的，当且仅当存在某个w可及的但又不同于w本身的可能世界v，φ在v上是真的，即在世界w中φ是强可能的。

给定可及关系R，令R−={(w，v)，那么的真值条件可以被重新表述为必然型模态的“常规”形式：

这表明强可能性算子和弱必然算子在逻辑性质上仍然是一种正规模态。

对于公式集Γ 和公式φ：如果Γ 中的所有公式都在点模型(M，w)上是真的，那么称(M，w)满足Γ；令X是一框架类或模型类，如果对所有X中的模型M，以及M中的世界w都有(M，w)|=Γ 蕴涵(M，w)|=φ，那么称在X上φ是Γ 的语义后承，记作Γ|=X φ。如果，那么称在X上φ是有效的，并简记为。特别地，当X是全部框架构成的类（或全部模型构成的类）时，Γ被简记为Γ|=φ，并称φ是Γ 的语义后承，同样地被简记为，并称φ是有效的。

通过限制可及关系R的性质，我们可以得到许多有趣的框架（模型）类。本文主要考察以下常见的框架（模型）类，其中由同样的可及关系性质所规定的框架类和模型类使用了同样的记法，在下文中易由语境辨别出它们指称的是框架类还是模型类：

记法 名称 可及关系R的性质

D持续框架（模型）类 持续性：∀x∃y(xRy)

T自反框架（模型）类 自反性：∀x(xRx)

A禁自反框架（模型）类 禁自反性：∀x(¬xRx)

B对称框架（模型）类 对称性：∀x∀y(xRy →yRx)

4传递框架（模型）类 传递性：∀x∀y∀z(xRy ∧yRz →xRz)

5欧性框架（模型）类 欧性：∀x∀y∀z(xRy ∧xRz →yRz)

S4自反传递框架（模型）类 自反性+传递性

S5等价框架（模型）类 自反性+对称性+传递性

此外，由所有框架（模型）构成的类被记为K。对于框架（模型）类X和Y，我们用XY表示它们的交集。

2.2 与模态逻辑语言的表达力比较

给定模型类X，如果对于语言L2中的任何公式φ都存在语言L1中的某个公式ψ，使得，那么称在X上L1的表达力至少和L2一样强，记作。如果但，那么称在X上L1的表达力严格强于L2，记为。如果且，那么称在X上L1和L2的表达力一样强，记作。如果且，那么称在X上L1和L2的表达力不可比较，记作。

当可及关系R满足禁自反性时，那么R=R−，因而对任何公式φ都有以及。此时，强可能性坍塌为可能性，必然性坍塌为弱必然性。这说明在禁自反框架中，强可弱必逻辑语言和模态逻辑语言的表达力一样强，即SW ≈A ML。

当可及关系R满足自反性时，那么R=R−∪{(w，w)|w ∈W}，因而不难验证对任何公式φ都有并且。因此可以用强可能算子和弱必然算子来定义可能算子和必然算子。这说明在自反模型类中，强可弱必逻辑语言表达力至少和模态逻辑语言一样强，即。事实上下文（定理2）还将进一步表明，在自反模型类上强可弱必逻辑语言的表达力严格强于模态逻辑语言。

在更多的模型类中这两种语言的表达力不可比较，其证明思路是考察它们分辨不同模型的能力。给定语言L，称点模型(M，w) 和(M′，w′) 是L等价的，记作(M，w)≡L(M′，w′)，如果对任何L公式φ都有(M，w)(M′，w′)。当(M，w)≡L(M′，w′)时，我们无法利用语言L来分辨这两个模型。一个语言的表达力越强，它分辨模型的能力也越强。显然，如果可以构造出两个基于X的点模型(M，w)和(M′，w′)，使得(M，w)≡L1(M′，w′)但(M，w)2(M′，w′)，那么L1X L2。

如何发现两个模型是否关于某个语言等价？在模态逻辑中，互模拟为我们发现模态不变性提供了基础。但是相对于我们的新语义，需要对互模拟关系加以修订。

定义1(互模拟和3互模拟).给定模型M=(W，R，V)和M=(W′，R′，V ′)。称二元关系Z⊆W×W′是M和M′之间的互模拟，记为Z:，如果下述条件成立：

(1) 如果wZw′那么w和w′满足同样的原子命题；

(2) 如果wZw′，wRv并且wv，那么存在（M′中的）v′使得vZv′，w′R′v′并且w′v′；

(3) 如果wZw′，w′R′v′并且w′v′，那么存在（M中的）v使得vZv′，wRv并且。

如果存在Z使得它是将M中的w以及M′中的w′连接起来的3·互模拟，那么称w和w′之间互相似，记作。

若将上述条款(2)和(3)修改为：

(2′) 如果wZw′且wRv，那么存在（M′中的）v′使得vZv′并且w′R′v′；

(3′) 如果wZw′且w′R′v′，那么存在（M中的）v使得vZv′并且wRv；

那么我们得到了通常的互模拟关系，这里不妨把它称做互模拟关系。

例1.考虑如下模型，其中{w1，w2，w3，w4，w5，w6}满足同样的原子命题，{w7，w9}满足同样的原子命题，{w8，w10}满足同样的原子命题，其余的世界所满足的原子命题不尽相同：

注意这些模型中，除了M1其他都满足持续性，除了M2其他都满足对称性，除了M5其他都满足传递性以及欧性，并且只有M3、M4和M6满足自反性。不难验证，，其余的世界两两不互相似；，其余的世界两两不3互相似。

从例1 可以看出，互模拟和互模拟相互不蕴涵对方。但是它们仍然存在着紧密的联系：

命题1.对于模型M=(W，R，V)，令M−=(W，R−，V)。那么对任何点模型(M，w)和(M′，w′)，当且仅当。

证明.只要注意到对任何Z⊆W×W′都有：

那么结论显然成立。

互模拟是通向模态不变性的阶梯，因为存在着下述定理：

定理1.对任意点模型(M，w)和(M′，w′)，

证明.(1)和(2)的证明请参考[1]第67 页定理2.20，第69 页定理2.24。(3)和(4)仿照之亦容易证明。

因此，对于有限模型而言，互相似等同于SW等价，互相似等同于ML等价。这样在例1 中，我们就构造出了一些ML等价但SW不等价的模型，以及一些SW等价但ML不等价的模型，从而我们得到了下述结论：

定理2.对模型类X ∈{T，T B，S4，S5}，有。对模型类X ∈{K，D，B，4，5，45，DB，B45}，有SW⋏X ML。

2.3 与一阶语言的表达力比较

每个Kripke 模型都可以被自然转化为一个一阶模型，因此我们可以对模态语言和一阶语言的表达力进行比较。众所周知，在模型层面上模态语言是一阶语言的互模拟不变片段。对于强可弱必逻辑也存在着类似的结果。

每个SW公式都存在着一个与之语义等价的一阶对应公式，该公式被称作原公式的标准翻译，它含有且仅含有一个自由变元。令x是一个一阶变元，标准翻译STx是一个从SW公式到一阶公式的映射，它被递归地定义为：

类似于van Benthem 刻画定理的证明（[1]，第103 页定理2.68）我们有如下的刻画定理：

定理3(刻画定理).令α(x)是一个一阶公式。那么α(x)相对于互模拟不变，当且仅当它等价于某个SW公式的标准翻译。

因此，在模型层面上强可弱必逻辑语言SW是一阶语言的互模拟不变片段。

3 强可弱必逻辑：公理化与完备性

本节将给出强可弱必逻辑的极小公理系统以及它关于各种框架类的扩张系统，并证明它们的可靠完全性。这里先对一些必要的预备概念和引理作些说明。注意，在非指明的情况下本节所说的公式均指SW公式。

一个公理系统L 由若干公理和推理规则构成。如果只使用这些公理和推理规则能推导出公式φ的话，那么称φ是L 的定理，记作Lφ。如果公式集Γ 中存在φ0，...，φn使得Lφ0∧···∧φn →φ，那么称在L 下可由Γ 衍推出φ，记作ΓLφ。称公式集Γ 是L 一致的，如果ΓLp ∧¬p。如果L 是经典命题逻辑的扩充的话，那么对任何公式集Γ 和公式φ有：Γ∪{¬φ}是L 不一致的，当且仅当ΓLφ。

证明某个公理系统L 相对于框架类F是完全的，其通常的思路是先证明对于每个L 一致的集合都存在一个基于F的点模型(M，s)，使得(M，s)满足Γ。这时，若有Γ，那么Γ∪{¬φ}不可被任何基于F的点模型满足，从而Γ∪{¬φ}是L 不一致的，因此有ΓLφ。这说明了L 关于框架类F是完全的。

典范模型方法是为一致集寻找满足它的模型的标准方法，其思想是利用逻辑系统的语形特征来构建语义模型。典范模型方法非常依赖于极大一致集的概念。给定公理系统L，称公式集Γ 是L 极大一致集，当且仅当(i)Γ 是L 一致的，(ii)Γ 是极大的，即对所有L 一致集Γ′，若Γ⊆Γ′，那么Γ=Γ′。所有L极大一致集构成的集合被记为MCS(L)。关于极大一致集，有如下重要性质：

引理1.令L 是一个包含经典命题逻辑的扩张系统，Γ 是任意L 极大一致集，那么

(1) 任何L 一致集都可以扩充为L 极大一致集；（Lindenbaum引理）

(2) 对任何公式φ，或者φ ∈Γ，或者¬φ ∈Γ；

(3) 若φ →ψ，φ ∈Γ，那么ψ ∈Γ；

(4)φ0∧···∧φn ∈Γ 当且仅当对所有i ∈{0，...，n}，φi ∈Γ；

(5)φ0∨···∨φn ∈Γ 当且仅当存在i ∈{0，...，n}使得φi ∈Γ。

3.1 极小系统

引理2.对任何L 极大一致集Γ，若，那么是L 一致的。其中，。

集合(Γ)也被称为Γ 的去弱必然化集。

我们将尝试为L 构建典范模型。对此，一个自然的思路是：用MCS(L)作为其典范模型的可能世界集，并规定L 极大一致集Γ′对于L 极大一致集Γ 是可及的，当且仅当L 的去弱必然化集合(Γ)包含于Γ。但这样构建的典范模型是不可行的。考虑集合S=，当它是L 一致的时候，它可以被扩张为L 极大一致集Γ。从Γ 所包含的命题来看，它声称它有且仅有一个非它自身的可及世界，而这个世界所包含的命题又和Γ 完全相同。然而作为极大一致集，这个和Γ 包含了一样的命题的可能世界又只能是Γ 本身，矛盾！

对此的解决方法是为每一个“有问题的”L 极大一致集建立一个它的副本。7本文建立副本的技巧与文献[14，16]中的“bulldozing”方法类似。所谓“有问题的”L 极大一致集，指的是那些包含所有形如的公式的L 极大一致集。这样的L 极大一致集之所以是“有问题的”，因为它暗示了存在某个它可及的世界，这个世界不同于它，但又和它满足完全相同的命题。因为形式上是模态逻辑的(T)公理，所以我们将所有“有问题”的L 极大一致集所构成的集合记为T(L)，并令=MCS(L)/T(L)。由于极大一致集的性质（引理1），容易证明：对所有L 极大一致集Γ，Γ∈T(L)当且仅当(Γ)⊆Γ。

语言SW对于所描述的世界是否满足自反性无所说，即我们不能通过它的语句来判断某个世界是否是其自身的可及世界。这既为我们构造典范模型造成了一定的障碍，但也提供了一些灵活性。这就是说，我们可以自己调整可及关系，使之满足自反性或不满足自反性。这里我们希望构造的是满足自反性的典范模型。

定义2(自反典范模型).给定任意K 的一致正规扩张L，定义L 的自反典范模型为RC(L)=(W，R，V)，其中

注意，根据我们对R定义，显然R是自反的。对于(n，Γ)∈W，参数n表明了L 极大一致集Γ 的性质：当Γ/∈T(L)时，n的取值只能是2，此时(2，Γ)没有额外的副本；当Γ∈T(L)时，n取值为0 或1，此时(0，Γ)和(1，Γ)互为对方的副本。

引理3(RC(L) 的真值引理).给定任意K 的一致正规扩张L，令RC(L)=(W，R，V)是其自反典范模型，那么对任意(n，Γ)∈W以及任意公式φ都有：

证明.我们对公式结构归纳，布尔情况易证，这里只考虑φ=的情况。

首先，当Γ 时，那么(Γ)，因而由定义2 可知对W中的任意元素(m，Γ′)(n，Γ)，若(n，Γ)R(m，Γ′)，那么α ∈Γ′，再由归纳假设，有(RC(L)，(m，Γ′))。由的真值条件可知，(RC(L)，(n，Γ))。

其次，当/∈Γ 时，由/∈Γ 和引理2 可知，(Γ)∪{¬α}是L 一致的，从而可以扩充为极大一致集Γ′。我们这时分两种情况讨论：

• 情况1：n=2。此时Γ/∈T(L)，从而存在公式β使得2·β ∈Γ 但β/∈Γ。因为Γ，所以β ∈Γ′。又因为β/∈Γ，从而ΓΓ′。当Γ′ ∈T(L)时，我们令m=0，否则令m=2，因而由定义2 可知(m，Γ′)∈W。因为(Γ)⊆Γ′，所以(n，Γ)R(m，Γ′)；因为ΓΓ′，有(n，Γ)(m，Γ′)；因为¬α ∈Γ′，由归纳假设，有(RC(L)，(m，Γ′))α。因此，根据的真值条件，有(RC(L)，(n，Γ))。

• 情况2：n ∈{0，1}。此时Γ∈T(L)，即(Γ)⊆Γ。当Γ′ ∈T(L)时，那么令m=1−n，否则令m=2。因此有并且(m，Γ′)∈W。从而我们同样有(n，Γ)R(m，Γ′)，(n，Γ)(m，Γ′)，但(RC(L)，(m，Γ′))α。因此，(RC(L)，(n，Γ))。

当我们将引理3 运用到系统K 上时，我们为每个K 极大一致集Γ 找到了一个满足它的模型：当Γ∈T(K) 时，有(RC(K)，(0，Γ))Γ；当Γ/∈T(K)时，有(RC(K)，(2，Γ))Γ。而且，这个模型满足自反性，从而也满足持续性。又因为K 在全框架类上是可靠的，所以我们得到了如下的完备性结果：

定理4(K 的完备性).系统K 相对于全框架类K、持续框架类D和自反框架类T都是可靠完全的，即：对X ∈{K，D，T}，以及任意公式集Γ 和公式φ，ΓKφ当且仅当Γ。

在下一节中，我们将引理3 运用于更多的扩张系统上去。

3.2 扩张系统

本节将要考察如下的特征公理（模式）和扩张系统:

在证明扩张系统的语义完全性之前，我们需要对这些公理和系统的性质作简要讨论。首先，这些公理的命名会让人自然联想到模态逻辑的(B)、(4)以及(5)公理。我们知道(B)、(4)、(5)公理分别定义了对称性、传递性以及欧性。8称公式φ 定义了框架性质P，指的是对所有框架F，F 具有性质P 当且仅当φ 在F 上有效。那么公理(B)、(B′)、(4)以及(5)是否也定义了相应的框架性质呢？不难验证，除了(B)公理，它们所定义的框架性质要更弱一些。

命题2.

公理(B)定义了对称性：∀x∀y(xRy →yRx)；

公理(B′)定义了弱对称性：∀x∀y∀z(xRy ∧yRz →zRy ∨x=y)；

公理(4)定义了弱传递性：∀x∀y∀z(xRy ∧yRz →xRy ∨x=z)；

公理(5)定义了弱欧性：∀x∀y∀z(xRy ∧xRz →yRz ∨x=z ∨y=z)。

这里作五点评论，其正确性请读者自行验证：(1) 系统B4 和系统B5是等价的；(2) 对于任何包含有(4) 的扩张系统，若将(4) 替换为(4′)：，那么得到的新系统与原系统是等价的；(3)对称性蕴涵弱对称性，传递性蕴涵弱传递性，欧性蕴涵弱对称性以及弱欧性；(4)不存在SW公式能够定义持续性、自反性、传递性和欧性；(5)尽管如此，模态语言仍然能够定义弱对称性、弱传递性和弱欧性（见命题3）。

命题3.存在模态公式可以定义弱对称性、弱传递性和弱欧性，具体而言：

模态公式()定义了弱对称性；

模态公式(φ ∨ψ)（或者）定义了弱传递性；

模态公式(ψ →φ)()定义了弱欧性。

通过以上讨论，可得关于上述扩张系统的可靠性结果：

命题4.

接下来我们考虑这些扩张系统的语义完全性。我们希望能将引理3 运用于对这些系统的完全性证明上，这要求我们证明它们的自反典范模型满足相应的框架性质。

引理4.对于系统4 的任意一致正规扩张L，其自反典范模型RC(L)=(W，R，V)都基于传递框架。

证明.我们假设(n1，Γ1)R(n2，Γ2) 且(n2，Γ2)R(n3，Γ3)，以此来证明(n1，Γ1)R(n3，Γ3)。当(n1，Γ1)=(n3，Γ3) 或者(n1，Γ1)=(n2，Γ2) 或者(n2，Γ2)=(n3，Γ3)时，因为RC(L)基于自反框架，我们立刻有所需结论，所以我们仅需考虑这三者两两不相等的情况，此时(Γ1)⊆Γ2并且(Γ2)⊆Γ3，而我们需要证明(Γ1)⊆Γ3。令φ是属于(Γ1)的任意公式，即Γ。如果Γ1=Γ3，那么必然n13，因此有n1，n3∈{0，1}而且Γ1=Γ3∈T(L)，此时(Γ1)⊆Γ1=Γ3，即所需结论成立。如果Γ1Γ3，那么不妨假设ψ ∈Γ1而¬ψ ∈Γ3。由公理(4)可知(φ ∨ψ)∈Γ1，又因为Γ1且ψ ∈Γ1所以有(φ ∨ψ)∈Γ1。因为(Γ1)⊆Γ2，所以(φ ∨ψ)∈Γ2，又因为(Γ2)⊆Γ3，所以φ ∨ψ ∈Γ2，再由于¬ψ ∈Γ3，所以φ ∈Γ3。因为φ的任意性，所以有(Γ1)⊆Γ3，因而(n1，Γ1)R(n3，Γ3)。

引理5.对于系统B 的任意一致正规扩张L，其自反典范模型RC(L)=(W，R，V)都基于对称框架。

证明.我们假设(n1，Γ1)R(n2，Γ2)，以此来证明(n2，Γ2)R(n1，Γ1)。当(n1，Γ1)=(n2，Γ2)时，因为RC(L)基于自反框架，所以结论直接成立。因此，我们考虑(n1，Γ1)(n2，Γ2)的情况，此时有(Γ1)⊆Γ2，而我们需要证明(Γ2)⊆Γ1。考虑任意公式φ，并假设φ/∈Γ1，这等价于¬φ ∈Γ1。又由公理(B)有Γ1，因此Γ1。再由(Γ1)⊆Γ2，有Γ2，因此/∈Γ2。由φ的任意性，有(Γ2)⊆Γ1。

因此，RC(B)、RC(4)和RC(B4)（=RC(B5)）分别基于自反对称框架、自反传递框架以及等价框架（即自反对称传递框架），从而利用引理3（以及命题4）我们有如下的完备性结果：

定理5(B、4、B4、B5 的完备性).

(1) 系统B 相对于对称框架类B、持续对称框架类DB以及自反对称框架类T B都是可靠完全的；

(2) 系统4 相对于传递框架类4、持续传递框架类D4以及自反传递框架类S4都是可靠完全的；

(3) 系统B4 及其等价系统B5 相对于对称传递框架类B4（它等同于对称欧性框架类B5）以及等价框架类S5都是可靠完全的。

目前为止都很顺利，但是对于系统5 而言却存在着麻烦，因为它的自反典范模型不满足欧性。为此，我们需要为它构造新的典范模型，这个典范模型满足欧性但不满足自反性。我们的做法是对2·5 极大一致集进一步分类。首先定义ΛB=是任意SW公式}，再定义B(5)={Γ∈MCS(5)|ΛB⊆Γ}。因此若Γ∈B(5)，那么Γ 包含了公理(B):的所有代入例，从直观上来讲这样的Γ 似乎“声称”自己满足对称性；反之那些B(5)以外的5 极大一致集，它们构成的集合被记为，则“声称”自己不满足对称性。另外，由于5 包含了公理(B′):()，所以任何5 极大一致集Γ 都满足ΛB⊆−(Γ)。因此，若Γ∈T(5)，即(Γ)⊆Γ，那么ΛB⊆Γ，即Γ∈B(5)。这说明了T(5)⊆B(5)。因此MCS(5)可以被完整地划分为三个部分：T(5)、B(5)/T(5)以及B(5)。在这个基础上，我们将5 的典范模型构造如下：

定义3(5 典范模型).定义5 的典范模型为CM5=(W，R，V)，其中

和自反典范模型的情形类似，对于CM5中的世界(n，Γ)，参数n规定了Γ的性质。当n ∈{0，1}时，，并且存在一个(n，Γ)的副本(1−n，Γ)；当n ∈{0，1，2}时，，并且(n，Γ) 可以连接到自身；当n=3 时，，并且(n，Γ)不会被任何世界连接到。

引理6(CM5的真值引理).对任何CM5中的世界(n，Γ)以及任意公式φ都有：

证明.我们对公式结构归纳，布尔情况易证，这里只考虑φ=的情况。

首先，当Γ 时，可知对任意(m，Γ′)∈W，若(n，Γ)R(m，Γ′)且(n，Γ)(m，Γ′)，则(Γ)⊆Γ′，因而α ∈Γ′，再由归纳假设，有(CM5，(m，Γ′))。因而由的真值条件可知(CM5，(n，Γ))。

其次，当/∈Γ 时，那么(Γ)∪{¬α}一致，因此可以扩张为极大一致集Γ′，并且因为ΛB⊆−(Γ)⊆Γ′，所以可知Γ′ ∈B(5)。进一步地，一方面，如果Γ′ ∈T(5)，那么令m=(n −1)6−2n，易证此时无论n取何值，必然有且m ∈{0，1}，从而有(m，Γ′)∈W、(n，Γ)(m，Γ′)并且(n，Γ)R(m，Γ′)。另一方面，如果Γ′/∈T(5)，即(Γ′)⊈Γ′，又因为(Γ)⊆Γ′，所以ΓΓ′，此时令m=2，从而也有(m，Γ′)∈W、(n，Γ)(m，Γ′)并且(n，Γ)R(m，Γ′)。由归纳假设可知(CM5，(m，Γ′))α，从而由的真值条件可知(CM5，(n，Γ))。

引理7.CM5=(W，R，V)基于持续、欧性框架。

证明.首先证明CM5=(W，R，V)基于持续框架。令(n，Γ)∈W，考虑两种情况：第一，当(Γ)是不一致的时，易证ΛB⊆Γ，因此Γ∈B(5)，从而可知。根据定义可知，此时有(n，Γ)R(n，Γ)。第二，当(Γ)是一致的时，那么它可以被扩充为极大一致集Γ′，并且因为ΛB⊆−(Γ)⊆Γ′，所以Γ′ ∈B(5)；进一步地，如果Γ′ ∈T(5)则令m=0 否则的话令m=2，易证(m，Γ′)∈W并且(n，Γ)R(m，Γ)。

接着，我们证明CM5=(W，R，V)基于欧性框架。假设(n1，Γ1)R(n2，Γ2)并且(n1，Γ1)R(n3，Γ3)，我们以此证明(n2，Γ2)R(n3，Γ3)。首先注意，根据定义可知n2，n3∈{0，1，2}，这意味着Γ2，Γ3∈B(5)，即ΛB⊆Γ2且ΛB⊆Γ3。如果(n2，Γ2)=(n3，Γ3)，那么根据定义直接有(n2，Γ2)R(n3，Γ3)；如果(n3，Γ3)但Γ2=Γ3，那么必然有Γ2，Γ3∈T(5)，所以有(Γ2)⊆Γ2=Γ3，因而有(n2，Γ2)R(n3，Γ3)。因此，现在仅需考虑Γ2Γ3的情况。这时进一步分为三种情况讨论：

由引理6 和引理7，以及命题4，我们得到了系统5 的完备性结果：

定理6(5 的完备性).系统5 相对于欧性框架类5以及持续欧性框架类D5都是可靠完全的。

4 双模态逻辑：加入必然算子

第2 节指出在许多框架类上强可弱必逻辑语言SW和模态逻辑语言ML在表达力上不可比较，因此包含了必然算子和弱必然算子的双模态语言ML+的表达力在许多框架上都严格强于SW和ML。9一个值得注意的事实是混合模态逻辑语言的表达力要比ML+ 更强，因为在混合模态逻辑语言中φ 和φ 可以分别被定义为↓i (¬i →φ)和↓i (¬i ∧φ)。本节将对ML+的公理系统作一个初步探究，因而所谈论的公式也均指ML+公式。

首先，不难发现以下用于刻画必然算子和弱必然算子之间关系的桥接公理是有效的：

给定任意关于2的正规模态逻辑L，令，那么我们得到了一个同时刻画必然性和弱必然性（以及可能性和强可能性）的逻辑。在很多情况下，L+作为L 的双模态扩张都是恰当的。

定义4.给定关于的正规模态逻辑L，L+的典范模型被定义为CML+=(W，R，V)，其中

引理8(CML+的真值引理).给定关于的正规模态逻辑L，对于CML+=(W，R，V)中的任意世界(n，Γ)以及任意公式φ都有：

证明.我们只考虑φ=的情况。

首先，当Γ 时，那么考虑任意(m，Γ′)∈W满足(n，Γ)(m，Γ′)且(n，Γ)R(m，Γ′)。一方面，如果α ∈Γ，那么因为公理() 有Γ，从而可得Γ，又由(n，Γ)R(m，Γ′)可得α ∈Γ′。另一方面，如果α/∈Γ，那么Γ/∈T(L+))，因而必然有ΓΓ′，因此存在β使得β ∈Γ但是¬β ∈Γ′，由β ∈Γ 和Γ 易得(α ∨β)∧(α ∨β)∈Γ，又由公理()有(α ∨β)∧(α ∨β)(α ∨β)∈Γ，从而可得2(α ∨β)∈Γ，又因为(n，Γ)R(m，Γ′)，所以有α ∨β ∈Γ′。又因为¬β ∈Γ′，所以α ∈Γ′。因此，无论如何都有α ∈Γ′。由归纳假设可得(CML+，(m，Γ′))。由的真值条件，可得(CML+，(n，Γ))。

其次，当/∈Γ 时，(Γ)∪{¬α}一致，进而可扩充为极大一致集Γ′。由公理():可知(Γ)(Γ)，从而有(Γ)⊆Γ′。如果Γ=Γ′，那么可知Γ∈T(L+)，从而n ∈{0，1}，此时我们令m=1−n；如果ΓΓ′，那么如果Γ′ ∈T(L+)，我们令m=0，否则令m=2。在以上各种情况中都有(m，Γ′)∈W、(n，Γ)(m，Γ′)并且(n，Γ)R(m，Γ′)。由归纳假设可知，(CML+，(m，Γ′))α。由的真值条件，可得(CML+，(n，Γ))。

容易验证，CMD+、CMT+、CM4+、CMB+、CM5+、CMS4+以及CMS5+分别基于持续框架、自反框架、传递框架、对称框架、欧性框架、自反传递框架以及等价框架。因此，我们得到了如下的完备性结果：

定理7(双模态系统的完备性).必然和弱必然的双模态逻辑系统K+、D+、T+、4+、B+、5+、S4+以及S5+分别相对于全框架类、持续框架类、自反框架类、传递框架类、对称框架类、欧性框架类、自反传递框架类以及等价框架类是可靠完全的。

一个自然的猜想是：对于任意框架类F，令LML(F)和LML+(F)分别是模态语言ML下和双模态语言ML+下刻画该框架类的逻辑，那么LML+(F)=LML(F)+。然而，这个猜想并不正确。考虑所谓的平庸框架类：在平庸框架上每个世界都有且仅有一个可及世界，即它自身。不难验证，刻画平庸框架类的单模态逻辑系统是Triv=K+(Triv):。在平庸框架中，每个世界都无法连接到除自己之外的其他世界，所以是平庸地有效的，因此刻画平庸框架类的双模态逻辑系统显然是Triv=Triv+(Ver):。然而，系统Triv+和系统Triv 并不等价。

命题5.系统Triv+和系统Triv 不等价。

证明.令σ是一个从ML+公式到ML公式的翻译函数，它被归纳定义为：通过对证明长度的归纳，不难验证对于任何ML+公式φ，若Triv+φ，那么Triv+σ(φ)。因此，由于σ((p ∧¬p))=(p ∧¬p)并且Triv+p ∧¬p，所以Triv+(p ∧¬p)。但是因为Triv(p ∧¬p)，所以系统Triv+和系统Triv不等价。

因此，通过给关于必然性的单模态逻辑添加桥接公理()和()，以得到相应的关于必然性和弱必然性的可靠完全的双模态逻辑，这种方案并非永远都是可行的。这是这两个桥接公理在应用上的一个局限性。

尽管原来的猜想被证伪了，但这给我们提出了一个留待解决的新问题：

问题4.1.在何种充要条件下，框架类F满足LML+(F)=LML(F)+？

5 结语

限于篇幅，本文主要对强可弱必逻辑的形式性质作了探究，未将之和他世界模态逻辑（即关于elsewhere，elsewhen 以及不等性的逻辑）、偶真性和本质性逻辑、偶然性及非偶然性逻辑等相关且重要的哲学逻辑作系统的比较研究，也未将之充分运用于哲学分析中。尽管如此，在以上的技术化工作中仍然隐含了许多哲学上有趣且重要的问题。比如说，在为强可弱必逻辑构建典范模型时，我们非常依赖于为可能世界建立“副本”的技巧。但是，既然这些互为“副本”的可能世界满足了完全相同的命题，我们是依据何种理由将它们分辨为两个不同的世界的？这个问题既是形而上学的，也是认识论的，但却要留待以后再讨论了。