超声波电机多步预测迭代学习转速控制

黄文文，宋 璐，史敬灼

(河南科技大学 电气工程学院，河南 洛阳 471023)

0 引 言

迭代学习控制(Iterative Learning Control，ILC)在重复的运行过程中，基于过往记忆，采用迭代方法不断修正其控制行为，使系统控制性能趋近期望。简洁而有效的在线学习能力，使ILC能够适应不断变化的被控对象[1]。文献[2-3]尝试将迭代学习控制策略应用于超声波电机，表明迭代学习控制策略适用于超声波电机运动控制，但如何设计与超声波电机运行特点相匹配的ILC控制策略，仍有待深入研究。

传统的迭代学习控制，本质上是一种沿迭代轴的闭环学习控制与沿时间轴的开环前馈控制相结合的控制策略，具有二维(2D)动态系统的典型特征，应采用2D系统理论进行分析与设计。另一方面，如何使ILC在沿迭代轴快速收敛的同时，兼顾沿时间轴的控制稳定性，并得到良好的电机控制性能，是ILC控制策略设计中需要解决的关键问题。将沿时间轴的反馈控制方法和沿迭代轴的迭代学习控制相结合，是解决上述问题的一种可行思路。作为一种沿时间轴的反馈控制策略，多步预测自校正控制以自回归滑动平均模型为基础，采用多步预测、滚动优化方法[4]，使其具有较好的控制性能。

本文基于2D系统理论，针对超声波电机运动控制需要，研究多步预测自校正控制与迭代学习控制相结合的具体方法。通过引入包含控制量差分项的迭代学习控制器形式，设计包含前次控制过程信息的2D优化目标函数，尝试将迭代学习融入多步预测控制。基于2D多步预测模型，对目标函数进行优化，推导出多步预测迭代学习控制律。仿真和实验表明，所提控制策略及其设计方法有效，超声波电机转速控制表现出渐进的学习控制过程，控制效果良好。

1 多步预测迭代学习控制器设计

考虑由如下受控自回归积分滑动平均模型(CARIMA)描述的重复过程

(1)

(2)

针对模型式(1)描述的重复过程，给出如下形式的迭代学习控制律

uk(i)=uk-1(i)+uk(i-1)-uk-1(i-1)+rk(i),u0(i)=0,i=-1,0,1,…,T

(3)

式中，rk(i)为迭代更新律，u0(i)为控制量初始值。

该控制律基于i时刻的前次控制量和i-1时刻的控制量变化量，得到第k次迭代控制过程中i时刻的控制量。

式(3)亦可写为如下形式:

Δt(uk(i))=Δt(uk-1(i))+rk(i)

(4)

或

Δk(uk(i))=Δk(uk(i-1))+rk(i)

(5)

其中，Δk(f(k,i))=f(k,i)-f(k-1,i)。可见，该控制律同时包含沿时间轴和沿迭代轴的控制进程。

将式(4)代入式(1)，得2D输入输出模型

(6)

将式中rk(i)，yk(i)和Δk(wk(i))分别看作输入、输出和扰动，则上述2D模型的输出取决于时间轴和迭代轴的输入输出信息。

下面采用多步预测自校正控制方法来设计更新律rk(i)。基于模型式(6)，设计如下控制目标函数

J(i,k,n1,n2)=

γ(l)(Δk(uk(i+l)))2)

(7)

需指出的是，与多步预测自校正控制策略通常采用的目标函数不同，式(8)所示目标函数不仅增加了rk(i)项以限制其变化量，并且包含了Δk(uk(i))项，有利于保证沿迭代轴的收敛稳定性。而包含Δt(uk(i))项，不仅使得沿时间轴的控制性能可调节，而且在必要时，还可用来抑制uk(i)沿时间轴的变化量以防止不稳定逆动态系统的沿时间轴控制发散问题。

为得到良好的电机控制性能，需设计合适的β(l)、γ(l)值，使控制量沿迭代轴和时间轴均有合理的变化，兼顾2D控制性能。若β(l)较小，控制量沿时间轴的变化量较大，可获得较快的响应速度，但对模型失配等扰动的鲁棒性会变差，对噪声更敏感。若γ(l)较小，则控制量沿迭代轴的变化量较大，沿迭代轴的学习收敛较快，但对非重复性扰动的鲁棒性差。

由模型式(6)，在任意时刻i，系统的输入输出信息可分为已知和未知两部分

(8)

其中,

可见，A2为非奇异矩阵。由式(8)可得

(9)

(10)

其中,

(11)

(12)

(13)

模型(10)适用于n1=n2的情况。当n1>n2时，有rk(i+j)=0，j=n2,…,n1-1,则矩阵G的最后n1-n2行将不存在，2D预测模型可写为

(14)

目标函数(7)可写为如下矩阵形式

(15)

为使目标函数式(15)最小化，给出如下关系式

(16)

(17)

其中,

结合式(15)、式(16)和式(17)，可得如下广义2D预测模型

(18)

其中,

根据上述预测模型，可得

(19)

取目标函数对rk(i)的偏微分，并令其为0，即

(20)

可得使目标函数式(15)取极小值的控制律为

(21)

即

(22)

令K1和K2分别表示下列矩阵的第一行元素

(R+GTQG+S+VTTV)-1GTQ-(R+GTQG+S+VTTV)-1S

令K3为矩阵-(R+GTQG+S+VTTV)-1VTTV的第一个元素，则可得控制更新律

(23)

2 超声波电机多步预测迭代学习转速控制策略设计

采用文献[5]所建超声波电机系统Hammerstein模型进行控制器设计与仿真分析。超声波电机系统Hammerstein模型线性动态环节为

(24)

将上述模型转化为CARIMA模型，可得

(25)

考虑式(2)，可知n=5、m=2。取预测步数n1=4、控制步数n2=1。尝试不同的取值，根据所得转速阶跃响应仿真结果确定合适的Q、S、T和R值。仿真过程表明，减小Q可使响应减慢，减小T值可加快学习收敛，减小S可使时域响应加快，而增大R可限制控制量的变化。通过不断调整这些参数值，确定Q=diag{1.3,1.3,1.3,1.3}、S=7、T=8、R=10。据此进行控制器设计，得控制参数值分别为K1=[0.0367,0.0403,0.0414,0.0405]、K2=-0.2403、K3=-0.2746，对应的阶跃响应仿真曲线如图1和2所示。可见转速阶跃响应无超调，且随着迭代学习的进行，调节时间持续较小，符合期望。

图1 转速阶跃响应曲线(30r/min)

图2 转速阶跃响应曲线(90r/min)

3 超声波电机多步预测迭代学习转速控制实验研究

编写DSP程序实现上述多步预测迭代学习转速控制器，对超声波电机转速控制性能进行实验研究。实验用电机为Shinsei USR60型两相行波超声波电机，额定转速范围0～120 r/min。电机同轴刚性连接光电编码器，以测量电机转速构成转速闭环控制。

采用前述设计所得控制参数值进行转速控制实验，得到转速阶跃给定值为30 r/min情况下的实验结果如图3所示。

图3 转速阶跃响应曲线(实测, 30 r/min)

实验结果与仿真结果接近。由图3可知，转速阶跃响应曲线逐渐趋于给定值，无超调。随着迭代学习的进行，调节时间持续较小，从起始的0.3930 s减为第六次迭代时的0.0917 s，减小幅度为76.67%，表明所述迭代学习控制策略有效。

图4给出了转速阶跃给定值90 r/min的实验结果，所用控制参数的数值不变。

图4 转速阶跃响应曲线(实测, 90 r/min)

表1给出了对应的控制性能指标数据。可以看出，转速阶跃响应曲线仍然平稳趋近给定值，无超调，且随着迭代的进行，调节时间不断减小，表明所述多步预测迭代学习控制策略适用于不同转速。

表1 多步预测迭代学习控制性能指标(90 r/min)

4 结 语

针对超声波电机的运行特点，将迭代学习控制与多步预测自校正控制相结合，给出一种超声波电机多步预测迭代学习转速控制策略。仿真和实验结果表明，通过在控制目标函数中引入迭代控制项，并设计与多步预测模型相符的迭代学习控制律形式，可以将迭代学习控制与多步预测、滚动优化思想有机融合，构造多步预测迭代学习控制律，从而兼顾时间轴、迭代轴的二维系统性能，得到良好的电机转速控制性能。