圆锥曲线中一类定点问题的探究

☉浙江省临海市大田中学 叶伟飞

以圆锥曲线为背景的定点问题在近几年的高考命题中经常出现，此类问题对考生分析问题和计算处理问题的能力要求较高.本文以椭圆背景下的一道定点问题为引例，从问题的多种解法、多种变式及结论等几个视角进行探究.

引例已知椭圆的离心率等于，经过其左焦点F（-1，0）且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于M，N两点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）O为坐标原点，在x轴上是否存在定点Q，使得点F到直线QM，QN的距离总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

第（1）问椭圆C的方程为过程略），下面对第（2）问进行探究.

一、问题分析

思路1：若存在点Q，使得点F到直线QM，QN的距离相等，即点F到∠MQN的两边的距离相等，则QF为∠MQN的角平分线，∠MQF=∠NQF，即直线QM与QN的斜率互为相反数，进而找到解题的切入点.

思路2：如图1所示，结合椭圆的对称性，若满足条件的点Q存在，则点N关于x轴的对称点N′即为直线QM与椭圆的另一个交点P，即Q，P，M三点共线.

图1

二、问题解答

针对上面两种思路，得到如下两种解法.

解法1：当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为

设Q（t，0）.由点M，N在x轴异侧，则问题等价于“QF平分∠MQN”，且x1≠t，x2≠t，又等价于

将y1=k（x1+1），y2=k（x2+1）代入上式，整理得2x1x2+

将根与系数的关系代入上式，整理得t+2=0，即t=-2，所以Q（-2，0）.

当直线MN的斜率不存在时，存在Q（-2，0）也使得点F到直线QM，QN的距离相等.

故在x轴上存在定点Q（-2，0），使得点F到直线QM，QN的距离总相等.

解法2：设满足条件的点Q存在，设Q（t，0），M（x1，y1），N（x2，y2），点N关于x轴的对称点N′（x2，-y2），则共线.

设直线MN：x=my-1（m≠0），

则x1=my1-1，x2=my2-1，代入上式得

将直线MN与椭圆方程联立得：消元得（m2+2）y2-2my-1=0.

所以t=-2，Q（-2，0）.

当m=0时，存在Q（-2，0）也使得点F到直线QM，QN的距离相等.

故在x轴上存在定点Q（-2，0）满足题意.

三、结论探究

由第（2）问的结论发现无论直线l怎么旋转，交点M，N与定点Q始终满足题意，那么点Q与椭圆有何关联？细心的读者可能发现点Q为椭圆的准线与x轴的交点.基于此视角，下面对问题的一般结论进行探究.

结论1：F为椭圆的右焦点，过F的直线与椭圆C交于A、B两点，点为坐标原点，则点F到MA，MB的距离相等.

本结论的证明，除了利用引例所述的两种方法外，还可以利用椭圆的第二定义.

证明：如图2所示，由椭圆的第二定义知

由

则∠AMA′=∠BMB′.

所以∠OMA=∠OMB.

所以点F到MA，MB的距离相等.

类似地，我们还可以将该结论拓展到双曲线和抛物线中.

结论2：F为抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，过点F的直线与C交于A、B两点，点为坐标原点，则点F到MA，MB的距离相等.证明略.

结论3：F为双曲线的右焦点，过F的直线与C右支交于A、B两点，点为坐标原点，则点F到MA，MB的距离相等.证明略.

四、变式探究

变式：已知椭圆的离心率等于，经过其左焦点F（-1，0）且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于M，N两点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）O为原点，点Q（-2，0），M，N是椭圆上两个动点，若直线QM与QN的斜率互为相反数，判断直线MN是否过x轴上某定点.

解析：可设直线MN：y=kx+m与椭圆方程联立得消元得

将y1=kx1+m，y2=kx2+m，代入上式得

所以m-k=0，即m=k.

所以直线MN过定点（-1，0）.

综上所述，通过对一道题目的多种探究，让我们不仅明白了问题的多种求解思路，而且清楚了命题的根源，拓宽了解题的思路，落实了解题能力的提升.W