一类具有分布时滞Emden-Fowler方程的振动性

邸聪娜，滕 博

(河北科技师范学院数学与信息科技学院，河北 秦皇岛，066004)

由于Emden-Fowler型微分方程被广泛地应用于许多重要领域，如核物理学、天体物理、流体力学等，而引起了学者们极大的关注，并且取得了一系列成果[1～7]。

笔者考虑讨论一类二阶Emden-Fowler型分布时滞微分方程

(1)

(H5)f(t,u)∈C([t0,∞]×R,R)，存在函数q(t,ξ)∈C([t0,∞)×[c,d],(0,∞))，使得|f(t,u)|≥q(t,ξ)|uβ|,β>0。

1 引 理

2 主要结果及证明

为了方便起见，引入下列记号

定理2设条件(H1)～(H5)成立，且存在函数φ∈C1([t0,∞),(0,∞))，使得当α≥β时，满足

(2)

当α<β时，满足

(3)

(4)

证明反证法。设方程(1)存在一个非振荡解x(t)，不妨设x(t)为最终正解(当x(t)为最终负解时，令y(t)=-x(t)，则类似可证)，则存在t1≥t0，使得当t≥t1时，x(t)>0，x(τ(t,ξ))>0，x(σ(t,ξ))>0。由函数z(t)的定义有z(t)≥x(t)>0(t≥t1)，且由条件(H5)得到

(5)

(5)式说明r(t)|z′(t)|α-1z′(t)严格单调减少且最终定号，进而z′(t)也最终定号，所以z′(t)最终为正或最终为负，故只要考虑下列2种情形：

(Ⅰ)z′(t)>0(t≥t1);(Ⅱ)z′(t)<0(t≥t1)。

令u→∞，则有

(6)

(7)

另一方面，由函数z(t)的定义，(7)式及x(t)≤z(t)可得

所以

(8)

作Riccati变换

(9)

显然，w(t)>0(t≥t1)。对(9)式两边求导并利用(5)(8)式及r(t)(z′(t))α≤r(σ(t,ξ))(z′(σ(t,ξ)))α，得

(10)

当α≥β时，由于当t≥t1时，z(t)>0，z′(t)>0，所以当t≥t1时

z(σ(t,ξ))≥k1

(11)

(12)

于是，利用(9)(11)(12)式，由(10)式得

(13)

这与(2)式矛盾。

当α<β时，由(10)式，并利用(9)(11)及引理，类似地可得

(14)

两边从t1到t积分，得

这与(3)式矛盾。

情形(Ⅱ)z′(t)<0(t≥t1)。因为r(t)|z′(t)|α-1z′(t)=r(t)(-z′(t))α-1z′(t)在[t1,∞)上严格单调减少，故r(s)(-z′(s))α-1z′(s)≤r(t)(-z′(t))αz′(t),s≥t≥t1，即z′(s)≤r1/α(t)z′(t)r-1/α(s)，s≥t≥t1，同情形(Ⅰ)中的证明，可得到(6)(7)(8)式仍成立。作Riccati变换

(15)

则v(t)<0(t≥t1)，由(15)式，并注意到(5)式，则有

(16)

根据(5)式，当s≥t1时，有

r(s)(-z′(s))α-1z′(s)≤r(t1)(-z′(t1))α-1z′(t1)=-k(k>0是常数)

(17)

若α>β，由z(t)>0,z′(t)<0(t≥t1)得，z(t)≤z(t1)=M，即zβ-α(t)≥Mβ-α。

若α=β，则zβ-α=1，注意函数π(t)的定义，于是就有

zβ-α(t)≥π(t)

(18)

因为z′(t)<0，故由(8)式可知

(19)

利用ψ(t)的定义，由(18)(19)式可得

=ψ(t)

将之代入(16)式，则有

(20)

(20)式两边同乘(t-s)w后积分，得

这与条件(4)矛盾。证毕。

3 结 论

具有分布时滞微分方程的振动理论是微分方程振动理论的重要内容。本次研究利用Riccati变换、不等式放缩技巧以及分类讨论等方法讨论了分布时滞方程(1)在非正则条件下的振动准则，并且去掉了对r′(t)>0的限制。所得结果在丰富了该类方程已有结论的同时，也扩大了该类方程在生物学、经济学以及物理学等方面的应用范围。