运用一题多解提升学生数学综合能力

涂友利

(福建省晋江市磁灶中学 362214)

一题多解能提升学生的数学建模能力、分析能力、独立解决数学问题能力及思考内驱力等数学综合能力，下面举例说明．

实例1平行四边形判定问题从同旁同角、构造内错角、同位角及全等角度思考．

题目如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，求证:四边形ABCD是平行四边形．

分析条件有一组对边平行，与边相关的判定方法只有三种:两组对边分别平行、两组对边分别相等及一组对边平行且相等，为了描述方便，记为判定1、2、3．

解法1∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°.∵∠B=∠D，∴∠D+∠C=180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．

解法2如图2，延长BC至E.∵AB∥CD，∴∠B=∠DCE.∵∠B=∠D，∴∠D=∠DCE，∴AD∥BC，原证成立．

解法3如图3，连结BD.∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB.∵∠B=∠D，∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC，原证成立．

解法4如图4，连结AC， ∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD.∵∠B=∠D，AC=CA， △ABC≌△CDA，∴AB=CD，原证成立．

评注解法1、2、3都是根据判定方法1，分别从同旁内角、同位角、内错角来分析．解法4运用三角形全等，得边角对应相等，根据判定1、2、3均可完成．学生经历多角度思考过程，数学建模、分析、独立解决数学问题、思考内驱力等能力得到提升．

实例2 在矩形中求线段长度运用不同知识去开拓学生思维，题目如下．

题目如图5，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，BE⊥AC，垂足为点E．试求BE的长．

还可用代数法．在文献[2]中，所谓代数法，就是将几何命题中的有关线段、角度、面积等元素间的相互关系表示成相应的代数关系式，然后应用代数恒等变形或解方程等知识来给出几何证明的一种方法．具体解法见思路5、思路6．

评注思路1建方程模型；思路2运用直角边之积等于斜边与其高之积；思路3运用三角形相似；思路4运用三角函数；解法5、6用代数方法．可以发现在这个过程中，学生数学综合能力得到发展．

实例3在折叠问题中多角度分析画图，题目如下．

题目如图7，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，恰好使点D落在边BC上的点F处，请画出点E，F的位置．

分析要画出点E，F位置，可考虑先确定一个点，再确定另一个点．当△ADE≌△AFE时，AF=AD，以点A为圆心，AD为半径画弧交边BC于点F，这样点F的位置就确定了，下面确定点E位置．

思路1作∠FAD的平分线，交边CD于点E．

思路2作∠AFE=∠D=90°，交边CD于点E．

思路3作线段DF的垂直平分线，交边CD于点E.

评注此题确定点E位置时，运用一题多解的方法，结合全等三角形、角平分线、线段垂直平分线、尺规作图等数学知识，来进行数学推理及分析.在这个过程中，学生解读文本、理解图形结构等数学综合能力得到提升．

通过以上实例，不难发现在数学教学过程中，如果能坚持运用一题多解来引导学生深入地去分析、研究问题，能够有效提升学生数学综合能力．