浅谈概率论的发展与应用

赵文轩

(山东省泰安第二中学 271000)

概率论是高中数学课程中重要的组成部分，涉及排列组合、概率公式、分布定律等知识，是高中数学中的重要模块.但是一些同学对概率论的认识存在误区，认为概率论仅为课本知识，没有实际应用价值.实际上概率论在实际生活中有着广泛应用，可以对不确定的问题进行量化，从而帮助人们做出科学决策.概率论的发展可以分为三个时期：以卡尔达诺、费马、帕斯卡和惠更斯为代表的十七世纪中叶到1872年，被称为“古典概率论”时期；从1872年到20世纪初，被称为“分析概率”时期；1933年以后，被称为“测度概率论”时期.

一、概率论简述

我们生活的大千世界存在着诸多各形各色的事物现象与社会现象，从人类理性预知的角度看，其大致可以分为确定性现象与不确定现象.确定现象的问题较为简单，比如“地球围着太阳转，月球围着地球转”等真理.与之对比，不确定现象较为复杂.不确定现象也称为随机现象，关于随机现象是否具有规律性的问题是数学研究的热点问题，这也催生了概率论的产生.因此，可以将概率论看作是通过数学视角研究随机现象统计规律性的一门学科.

进入二十世纪，概率论作为一支活跃的、实用性强的随机事件理论得以快速发展.起初概率论源于实际生活的需要，物理、通讯、管理等科学的发展需求加速了概率论的进一步研究.如今的概率论已经活跃在数学领域，其理论框架更加系统化，并作为数学问题分析工具得到了大范围的推广和应用，同时也在实践中得到创新发展.

概率论在数学上有着严格的公理化定义，主要性质有三条：首先，使用在[0,1]之间的非负数衡量一个事件的概率值大小.当一个事件的发生概率为1时，该事件称为必然事件；当一个事件发生的概率为0时，称之为不可能事件.比如太阳东升西落为必然事件，那么发生概率为1；公鸡下蛋为不可能事件，发生概率为0；掷一次骰子，掷得4点的事件可能发生，也可能不发生，那么其发生概率为0到1之间的某值.其次，有限个互斥事件的和事件发生的概率为各互斥事件发生概率的和.比如箱子里有红、蓝、黄、黑球各一个，从中任取一球，取到红球的概率为1/4，取到蓝球的概率也为1/4，取到红球或蓝球的概率则为取到红球和取到蓝球两事件的概率之和，为1/2.最后，相互独立的两个事件发生的联合概率等于各事件发生的概率乘积[2].比如甲和乙两人分别从装有4个球(红、蓝、黄、黑球各一个)任取一球，两个人都取到红球的概率为，甲取到红球的概率乘以乙取到红球的概率，即1/4×1/4=1/16.

二、概率论的发展历程

概率论起源于保险行业，但对于概率论进行数学化的逻辑理论研究开始于赌博行业.如同新生婴儿出生前的准备一样，概率论的出现也是漫长准备期的成果.卡当的《论赌博》、伯努里的《猜度术》中提到的“伯努利定理”，便是大数定律(又称大数法则，是指在一个随机事件中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值)的雏形.概率论的发展可分为古典时期、初等发展时期、分析概率时期以及现代概率时期.

概率论研究者们普遍认为概率论早期研究始于十六世纪到十七世纪.如果更宽泛一些，甚至可以将十四世纪骰子、抽签问题的出现可以视为概率论早期研究的形式.十七世纪，西方出现的文艺复兴与工业革命为概率论的发展提供了大背景.工业蓬勃发展带来的效率问题，航海业发展带来的时间误差问题，贸易业激增带来的负债率、资产率等催生了概率论的出现.概率论是应实践的需求而出现的，其中较为著名的是伽利略的对于物理实验误差问题的研究，他认为误差问题可以作为随机现象进行概率估算.这一阶段是概率论发展的古典时期.

概率论的初等发展时期的代表人物是瑞士数学家雅各布·伯努利，他在这一时期的概率研究也建立在赌博问题之上，代表著作是1713年出版的《猜度术》，建立了第一个以数学理论为主要特征的概率论的极限定律，即著名的伯努利大数定律.这一理论的诞生为频率数学抽象化理论研究奠定了基础，也是研究等可能性问题的极其重要的铺垫理论.

十九世纪，概率论的发展进入分析概率时期.在这一时期，俄国数学家切比雪夫以伯努利定理和泊松大数定理作为特例建立了关于独立随机变量序列的大数定律，并在此基础上推广出更为普遍的中心极限定理.十九世纪末期，概率论在统计物理等领域的实践应用催生了对概率论基本概念与原理进行解释的需求.与此同时，概率论古典发展时期中基本概念的矛盾之处也被进一步挖掘和放大.概率论理论进一步得到完善.

概率论真正的现代阶段开始于二十世纪.社会生产发展迅速、科技进步日新月异推动了概率论的进一步发展，也出现了新的学科分支.概率论应用也遍布各个产业的方方面面.现代概率时期的研究重点是无数多随机变量集合的随机过程.这是以时间序列为研究维度、对数学思维的抽象化.大数定律和中心极限定理的应用范围在马尔可夫(俄罗斯数学家)的研究中得以推广，成为现代概率论研究的基础.

三、现代概率论的应用

概率论在生活中随处可见，为物理学、生物学、信息论、经济学、工程技术等学科提供了数学工具.本文以车险行业、生物遗传学中的概率论应用进行说明.

1.在车险中的应用

虽然对于概率论进行数学化的逻辑理论研究开始于赌博行业，但概率论却起源于保险行业.保险已经成为人们生活中保障人们生活质量的重要内容，以实际案例进行证明，比如小赵在某保险公司购买汽车保险，其中保险额最高为20万元，在这险种中第三责任险需小赵支付1200元的保险费，那当购买这一险种的人数达到1000名时，保险公司在这一保险销售中盈利40万元的概率以及亏损概率是多少?这是需要对保险赔偿金额及事故次数进行分析.如果每次事故需保险公司赔付5万元，那么保险公司要获得40万元的利润就必须保证将事故次数控制在16次以内，通过对被保险车辆的调查，发生事故的几率一般为0.5%.通过计算可以得知保险公司盈利40万元的概率为0.99998；发生亏损的概率为0.0000000068.可以看出保险公司普遍是盈利的.

2.在生物遗传中的应用

概率论的诞生与发展为诸多学科提供了有效的数学模型，成为解决现实问题的有力工具.本文对概率的发展与应用作了浅要的研究，尤其对保险行业和生物遗传的概率应用作了较为详细的说明.由于专业知识比较深奥，专业性较强，所以有些工作做的还不是太深入，许多方面的研究还比较粗糙，这是作者今后要努力的方向.