变分模态分解的Volterra模型和形态学分形维数在发动机故障诊断中的应用*

周小龙，刘薇娜，姜振海，马风雷

（1.北华大学机械工程学院，吉林 132021； 2.长春理工大学机电工程学院，长春 130022；3.长春工业大学机电工程学院，长春 130012）

前言

发动机作为汽车的关键部件，其性能的可靠性直接决定着车辆使用的安全性。发动机异响故障的检查与排除是其检修过程中的常见工作。发动机出现异响故障的主要原因是相应构件的配合间隙超过极限尺寸而产生间歇性或连续性的金属敲击声。常见的发动机异响故障主要包括活塞敲缸异响、活塞销异响、气门异响和轴瓦异响等［1］。当发动机处于不同工况时，由于受动载荷、接触力、间隙和刚度等非线性因素的影响，系统往往呈现出非线性特征，其实测信号是非常复杂的混合信号［2］。传统故障诊断方法对于此类复杂性的刻画具有一定局限性。因此，如何从实测信号中提取能有效表征发动机状态的特征参数是发动机故障诊断的关键点与难点［3］。

由于实测发动机信号的不规则性和欠稳定性，使其在一定尺度范围内具有明显的分形特征［4］。分形几何是一种复杂信号几何结构分析的方法，其中，分形维数是分形复杂性的度量指标，它可有效刻画分析对象的复杂性和非线性程度。分形维数种类众多，目前，以Maragos等［5］提出的基于数学形态学的分形维数估计方法最为有效且应用最为广泛。对于发动机信号而言，其工作状态的变化必然会改变其几何形态［6］，因此，可通过基于发动机实测信号的数学形态学分形维数的估计对发动机的工作状态进行判别。然而，对于发动机异响故障诊断，多以其缸盖振动信号作为研究对象，但测点位置不同，所采集振动信号的特征会表现出较大差异，且测量方法相对复杂，诊断的准确性难以保证［7］；同时，工程实际所检测到的发动机信号中含有大量背景信号和环境噪声，分形维数对于信号的信噪比十分敏感，若想准确获取信号的分形维数必须对其进行降噪提纯；另外，当原始信号数据量过大时，直接对其分形维数进行估计往往计算量巨大，所以在计算分形维数前有必要对原始信号进行处理。

针对发动机信号的非线性特征，王凤利等［4］采用总体经验模态分解（ensemble empirical mode decomposition，EEMD）方法对发动机信号进行降噪处理，并选取第1阶固有模态函数（intrinsic mode function，IMF）分量对信号重构，以此提高分形维数计算的准确性。为提高分形维数的计算效率，王冰等［8］将原始数据均分，分别计算其数学形态学分形维数，并以其均值作为分析数据的分形维数估计结果。然而，受限于白噪声的添加次数，EEMD分解中所添加的噪声难以完全消除，这在一定程度上影响了模态混叠问题的处理效果；同时，仅以第1阶IMF分量作为重构信号，易将淹没在背景信号和环境噪声中的部分表征发动机状态特征的信息丢失，降低其数学形态学分形维数求解的准确性。此外，分段求解信号的分形维数虽能提高计算效率，但由于缺少分段依据，计算结果的稳定性难以保证。

变分模态分解（variational mode decomposition，VMD）方法［9］是一种非递归式自适应信号处理方法，它可将复杂的非线性信号自适应地分解成若干个具有调幅 调频特性的IMF分量，有效避免了EEMD分解过程中的模态混叠问题，并具有良好的噪声鲁棒性。Volterra模型是一种非线性预测模型，其模型参数凝聚了系统状态的重要信息，在实际非线性系统建模问题中应用广泛［10］。相较于自回归（auto regressive，AR）模型，Volterra模型可有效解决信号的非平稳问题，并降低计算难度。鉴于上述分析，笔者将基于VMD的Volterra模型和形态学分形维数相结合，应用于发动机异响故障诊断。首先，以发动机异响声振信号为研究对象，采用VMD方法对发动机声振信号进行分解，并通过基于互信息熵 能量熵增量的虚假IMF分量剔除算法，滤除信号内的背景成分和噪声分量，对包含故障信息的敏感IMF分量进行信号重构，然后对其进行相空间重构，建立Volterra自适应预测模型，获取模型参数向量W（n），最后计算模型参数向量W（n）的形态学分形维数，从而准确量化发动机工作状态特征，提高计算效率和故障诊断准确性。通过发动机实测信号的分析，证明了所提方法的有效性。

1 变分模态分解的Volterra模型

1.1 变分模态分解基本原理

VMD方法通过相关迭代计算以搜寻变分模态模型的最优解，由此确定每阶IMF分量的中心频率，从而实现信号频率的自适应划分，有效解决了模态混叠问题的产生。同时，由于采用非递归的分解方式，也避免了递归分解方式所引起的端点效应问题。

VMD方法可根据预设尺度参数K将信号分解成K个中心频率为ωk的模态函数uk，因此，它是一种全新的自适应信号分解方法。VMD算法中，对于IMF分量进行了重新定义：

式中：uk为一调幅 调频信号；相位φk（t）非单调递减，即k（t）≥0；包络线Ak（t）≥0；且Ak（t）与瞬时角频率ωk（t）＝·φk（t）对于相位函数φk（t）而言是缓变的。

每个IMF分量频率带宽的估计由以下步骤完成：①采用Hilbert变换求解每个模态函数的边际谱；②加入指数项调整各模态函数自估计的中心频率；③通过高斯平滑（梯度的平方L2范数）对信号解调从而获得各模态函数带宽。

设信号经VMD分解获得K个IMF分量，则得到变分约束问题：

式中：∂t为对函数求时间t的偏导数；δ（t）为单位脉冲函数。

为求解上述约束最优化问题，引入增广拉格朗日函数ζ：

式中：α为二次惩罚因子，保证在高斯噪声存在情况下信号的重构精度；λ（t）为拉格朗日乘子，用于保证约束条件的严格性；f（t）为实测信号；＜＞表示向量内积。

利用交替方向乘子法（alternate direction method of multipliers，ADMM）求解上述拉格朗日函数的鞍点，即式（2）变分约束模型的最优解。求得的模态分量uk及中心频率ωk分别为

VMD具体实现过程如下：

（2）执行循环n＝n＋1；

（3）根据式（4）和式（5）更新uk和ωk；

1.2 基于互信息熵-能量熵增量的虚假IMF剔除算法

信号内环境噪声和虚假干扰成分除影响信号特性外，还会影响各IMF分量同原信号间时域互相关系数的计算精度。在信息论中，互信息熵主要用于两事件间相关程度的度量，其受外界干扰因素影响较小［11］。而信号的能量谱能够表征各状态变量在整个系统中所占能量的相对关系，可有效降低信号内干扰成分的影响。由VMD算法可知，信号经VMD分解所获得的每阶IMF分量包含不同的频率成分，具有不同的能量。表征信号自身特征信息的主模态分量应占有主要能量，而特征信息不敏感的虚假模态分量的能量所占比例较小［12］。基于上述分析，在此提出一种基于互信息熵 能量熵增量的虚假IMF分量剔除算法。

1.2.1 互信息熵

对于事件X和Y，设其表达式分别为

两者的互信息熵可定义为

式中：H（X）和H（Y）分别为X和Y的熵；H（X，Y）为X和Y的联合熵。各熵值表达式分别为

式中：px（xn），py（ym）和pxy（xn，ym）分别为事件X，Y和联合事件XY的概率，且

互信息熵值越大，说明两事件的联系越紧密。对于IMF分量而言，其与原信号间的互信息熵越大，表明该分量包含信号的特征信息越丰富［11］。

1.2.2 能量熵增量

对于信号x（t）而言，设u1（t），u2（t），…，un（t）为其经VMD分解得到的IMF分量。基于IMF能量熵增量的虚假模态函数判别的具体过程如式（10）～式（12）所示。

（1）计算各阶IMF分量的能量

式中ui（t）为第i阶IMF分量。

（2）将各阶IMF分量的能量归一化

式中N为IMF分量的总阶数。

（3）计算各IMF分量的能量熵增量值

该方法对变量取对数后并不会改变数值的单调性，又能够和事件发生概率相联系，因此，可有效剔除信号内的虚假干扰成分。

基于互信息熵 能量熵增量的虚假IMF分量剔除算法，从信号间的相关程度和能量角度出发对虚假IMF分量进行判别，该方法受干扰因素较少，能够更为有效地判别出同故障信息无关的噪声成分和虚假迭代分量，强化信号的故障特征信息。

1.3 Volterra预测模型

Volterra模型是一种非线性预测模型，其模型参数凝聚了系统状态的重要信息，在实际非线性系统建模问题中得到广泛应用。相较于AR模型，Volterra模型可有效解决信号的非平稳问题，并有效降低计算难度。

设X（n）＝［x（1），x（2），…，x（n）］为采集到的发动机声振信号，U（n）＝［u（1），u（2），…，u（n）］是经VMD分解所得一敏感IMF，采用延迟坐标法对其进行相空间重构［11］，则

式中m和τ分别为嵌入维数和时间延迟。

以U′（n）为输入，输出为y（n）＝u（n＋1），则其Volterra级数展开式为

式中：hk（i1，…，ik）为k阶Volterra核；p为Volterra展开级数；m为记忆长度。Volterra级数实质为一无穷级数，因此，工程实际应用中常采用2阶Volterra级数进行描述。本文中选取2阶Volterra级数对敏感IMF分量构建预测模型，即

令

则式（14）可表示为

以归一化最小均方自适应算法求解式（19）可得到时间序列的Volterra预测模型。其模型参数向量W（n）对系统变化非常敏感，可有效表征系统状态信息。

根据Volterra模型的性质，可采用W（n）组成状态特征向量用以表征IMF分量u（t）的特征。

2 数学形态学分形维数

分形维数能够在不同尺度下对分形集边界的复杂度和不规则度进行度量，它可有效实现分类集的描述和区分。但如何实现不同尺度下分类集的度量是分形维数估计的难点与关键。而数学形态学是一种在不同尺度下度量信号的数学方法，因此，可利用数学形态学对信号的分形维数进行估计。

2.1 数学形态学基本运算

膨胀和腐蚀是数学形态学的基本算子。设h（n）和g（m）是定义在H＝｛0，1，2，…，N-1｝和G＝｛0，1，2，…，M-1｝上的离散函数（N＞M）。其中，h（n）为输入信号，g（m）为结构元素。则h（n）关于g（m）的腐蚀和膨胀运算的定义为

2.2 分形维数估计

假设离散时间信号h（n），n＝0，1，…，N；单位结构元素为g，则在尺度ε下所采用的结构元素可定义为

即单位结构元素g（m）膨胀ε次，从而在尺度ε下信号h（n）进行腐蚀和膨胀的结果分别为

定义尺度ε对信号的覆盖面积：

Ag（ε）满足如下条件

式中：DM为信号的Minkowski-Bouligand维数；c为常数；εmax为分析信号最大尺度。因此，对lg［Ag（ε）／ε2］和lg（1／ε）采用最小二乘线性拟合即可求出信号的Minkowski-Bouligand维数的估计。

由式（26）可知，单位结构元素g和最大尺度εmax为数学形态学分形维数估计过程中的两个重要参数。根据文献［5］中的分析，为提高计算效率，并降低信号幅值范围对于估计结果准确性的影响，在此单位结构元素采用长度为3的扁平元素，即g（m）＝［0 0 0］。根据发动机声振信号以一个工作循环作为其周期的特性，并参照文献［13］，将最大尺度εmax设置为60。

3 基于VMD的Volterra模型和形态学分形维数的故障诊断

本文中将VMD方法在信号分解方面的有效性、Volterra模型在非线性系统建模方面的优越性和形态学分形维数在故障信息提取方面的准确性相结合，提出基于VMD的Volterra模型和形态学分形维数的发动机异响故障诊断方法。该方法的流程图如图1所示，具体步骤如下：

（1）采用VMD方法对实测发动机故障信号进行分解，得到一系列IMF分量；

（3）对重构信号的嵌入位数m和时间延迟参数τ进行估计，并对其相空间重构，建立2阶Volterra自适应预测模型，获取模型参数向量W（n）；

（4）计算模型参数向量W（n）的形态学分形维数，并将其作为发动机故障信号的量化特征量用于识别发动机的工作状态和故障类型。

图1 算法流程图

4 发动机声振信号分析

4.1 发动机声振信号的采集

为验证本文中所提方法的有效性，并解决振动信号在发动机故障诊断方面的不足，以某型6缸柴油发动机运行时缸盖表面声振信号为研究对象。将第3缸设置为故障缸，人为模拟发动机正常、活塞销异响、气门异响、活塞敲缸异响和轴瓦异响等5种工作状态。异响故障模拟时，相关参数设置如表1所示。

试验装置包括信号源、信号采集系统和分析系统。其中信号采集系统为B＆K LAN-XI型声学振动分析仪，由4190型声压传感器、前置放大器、4299型声源转换器、3050-A-060型数据采集器组成。分析系统由计算机、PLUSE 12.0和MATLAB分析软件组成。试验过程中，采用近声场测量，所选测点，位于缸体上部第3缸左侧，距离声源约0.25 m。采取同步采样，采样精度为16 bt，发动机转速为900 r／min，采样频率为6 000 Hz，采样时间为10 s，信号分析时长选取0.5 s，分别测得发动机信号，每种状态下各截取10组信号作为检测样本。不同工作状态下获取的1组发动机声振信号时域波形如图2所示。由图2可知，不同状态下发动机声振信号的时域波形虽有一定差异，但信号中含有大量噪声干扰成分，仅以时域波形为依据难以准确诊断出发动机的工作状态和故障类型。

表1 发动机异响故障模拟的相关设置参数

4.2 发动机声振信号的分析

为有效滤除背景干扰和环境噪声等成分对信号特征提取准确性的影响，采用VMD方法对不同状态下发动机声振信号进行分解。

由VMD算法可知，使用VMD分解信号时，预设尺度参数K和二次惩罚因子α是影响分解精度的主要参数。因此，对于实测信号的VMD分解，其参数的合理选择是该方法的难点与关键。信号经VMD分解所获得各阶IMF分量的中心频率以由低频到高频的形式分布，若取得最优预设尺度参数K，则最后1阶IMF分量的中心频率应首次取得最大值，且随着K值的增大，最大中心频率值仍会保持稳定。因此，本文中以各IMF分量中心频率首次取得最大值法确定预设尺度参数K的最佳值。通过对大量实测发动机声振信号VMD分解结果的测试分析并参照文献［9］，本文中选取二次惩罚因子α＝2000。

选用图2（e）的轴瓦异响故障信号进行VMD分解，不同预设尺度参数K值下，分解得到最后1阶IMF分量的中心频率，如图3所示。由图3可知，当K＝6时，IMF分量中心频率取得最大值，并随着预设尺度参数K值的增大，IMF分量中心频率的最大值趋于稳定，未出现明显的数值波动，可认为此时VMD的分解效果最佳。因此，选用K＝6对发动机声振信号进行分析。轴瓦异响故障信号的VMD分解结果及各IMF分量的频谱如图4所示。

图2 不同状态下发动机声振信号

图3 不同预设尺度下IMF分量中心频率最大值

由图4可知，VMD分解所得各IMF分量集中在各自的中心频率附近，各模态间的频率并未出现交叠现象，从而有效抑制了模态混叠问题的产生，并减少了各模态分量间的信息泄露。

图4 轴瓦异响信号的VMD分解结果及频谱

为有效剔除轴瓦异响信号中的噪声及对故障信息不敏感的虚假干扰分量，计算图4中经VMD分解得到各IMF分量的互信息熵和能量熵增量数值。计算结果如图5所示。由图5可知，IMF1～IMF3的互信息熵值和能量熵增量值较大，因此，选取上述IMF分量作为对故障敏感的模态分量进行信号重构。重构信号的时域波形如图6所示。图7为重构信号和未经处理的原始轴瓦异响故障信号的频谱。通过图7的对比可知，重构后信号频谱更加清晰，信号内的高频噪声和低频虚假干扰成分得到有效滤除。

图5 各IMF分量的虚假模态剔除算法计算结果

图6 轴瓦异响故障重构信号

图7 轴瓦异响信号频谱

按上述步骤，对图2中正常状态、活塞销异响、气门异响和活塞敲缸异响故障信号进行VMD分解，并通过互信息熵能量熵增量方法剔除噪声和干扰成分后，所得重构信号如图8所示，对比图2可知，信号内大部分的高频干扰成分已被滤除，冲击特性明显加强，信号的信噪比得以提升。

为对发动机的工作状态和故障类型进行有效诊断，对不同状态下采集的10组检测信号进行VMD分解，通过互信息熵 能量熵增量准则对信号进行重构，并对各重构信号进行相空间重构，建立2阶Volterra自适应预测模型，获取模型参数向量，计算各重构信号模型参数向量的形态学分形维数，结果如图9所示。

从图9中可以看出，此时所求得的形态学分形维数能够有效地将发动机的5种工作状态区分开。其中，正常状态下分形维数的数值最低，主要是由于各种异响故障导致发动机系统的非线性程度增强，使故障信号的分形维数偏离了正常状态，从而其分形维数估计值相应增大。同时，由于活塞销异响和活塞敲缸异响的故障特征较为接近，因此，两者的分形维数比较接近，但总体识别结果较为理想。由此表明，基于VMD的Volterra模型和形态学分形维数相结合的方法能够有效应用于发动机异响故障诊断。

图8 不同状态下重构的发动机声振信号

图9 基于特征分量的形态学分形维数

为便于对比，直接对上述5种状态下所采集到的发动机声振信号的形态学分形维数进行计算，结果如图10所示。由图10可知，只有发动机正常状态得到有效区分，气门异响与轴瓦异响、活塞销异响与活塞敲缸异响故障间的分形维数差别很小，存在维数重叠现象，几乎难以区分。此外，5种状态的分形维数动态区分范围也小于本文方法，这也为发动机工作状态的准确诊断增加了难度。

图10 基于原始信号的形态学分形维数

5 结论

（1）VMD方法可将复杂的非线性信号自适应地分解成若干个具有调幅 调频特性的IMF分量，有效避免了递归式分解方法所产生的模态混叠问题。基于互信息熵 能量熵增量的IMF分量剔除算法，从信号间的相关程度和能量角度出发对虚假IMF分量进行剔除，能够更为有效地判别出同故障信息无关的噪声成分和虚假干扰分量，强化信号的故障特征信息。

（2）Volterra模型是一种非线性预测模型，其模型参数凝聚了系统状态的重要信息。形态学分形维数能够定量刻画信号的几何特征，将其同VMD方法、Volterra模型算法相结合，可有效增加分形维数估计的准确性。

（3）通过对发动机实测信号的分析，表明该方法具有较高的诊断准确性，为发动机异响故障问题的解决提供了新的途径。