立足高考题价值 探寻多角度解法

☉浙江省温州市龙港高级中学 蔡南好

立体几何是高中数学的重要内容之一，也是各类考试中比较热衷的考点之一，它是考查学生空间想象能力的重要知识载体.这就更需要我们多加研究，以便熟练地掌握立体几何中位置关系的证明和空间角的求解方法.同一数学问题，可以从多方位、多角度、多层次入手，就会得到多种解题思路和方法，提高对数学知识的理解和掌握，从而提升数学解题能力，培养优良的数学素养.

例题（浙江省2018年高考数学第19题）如图1，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2.

（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（略）

（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.

（说明：下文中θ均指直线AC1与平面ABB1所成的角）

思路1：线面角的定义：过斜线上除斜足外任意一点作面的垂线，连接垂足和斜足得斜线在平面内的射影，则斜线与射影所成的角称为线面角.由线面角的定义可知，要求线面角，实际上只要知道点到面的距离即可.

解法1：由题意得CC1∥BB1，则CC1∥平面ABB1.所以点C1到平面ABB1的距离与点C到平面ABB1的距离相等.因为B1B、CC1均垂直于平面ABC，易证点C到平面ABB1的距离为点C到边AB的距离，即为

图1

思路2：由思路1我们知道，求线面角即求点到面的距离即可.因此，我们可以通过过要求的点作已知平面的垂面，从而作出垂线，进而得到垂线的长度，最后解决问题.

解法2：如图2，过点C1作C1D⊥A1B1且交A1B1的延长线于点D，连接AD.

由AB1⊥平面A1B1C1，

得平面A1B1C1⊥平面ABB1.

由C1D⊥A1B1，

得C1D⊥平面ABB1.

所以∠C1AD是AC1与平面ABB1所成的角.

图2

思路3：空间向量是有效解决立体几何知识的重要工具，它可以把空间位置关系或空间角转化为相关向量之间的位置关系或角度关系.这样，我们就可以把题目中要求的量转化为向量来进行计算.

解法3：如图3，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x轴，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由（Ⅰ）可知

图3

设平面ABB1的法向量为n=（x，y，z）.

因此，直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是

思路4：由余弦定理这就是“万能”的对角线向量定理，利用这一结论我们可以快速地解决很多“难题”.

解法4：过C作CG⊥AB于点G，则为平面ABB1的一个法向量，从而线面角可以转化为的夹角.

思路5：三正弦定理可以很好地架起二面角与线面角之间的关系.如图4所示，平面α∩平面β=l，A，B∈l，C∈α，CO⊥平面β，CB⊥l，垂足为B，则有sinγ=sin∠1·sin∠2.

图4

解法5：过C作CG⊥AB，垂足为G，连接C1G，则∠C1GC为二面角C1-AB-C的平面角，易得∠C1GC为30°，则二面角C1-AB-A1的平面角大小为60°.

由三正弦定理得sinθ=sin∠C1AB·sin60°

思路6：三余弦定理可以很好地架起二面角与线线角之间的关系.如图5所示，A，B，C∈α，O∉平面α，OB⊥平面α，CB⊥AC，垂足为C，则有cosγ=cos∠1·cos∠2.

图5

解法6：过C作CG⊥AB，垂足为G，由三余弦定理得：

通过“一题多解”可以将主干知识进行“串联”，同时“并联”起数学思想方法和核心素养，开拓学生的解题视野，有效促进学生思维品质的改善和创新发展能力的提升，使学生体验到数学的乐趣，收获成功的喜悦，增强学习数学的兴趣和信心.

多角度解题是开发智力、培养能力的一种行之有效的方法，它对沟通不同知识间的联系、开拓思路、培养发散思维能力、激发学生的学习兴趣等都十分有益.在教学中，恰当且适量的采用一题多解的方法来进行思路分析，探讨解题规律，能以少胜多的巩固基础知识，提高分析问题和解决问题的能力，掌握基本的解题方法和技巧，提升学生的数学素养和数学兴趣.