交流电机矢量控制中变换解耦的研究与仿真

张汉勋 ，张永平

（1.宁波工程学院 信息与电气工程学院，宁波 315211；2.长安大学 电子与控制工程学院，西安 710082）

随着微电子技术、电力电子器件、新型电机控制理论、数字控制技术的发展，交流调速系统相关的控制策略相应也得到了发展[1]。最初，V/F控制是交流电机最简单的控制方法。但V/F控制具有非常差的低电机转矩率和速度动态特性。特别是低速时，可能会导致系统变得不稳定。把速度闭环引入滑差频率控制更容易使系统稳定。它们都属于标量控制，只能对电机定子的电压幅度和频率进行控制，从而导致电机的动态性能不佳成为其主要缺陷[2]。

20世纪70年代提出的AC电机矢量控制系统将三相系统等效成为两相系统，并通过对转子磁场进行定向的同步旋转变换来实现转矩分量间和定子电流励磁分量的解耦，从而实现分别控制转矩和交流磁链的目的[3]。

矢量控制理论最早由德国的F.Blaschke于1971年提出。它的基本思想是把AC电动机模拟成DC电机来控制[4-5]。矢量控制系统在应用上的成功清除了先前标量控制上的不足，并且极大提升控制系统进行实时控制的性能。

本文详细阐述了永磁同步电机在不一样的坐标中的数学模型，分析转换其解耦思想及其实现过程，为永磁电机进行矢量控制在Matlab中的仿真提供解耦依据。最后，通过Matlab/Simulink平台，分析并仿真研究永磁同步电机的矢量控制系统，为实际进行系统设计与实现提供新的思路。

1 永磁同步电机变换解耦分析及其数学模型

在将永磁同步电机数学模型搭建起来之前，首先做以下假设：

（1）将涡流、磁滞、磁路饱和等影响因素忽略掉，把电机的磁路看作是线性的；

（2）定子绕组在电动机中是三相对称排列的，它的轴在空间上互差120°电角度；

（3）阻尼绕组在电机的转子上的作用忽略不计，不存在阻尼作用；

（4）电动机定子电势根据正弦规律变化，定子电流仅在气隙中产生正弦分布磁势，定子与转子之间绕组的互感以转子位置角的正弦函数体现，将磁路中的高次谐波忽略掉；

（5）忽略温度、频率等因素对绕组电阻的影响；

（6）永磁材料的电导率为零。

根据以上假设，同步永磁电机的理论分析与实际情况非常接近，误差控制在工程允许范围以内[6]。

1.1 A、B、C三相坐标系下同步永磁电机的数学模型

在三相坐标系A、B、C中，同步永磁电机的物理模型如图1所示，它的定子绕组以三相对称排列。其绕组轴线分别为A、B、C，且依次相差120°。将A相绕组的轴用于空间坐标系的参考轴OA。在此基础上，可获得同步永磁电动机在A，B、C坐标系中的磁链、电磁转矩、定子电压的方程如下：

图1 永磁同步电机物理模型Fig.1 Physical model of permanent magnet synchronous motor

三相同步永磁电机定子电压的方程如式（1）所示：

三相同步永磁电机的定子磁链方程如式（2）所示：

对永磁同步三相电机，它的电磁转矩方程表示如下：

式中 ：np为三相永磁同步电机极对数；ψs＝ ψf·为三相绕组的电流。

在静止的三相坐标系下，可得同步永磁电机其电压方程属于线性微分方程，将一些常数量去掉，直接去求解其余的微分量就比较困难；从磁链方程的电感矩阵可以看出，它们的每个元素都是一个可变参数，因此每个绕组都拥有一个非线性耦合，同时它还与转子旋转的角度相关，想要达到解耦的目的，就要对定子的电感矩阵进行对角化，完成这个过程后，就可以解除磁链之间的相互耦合，从而便于独立控制。对角化过程首先要通过特征多项式求取特征值，然后得到的特征值是Λ的主对角元素[7]。下面详细推导对角化过程及推导变换矩阵过程。

1.2 同步永磁电机在α、β、o三相坐标系下的数学模型

由于定子绕组三相对称，有LA=LB=LC=LS，MAB=MBC=MAC=Lm，定子绕组的电感矩阵可写成

因此，对角化后有：

①当 λ1＝λ2＝Ls-Lm时

由于 λ1E-L 的秩为 1，则有（λ1E-L）X=0，有X1+X2+X3＝0，解得一个基础解析为

②当 λ3＝Ls+2Lm时

由于 λ3E-L 的秩为 1，则由（λ3E-L）X=0，有X1＝X2＝X3，解得一个基础解析为经单位化有因此，求得

因为电机绕组使用的是星形接法并且没有中性线，即IA+IB+IC=0，即Io=0，因此矩阵第三行可以不考虑，只有前两行有意义，所以说定子静止三相电流IA、IB、IC从三坐标变换到两坐标，便可获得定子静止两相电流 Iα、Iβ，如图 2 所示。

图2 由静止三相到静止两相的Clark变换Fig.2 Clark transform from stationary three-phase to stationary two-phase

永磁同步电机在α-β坐标系下的数学模型表达式如下：

定子电流：

定子磁链：

电磁转矩：

1.3 在d、q、o三相坐标系下同步永磁电机的数学模型

定子和转子在电机旋转状态下，他们之间将发生旋转耦合关系[9]。此时，转子和定子之间互感矩阵内包含转子和定子绕组之间角度的元素，也就是具有非线性、三角函数、随着时间进行变化，一般可以表达为

③当 λ3＝0 时，解得特征向量为将其单位化有

从而有正交变换矩阵如下：

由式（11）可得：

从式（12）能看出这是两相静止坐标系转化到两相旋转坐标系的变化过程，也即是通过旋转变换把静态双轴坐标Iα和Iβ变成双轴旋转坐标Id和Iq，从而实现了从ABC静止三相坐标系的三相电流到同步旋转dq坐标系的两相电流的变换，如图3所示。

永磁同步电机在转子旋转系中的数学模型可以表达式为

定子电压：

图3 ABC静止三相坐标系到dq同步旋转两相坐标系Fig.3 ABC three-phase stationary coordinate system to dq two-phase synchronous rotating coordinate system

定子磁链：

电磁转矩：

式中：Ud，Uq，Id，Iq分别是 d、q 轴的定子电压以及电流；R为定子的电阻；ψd，ψq为d轴和q轴的磁链分量；为转子电角频率；Ld和Lq为d轴和q轴的等效电感；ψf为转子磁链。

转矩表达式（15）中，第一项是转矩，通过q轴电流与气隙磁场在相互作用下产生，即励磁转矩，即通过转子凸极效应产生的第二项转矩，称为磁阻转矩。显然对于 SPMSM 来说，Ld=Lq，此项为零。

当id=0时，有电磁转矩由此可以看出，如果将d轴的电流控制到零，则转矩 Te只与q轴定子电流的分量Iq相关。为了达到id恒为0的解耦控制的目的，可以使用2种去耦方法，即电压型去耦和电流型去耦。前者的方案可以用来完全解耦id和iq，但实现起来更复杂；后者的控制方案是近似解耦的，它进行控制的原理是[10]：对id环的电流调节器的参数进行适当的选取，并让它拥有相当的增益，同时让控制器的参考输入命令始终保持为id*=0，可获得 id≈id*=0，iq≈iq*＝0，这样就获得了同步永磁电机近似解耦。以矢量控制和id*=0为依据的解耦控制的同步永磁电动机的仿真模型主要在下面部分给出。

2 同步永磁电机矢量控制系统的仿真

2.1 系统整体仿真

该系统基于变换解耦的基础上，系统根据系统的模块化思想将控制系统分为若干个不同的子模块，即坐标变换模块、电流环PI调节器、转速环PI调节器、SVPWM模块、永磁同步电机模块。通过模拟这些模块有序连接，可以在仿真软件中搭建起同步永磁电机的矢量控制系统的仿真结构图，并对其进行控制。整体仿真图如图4所示。

图4 同步永磁电机矢量控制整体仿真图Fig.4 Permanent magnet synchronous motor vector control overall simulation diagram

2.2 仿真系统子模块功能

（1）电流PI控制模块，如图5所示。

图5 电流PI控制模块Fig.5 Current PI control module

（2）转速PI控制模块，如图6所示。

图6 转速PI控制模块Fig.6 Speed PI control module

（3）坐标变换模块

三相同步永磁电动机矢量控制基本思路是用控制直流电机的方式去控制交流电机，即通过对直流电机的控制特性进行模拟来控制同步永磁电机[11-12]。为了简化感应电机模型，可以通过对平面矢量叠加原理的使用来合成和分解由电机三相绕组的电流产生的磁动势，使得实际电机的三相绕组可以通过两相正交绕组来等效。因为两相绕组正交性的存在，大大减低了变量之间的耦合[13-14]。矢量控制中用到的变换有：将笛卡尔两相静态坐标系转换为笛卡尔两相旋转坐标系（Park变换），并将笛卡尔两相旋转坐标系转换为笛卡尔两相静态坐标系变换（Park逆变换），将三相平面坐标系变换为笛卡尔两相平面坐标系（Clarke变换）。坐标变换矩阵的Matlab实现如图7～图9所示。

图7 Park变换Fig.7 Park transform

图8 Park逆变换Fig.8 Park inverse transformation

图9 clarke逆变换Fig.9 Clarke inverse transformation

（3）SVPWM 模块

SVPWM主要是让恒定幅值的圆形磁场存在于电机中，电机中通过对称的三相正弦电压时，圆形磁链在交流电机中产生并且基于该磁链[15]，有效矢量通过逆变器的功率装置不同切换模式形成无限接近于基准圆，并产生接近彼此相隔120°的正弦波的三个电流以驱动电机。如图10所示。

图10 SVPWM内部模型结构图Fig.10 SVPWM internal model structure diagram

3 仿真结果分析

为了证实仿真模型是否具有有效性和正确性，进行针对该模型相关的仿真实验。

电机参数：R=2.875 Ω，磁链 Ψf=0.175 Wb，转矩惯量 J=0.001 kg·m2，阻尼系数 B=0.008 N·m·s，J=0.001，定子 d轴电感 Ld=8.5×10-3mH，定子 q轴 Lq＝8.5×10-3mH，极对数 Pn=4，Phi=0.175。

Number of phase 设置为 3，Back EMF waveform设置为Sinusoidal，Rotor type设置为Salient pole。

给定初始条件：初始转速n=1000 r/min，初始时刻负载转矩T=0 N·m，当t=0.2 s时，负载转矩T=10 N·m，仿真时间为0.4 s。如图11～图13所示。

观察仿真结果，我们可以得出，电机在通电后以极快的速度获得最大转矩（35 N·m），然后迅速恢复至稳定数值（10 N·m）。转速直线上升。然而，当速度从0上升到1000 r/min，虽然刚开始电机的转速有一些超调量，但仍然有较快动态响应速度，并在t=0.2 s时突加负载，负载转矩T=10 N·m。电机也能恢复到给定转速。

图11 定子绕组三相电流波形Fig.11 Three-phase current waveform of stator winding

图12 电磁转矩波形Fig.12 Electromagnetic torque waveform

图13 电机转速波形Fig.13 Motor speed waveform

4 结语

本文针对交流电机控制时主要研究了同步永磁电机在三个不同的坐标系下的数学模型，得到了在不同坐标系下同步永磁电机的数学模型表达式，从数学角度对坐标变换过程进行了推导。通过坐标变换得到同步旋转坐标系下两轴的电流id和iq，然后根据电流型解耦控制实现对永磁同步电机的解耦控制。使用Matlab/Simulink软件搭建同步永磁电机的矢量控制系统模型，分析获得的仿真结果便可得知经过坐标变换解耦后，系统能平稳地运行。它具有很好的静态特性和动态特性。它的控制效果也相对良好。仿真结果和同步永磁电机的运行特性相符合，同时为调试设计实际伺服系统提供了新的思路。该系统可实现高精度、宽范围的速度和位置控制，不仅可用于快捷地验证一些先进的控制算法，且可以进行简单的模型修改、改进控制策略，因此具有一定通用性。