基于动态测量柔度矩阵的悬索桥吊索损伤检测

孟凡豪， 于靖军， 马文硕

(1. 中国电力科学研究院有限公司，北京 100055; 2. 北京航空航天大学 机器人研究所，北京 100191； 3. 法语布鲁塞尔自由大学 主动结构实验室，布鲁塞尔 1050)

随着人类经济的发展和科技的进步，悬索桥逐渐成为土木结构史上最壮丽的篇章。这些优美的结构克服自然障碍将不同地区连接起来，天堑变通途，成为不可或缺的基础民用设施。从美学的角度来看，镂空的结构、完美的曲线、狭长的跨度等所有这些美学特征使得悬索桥成为特殊的结构。在悬索桥给我们的日常生活带来便利的同时，其随之而来的结构健康问题也变得日益突出。吊索是悬索桥主要承重部件，在日常运营中极其容易遭受严重的腐蚀和疲劳损伤，而这些损伤往往可能会被忽视。另外悬索桥是低刚度和低阻尼的柔性结构，对振动非常敏感，表现出复杂的振动特性。由于桥面与吊索直接相连接，因此桥面连接处采集的振动数据会包含吊索的健康信息。基于这个原因，采用柔度变化的损伤指标方法(DI)来检测悬索桥吊索的损伤是一种有效的手段。

Pandey等[1]提出了柔度矩阵来检测结构损伤的存在和定位，其数值和实验结果表明，仅用前两阶模态参数就可以识别出结构的损伤位置，之后进一步构造出基于模态柔度矩阵差的损伤指标[2]。该方法已被许多研究人员丰富和进一步发展并应用于简单梁结构和板状结构的损伤定位[3-4]，并取得了不错的效果。对于悬索桥这类大型复杂结构，该方法在理论研究及仿真验证方面也取得不俗的进展。例如，Ni等[5-6]研究了斜拉桥损伤前后的柔度变化(Relative Flexibility Change, RFC)。在没有噪声影响的情况下，RFC指标在单个损伤和多个损伤情况下取得了很好的定位效果，但是在模拟环境噪声影响下检测和定位轻微损伤时遇到了一些困难； Wickramasinghe等[7]提出一种基于模态柔度的方法，可检测定位悬索桥吊索在不同位置和不同损伤程度下的单个及多个的损伤，并通过单个和多个损伤仿真案例，得以成功验证；Catbas等[8-9]利用柔度矩阵对桥梁结构低频模态的变化非常敏感的特性，利用动态测量柔度矩阵估计桥梁静力性能的变化实现了简支梁桥面损伤的检测与定位。

针对悬索桥复杂的结构，本文利用动态测量柔度矩阵对结构损伤非常敏感的特性，提出了利用恒载作用下结构应变和曲率变化来检测和定位损伤吊索的方法。为了验证所提出方法的有效性，本文首先建立了准确的悬索桥有限元模型和动力学模型；然后模拟在不同的损伤情况下，对悬索桥吊索单个损伤和多个损伤的检测情况，验证了方法的可行性；最后通过实验分析进一步检验了所提方法的有效性。

1 基于动态测量柔度矩阵的损伤定位方法

该损伤检测方法使用动态测量的柔度矩阵来估计结构的静态行为的变化。因为柔度矩阵被定义为静态刚度矩阵的逆矩阵，所以柔度矩阵关系到施加的静力和由此引起的结构位移。

考虑一个线性时不变结构的运动微分方程[10]

(1)

式中：M，C，K分别为质量、阻尼和刚度矩阵；f为外力；x为输出量(加速度、速度或位移)。

根据式(1)，将所受外力f换为简谐激励力Fejωt，因此响应x为谐波响应Xejωt，其中F和X的关系式为

X=[-ω2M+jωC+K]-1F=G(ω)F

(2)

矩阵G(ω)为系统的传递函数，也定义为结构的动态柔度矩阵；G(ω)是静柔度矩阵动态推广，故G(0)≈K-1，矩阵G(ω)的模态扩展可以通过将式(2)中的物理坐标改为模态坐标x=Φz。模态响应也是谐波z=Zejωt，不难发现式(2)将变为

(3)

从而得到

(4)

与式(4)相比，我们发现动态柔度矩阵的模态展开式

G(ω)=[-ω2M+jωC2+K]-1=

(5)

式(3)～式(5)中，归一化质量μi、固有频率ωi、阻尼比ξi和振型φi。i为第i阶模态，n为考虑的模态阶数。假设ω=0，我们可以得到近似静态柔度矩阵

(6)

在得到静态柔度矩阵后，任何给定的力矢量都可以很容易地计算出静态荷载(单位荷载)下的挠度或变形d，如式(7)所示

(7)

式中：d=[d1，d2，…，dN]T；N为输入和输出点的数量；Gp,q(0)为通过q点输入p点输出时测得的柔度值。

模态曲率在识别和定位损伤方面非常有效[11-14]。使用模态曲率的基本前提是，刚度的降低将被反映为模态曲率的增加。本文中基于上述方法得到桥面的位移变形后，利用模态曲率的求解原理可得到悬索桥桥面的变形曲率以实现结构损伤的检测与定位。

为了计算位移矢量的曲率，使用中心差分近似作为数值推导

(8)

式中：dk为第k个位移矢量的元素，k=1,2,…N；Δx为测量的位移点之间的长度。

2 悬索桥实验模型建模及有效性验证

图1是悬索桥CAD模型图。它的跨度为2.2 m，两个铰接塔(桥塔)高度为0.62 m，主钢索(拉索)直径为1 mm，2×10的吊索直径为0.5 mm; 桥面在两端可自由旋转，并通过两排吊索连接到拉索。

图1 悬索桥CAD模型Fig.1 CAD view of the suspension bridge

该模型包括一系列由预应力吊索支撑的柔性桥面。假定吊索与桥面的相互作用被限制在纵向张力，其它方向的动力学特性可以忽略不计。该方法在保证计算精度的同时，极大地简化了建模。根据经典的运动学式(1)，无阻尼控制系统动态响应的方程是

(9)

模型中包含了由于吊索中的预应力引起的几何刚度，并忽略了结构阻尼以简化模型。利用SAMCEF有限元软件对图1桥梁模型进行分析，并将质量矩阵和刚度矩阵导出到MATLAB软件中，利用状态空间方程建立悬索桥动力学模型。桥面用梁单元建模，而吊索和主拉索用条单元建模。

表1给出了结构的前6阶振动模态，并将其与实验测量结果(仅显示桥面)进行比较。有针对性的模态是前4阶弯曲模态和前两阶扭转模态，它们组成了悬索桥的主要动力学特性。通过表1中仿真值与实验值的对比可以看出，仿真结果与实验结果具有较高一致性，从而验证了悬索桥动力学模型的正确性。

表1 悬索桥模态参数仿真值与实验值的对比。固有阻尼在0.1%～0.8% Tab.1 Comparison between the numerical and the experimental modal parameters. The natural damping is estimated between 0.1% and 0.8%

3 损伤检测的数值算例

对于时域振动信号，建立了数据采集系统，包括20个加速度传感器，用于测量纵向加速度。这些传感器连接到桥面上靠近吊索连接处。传感器的布局如图2所示。大型土木结构，特别是悬索桥，通常会在运营服务中面临环境随机激励。在本文中，平稳的高斯白噪声(Gaussian White Noise，GWN)被用来激励系统。

图2 传感器布局和激励位置Fig.2 Sensor layout and excitation locations in the bridge deck

对于振动测试，时间序列的长度应涵盖在环境振动下结构完整或接近完整的动态行为。根据参考文献[7]，采样时间被选为300 s，采样频率是200 Hz。

3.1 噪声因素

在实际情况下，测量的振动响应容易受到很多不确定因素的影响，例如环境测量噪声和测量误差等，都会影响到频率和振型的计算进而影响到结构损伤识别的准确性[15]。为了研究损伤检测方法在噪声情况下的鲁棒性，将5%正态分布随机噪声引入模态振型。可将引入噪声污染的模态振型表示为[16]

φ(noise),i=φ(FE),i+αnoise×R×var(φi)

(10)

式中：φ(noise),i为噪声污染的第i阶模态振型；φ(FE),i为通过理论仿真得到的第i阶模态振型；αnoise为噪声水平；R为一个随机数的向量；var(φi)为从理论仿真得到的第i阶模态振型的方差。

3.2 损伤案例

有限元模型中的损伤可以通过改变杨氏模量或改变截面面积或去除损伤位置的单元来模拟。在本文的研究中，通过减少指定吊索的杨氏模量来模拟吊索中的损伤。桥面的模态振型由靠近吊索和桥面之间的连接点来构建。吊索的编号如图2所示，编号1～10对应同一侧的吊索，另一侧的吊索按11～20依次编号。表2给出了本研究中考虑的具体损伤案例。

表2 不同的损伤情况 Tab.2 Different damage scenarios

表2中，案例1通过减去吊索3中95%的刚度来模拟损伤，吊索3位于悬索桥跨度1/3处附近。案例2在吊索5中定义了相同的损伤，吊索5位于悬索桥跨度的中间位置。为了探索所提方法对不同损伤程度的识别能力，在吊索5分别定义了不同损伤情况(案例3和案例4)。案例5和案例6分别在案例3和案例4的基础上引入了5%的噪声。为了研究对多重损伤检测的性能，引入了90%的损伤等级和5%的噪声等级来定义损伤案例7和案例8。

3.3 仿真结果

通过式(6)仿真计算得到柔度矩阵，然后施加垂直桥面向上的虚拟外力如式(7)所示，最后得到桥面变形及变形曲率。

案例1和案例2研究了在95%损伤程度下，所提方法对不同损伤位置的检测能力。结果如图3和图4所示。

图3 案例1的损伤检测结果(吊索3损伤95%)Fig.3 Results of damage detection for case 1 (95% stiffness reduction of hanger 3)

图4 案例2的损伤检测结果(吊索5损伤95%)Fig.4 Results of damage detection for case 2 (95% stiffness reduction of hanger 5)

在图3中，作为损伤指标的桥面弯曲变形和变形曲率能够成功检测到损伤的存在，并确定损伤的实际位置。在图4中可以看到类似的趋势，成功预测出损伤的吊索(吊索5)。通过前两个案例可以发现该方法能够检测出受损程度达到95%的损伤，其准确性不受损伤位置的影响。值得一提的是，曲率是根据桥面形变的导数计算出的，在这两个案例中，变形曲率再次被证实与形变本身相比对损伤更敏感。因此，在后续的研究，只使用曲率作为损伤指标。

损伤案例2、案例3和案例4模仿了吊索5的三种不同损坏等级。这三种损伤情况用于研究该方法在无噪声情况下能够检测出的最小损伤等级。案例3和案例4的结果，如图5所示。

图5 不同损伤程度对检测结果的影响(吊索5损伤90%和85%)Fig.5 Results of damage intensity effect (90% and 85% stiffness reductions of the hanger 5)

从图5(a)中可以看出，对于90%的损伤情况(案例3)，该方法能够检测结构损伤的准确位置。但是当损伤程度降低到85%时，如图5(b)所示，尽管这种方法能够检测到损伤位置可能位于吊索5，但吊索14处的检测结果对损伤预测的影响很大，因此可能导致预测不准确。另外，一旦加入噪声，案例4的检测准确性可能会下降。通过案例2、案例3和案例4的结果分析可以发现：在无噪声干扰情况下，基于变形曲率的损伤识别方法可以有效识别悬索桥吊索90%及以上等级的损伤。

为了考虑测量噪声的影响，将5%的均匀分布噪声添加到损坏前后的结构模态参数中，如式(10)所示。案例5和案例6研究分析了噪声对不同的损伤情况下检测结果的影响，见图6。

图6 5%噪声对检测结果的影响(吊索5损伤90%和85%)Fig.6 Results of noise effect (90% and 85% stiffness reductions of the hanger 5)

如图6(b)所示，在5%的噪声情况下，当损伤等级为85%时，没有检测到损伤位置，与图5(b)无噪声情况相比，该方法检测损伤能力下降明显。图6(a)显示，将损伤强度增加到90%可以成功检测出5%噪声干扰下的损伤位置。

从上述的研究中可以看出，动态测量柔度法能够在5%的噪声干扰下定位90%及以上等级的单个损伤。该方法对于多重损伤的检测能力将在案例7和案例8中得到验证。图7显示了动态测量柔度法对多个模拟损伤吊索的检测结果。结果证明该方法不仅可以定位同侧损伤吊索的确切位置(见图7(a))也可以同时检测两侧吊索的损伤(见图7(b))。

图7 多重损伤的检测结果(90%损伤和5%噪声)Fig.7 Results of multiple damage detection (90% stiffness reductions and 5% noise)

4 悬索桥吊索损伤实验检测

为了检验动态测量柔度法的有效性，建立了地锚式悬索桥的实验室模型(见图8)。它由两个距离为2.2 m的0.62 m高的桥塔支撑组成；桥面通过两排10个吊索连接到主拉索；主拉索由直径为1 mm的钢缆组成，吊索由0.5 mm的钢缆制成，主拉索和吊索的张力可以通过螺栓调整。为了保证悬索桥模型的对称性，吊索预应力保持一致。

图8 悬索桥实验室模型Fig.8 Laboratory mock-up of the suspension bridge

如图8所示，在桥面底部上安装音圈作动器对结构施加力(限制带宽白噪声)。在振动测量之前，建立了数据采集系统，其中包括4个单轴B&K 34 371 V加速度传感器，用于测量垂直加速度。加速度传感器的布局如图9所示。采样设置与第3章相同。通过分段式逐点多次测量实现了沿桥面两侧的20个不同点的频率响应函数、固有频率和振型的计算。悬索桥实验模型固有频率和振型如表1所示。

图9 加速度传感器与位置Fig.9 Accelerometer and position

从式(6)我们可知，静态柔度矩阵是由各阶模态计算叠加得到的。因此，在利用位移和曲率来检测损伤位置之前，需要了解模态截断对静态柔度矩阵的影响。 图10显示了每阶模态对变形位移的贡献，其累加结果如图11所示。在图9所示的传感器位置，施加均匀的垂直向上的虚拟力。通过图10可以看出，第二阶模态对计算静态柔度矩阵的贡献最大；如图11所示，通过前4阶模态计算得到的静态柔度矩阵值趋于稳定，因此在后续实验测量柔度矩阵计算中只采用前4阶模态。

图10 每阶模态对位置3处变形位移的贡献值Fig.10 Contribution of each mode to the displacement of position 3

图11 荷载相关模态柔度收敛图(均布荷载)Fig.11 Load dependent modal flexibility convergence plot (uniform load)

在实验时通过破坏吊索来改变其刚度比较难以实现，尤其是还要掌握好损伤的程度。而吊索在轴向的刚度主要是通过加载预应力实现的，这里近似认为其轴向刚度跟预应力成一定的线性关系，因此在实验中可以通过改变吊索的预应力来模拟吊索的损伤。在实验中如何控制吊索预应力的变化程度主要是通过调节目标吊索的横向弯曲固有频率实现的。吊索预应力与自身频率的关系为

(11)

式中：T0为吊索的预应力；L为吊索长度；ρ为吊索密度；A为吊索截面面积；fs为吊索的横向弯曲固有频率，并由非接触式激光传感器测量得到[17]。具体的实验案例如表3所示。为了更加直观的定位损伤位置，引入结构损伤前后的变形曲率差来判定损伤位置[18-19]，公式为

(12)

表3 损伤实例 Tab.3 Experimental damage examples

在图12(a)和图13(a)中，变形曲率作为损伤指标分别准确定位出悬索桥损伤吊索的位置(95%的损伤和90%的损伤)，进一步验证了方法的有效性。与变形曲率相比，损坏前后的变形曲率之差更能简单直接地实现损伤吊索的定位，如图12(b)和图13(b)所示。图14中，两种损伤指标都成功判定出多重损伤的位置。通过上述三个实验案例可以看出，不同损伤工况的损伤检测结果都与之前的仿真模拟结果相类似。实验结果表明，基于动态测量柔度矩阵的损伤识别方法可以实现悬索桥吊索的损伤检测和定位。

图12 损伤实例1的检测结果(吊索18减少95%预应力)Fig.12 Results of damage detection for example 1 (95% prestressing reductions of cable 18)

图13 损伤实例2的检测结果(吊索3减少90%预应力)Fig.13 Results of damage detection for example 2 (90% prestressing reductions of cable 3)

图14 损伤实例3的检测结果(吊索6和吊索12减少90%预应力)Fig.14 Results of damage detection for example 3 (90% prestressing reductions of cable 6 and cable 12)

5 结 论

结构的柔度可以通过结构振动的低阶模态精确地获得，因此该方法具有巨大的工程实用价值，在近些年得到持续深入研究。

本文利用动态测量柔度矩阵建立变形位移和变形曲率作为悬索桥吊索的损伤检测方法。首先，建立有限元和动力学模型，模拟不同损伤程度和噪声等级的8种损伤工况；仿真结果表明，动态测量柔度法能够定位5%噪声水平下的损伤程度达到90%及以上的单个和多个损伤。然后，利用实验室模型测试来进一步验证这些损伤指标对检测和定位损伤的有效性，并在实验中分析了模态截断对损伤估计的影响。通过上述研究发现：

(1)结构柔度矩阵可以通过动力测试前4阶模态精准的得到。

(2)与变形位移相比，桥面的变形曲率对吊索的损伤更敏感，对于检测和定位吊索损伤更有效；同时变形曲率法不需要结构损伤前的任何信息，也不需要有限元建模，因此具有非常突出的工程应用价值。

(3)吊索损坏前后的桥面变形曲率之差具有更加简单直观的结构损伤定位能力，但是需要获得结构损伤前的信息。

(4)存在的主要问题：计算动态柔度矩阵需要大量的数据测试，因此时间成本较大；此外，该方法对模态参数的精度要求较高，需要获取输入数据，因此对于仅输出系统需要进一步研究。