波形套轴向受压仿真与参数优化研究*

徐行胜，周 旭，伍 英

(湖北汽车工业学院 机械工程学院，湖北 十堰 442002)

0 引 言

波形套是汽车驱动桥主动锥齿轮总成上的重要零件，由于中间波形区的特殊结构，它可将驱动桥主动锥齿轮轴承预紧力调至最佳状态，并且可以防止预紧力过大，提高传动效率和装配效率，降低主减速器总成噪音，提高轴承使用寿命。波形套中间波形区可使波形套在一定轴向变形内轴向力的大小基本保持不变，因此，波形套被广泛应用于轴承的预紧[1-2]。

当前，已有多位学者对波形套进行了不同领域的研究。文献[3]对驱动桥主动锥齿轮轴承的预紧参数进行了计算和分析，对波形套达到屈服极限时所需压力进行了分析研究；文献[4]分析了主动锥齿轮总成装配力，但仅对波形套进行了定性分析；文献[5]利用有限元分析软件Abaqus分析了考虑塑性加工和不考虑塑性加工的波形套压力与应变的关系，得出了考虑塑性加工的波形套与试验更接近的结果；文献[6]利用有限元方法对主减总成进行了分析，对波形套的载荷和回弹量进行了设计,并评估了波形套对轴承的支持刚度；文献[7]用有限元仿真分析法对波形套进行了数值模拟，揭示了塑性加工对波形套的轴向受压过程轴向力的影响；文献[8-11]对波形套的复合缩径-胀形变形进行了试验研究，对波形套进行了成形特点分析和应力场求解，初步研究了波形套结构参数对轴向力的影响；文献[12-13]用数值模拟的方法分析了带有锥面的波形套几何参数对波形套轴向受压过程中轴向力的影响，并利用第二代非劣遗传算法，对隔套的轴向性能进行了多目标优化。

但目前对于常见的中间为3段圆弧波形套的优化设计未见相关文献报道。对此，本文将利用有限元法对应用广泛的常见波形套进行仿真[14-15]，并建立正交试验组，构造波形套在受压过程中从0.98倍～1倍的最大轴向力对应的工作段长度的二阶响应面模型，并利用遗传算法进行优化，使最佳工作段长度最大。

1 波形套的结构参数

波形套的结构有多种形式，根据实际工程中的应用，本文对常见的波形套作优化研究，利用Abaqus软件对其进行轴向压缩的有限元数值模拟仿真。

波形套的结构如图1所示。

图1 波形套的结构t—壁厚；R1—上端过渡圆弧半径；R2—中间凸起波形圆弧半径；R3—下端过渡圆弧半径；B—中间凸起波形径向高度；D1—小端直径；D2—大端直径；H—轴向总高度；HB—中间波形区轴向高度

图1的波形套结构中，上、下两端为直壁部分，中部为波形区，由3段圆弧组成；中间凸起部分圆弧与上、下两直壁分别通过一段圆弧过渡。

2 波形套有限元仿真分析

2.1 波形套仿真参数

波形套的材料为20号优质碳素结构钢，它具有良好的塑性性能，作为有限元仿真的材料属性输入；弹性模量E=196.5 GPa，泊松比为μ=0.29。

20钢真实应力应变如表1所示。

表1 20钢真实应力应变

波形套的几何参数为：

D1=69 mm，D2=73 mm，H=79 mm，HB=30 mm，t=3 mm，R1=12 mm，R2=18 mm，R3=12 mm，B=6 mm。

2.2 波形套仿真过程及结果分析

笔者利用有限元法对波形套进行数值模拟仿真，仿真采用四节点轴对称单元模型。

波形套的有限元模型如图2所示。

图2 波形套的有限元模型

图2的波形套有限元模型中，上、下两端为轴对称解析刚体，使上端刚体向下压缩5 mm；网格划分时将截面分割成若干个矩形与扇区，可使截面网格划分的比较规则；整个仿真过程中，始终打开几何非线性选项。

在有限元仿真过程中，根据所设置的分析步，Abaqus软件可计算得到多组轴向力与压缩位移的关系点，将所得到的数据点导入到Matlab画图。

可得到波形套的轴向力压缩量曲线，如图3所示。

图3 波形套的轴向力压缩量曲线

图3中，轴向力大小先随压缩位移的增大而增大，接着材料进入了屈服阶段；随着压缩量的增加，轴向力基本保持不变，仿真结果与材料力学中塑性材料的压缩特性曲线相一致。

在设计波形套时，应优先采用低碳钢等屈服强度合适的材料。笔者根据Abaqus计算所得到的轴向力与压缩量关系点，在实际工程应用中，可以取轴向力值在[0.98Fmax,Fmax]区间为工作段，此时波形套在该区间对应的轴向位移段具有较好的工作性能。如在轴承预紧中，当波形套在工作中受到磨损后仍有一定的轴向力，以保证轴承有一定的预紧力，从而增加轴承的使用寿命。

同时，在进行优化设计时，可将该工作段对应的轴向位移长度定为优化设计目标。

3 优化设计

3.1 正交试验组的建立

正交试验设计是用于多因素试验的一种方法。利用正交试验点具有均匀整齐的特点，可从全面试验中挑选出部分具有代表性的试验点进行试验，以减小波形套的仿真次数。

波形套的设计参数有5个，每个参数取4个水平。为了保证试验的精度与充分，采用L64(421)正交表，任取其中5列作为试验设计表，一共64组试验。

每个水平下，各参数因子水平如表2所示。

表2 各参数因子水平

3.2 二阶响应面模型的构造

采用响应面法来近似代替有限元法分析，则可大幅度地减少波形套有限元仿真计算的时间，减小波形套设计的周期。笔者先构造二阶响应面模型，再利用各种成熟的优化算法来优化响应，得到优化后的波形套的几何参数。

二阶响应面模型如下：

(1)

(2)

二阶响应面近似函数的二阶多项式中共有5个因素，至少需要21组样本点才能解出每个系数。正交试验得出了64组试验样本点，根据最小二乘法原理利用Matlab软件，可以拟合出0.98倍～1倍的最大轴向力对应的变形工作段轴向位移长度的二阶响应面，拟合得出的近似函数的各系数的值为：βi=[-1.741 5,-0.031 2,0.322 0,-0.012 1,-0.377 5]，βij=[0.000 6,0.031 7,0.010 0,-0.030 3,0.000 9,0.001 6,-0.002 2,-0.001 2,0.002 5,0.000 9]，β0=4.082 2,β5+i=[0.093 6,0.000 3,-0.011 8,-0.000 5,0.027 9]。

拟合精度R2=0.969 6，响应与样本非常接近，能够较好地代替有限元，为波形套几何参数的优化做准备。

3.3 遗传算法

遗传算法的本质是一种建立在遗传学和自然选择原理基础上的一种自适应的全局优化和搜索方法[16]。二阶响应面为非线性模型，利用遗传算法能够较好地求解一些非线性函数的优化问题。

笔者以波形套的最佳轴向变形工作段对应的轴向位移长度最大为优化设计目标，结构参数为设计变量。由于波形套波形区内侧受压应力，外侧受拉应力，经过多次仿真；考虑到波形套可能因塑性屈服而发生破坏，在最大轴向力的选取时，考虑到强度等要求，通过Matlab遗传算法工具箱，则可以快速地对目标函数进行求解。

设置波形套的设计变量取值范围，如表3所示。

表3 设计变量的取值范围

4 优化结果及分析

笔者利用遗传算法对波形套结构参数进行优化，优化结果如表4所示。

表4 优化结果

笔者将优化后的结果代入到Abaqus软件进行计算，将用有限元法计算出的结果与响应面法计算出的结果进行对比。

有限元与响应面对比如表5所示。

表5 有限元与响应面对比

从表5可以看出：用响应面模型近似得到的0.98倍～1倍最大轴向力对应的变形工作段轴向位移长度的结果，与有限元计算得到的结果相对误差为0.31%，说明响应面模型代替有限元模型具有较高的精度，优化求得的波形套几何参数是可靠的。

5 结束语

本研究通过Abaqus有限元软件，对波形套进行了轴向受压仿真研究，分析了轴向力随压缩量的曲线变化规律；利用正交试验得到了样本数据，构造了波形套在轴向受压过程中，从0.98倍～1倍的最大轴向力对应的变形工作段轴向位移长度的二阶响应面模型，采用遗传算法对响应进行了优化。

研究结果表明：优化后的响应与有限元计算结果相对误差为0.31%，响应可近似代替有限元法分析；通过这一方法，使最佳变形工作段的轴向位移长度最大，为实际工程中波形套的参数设计提供了参考。

在研究过程中，由于考虑到波形套的最大轴向力和强度等要求，所设计的变量范围较小，只以波形套的最佳轴向变形工作段轴向位移为优化目标，未将塑性应变作为优化目标。

在后续工作中，可将塑性应变一起作多目标的优化设计。同时，随着波形套结构的多样化，对不同结构形式的波形套仍需进行研究。

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