解析化思想和创新思维在二元一次不等式（组）中的应用
——教学中的一点感悟

☉甘肃省靖远县第二中学 郭众民

二元一次不等式（组）的求解思路是理解二元一次不等式（组）与平面区域的关系，借助几何直观来解决简单的线性规划问题，它是高中数学课程中的难点和重点.若想很好地掌握这部分内容，则学习方法和学习技巧是关键.在教育教学实践中笔者讲授二元一次不等式（组）Ax+By+C＞0（或＜0），（A2+B2≠0）在平面直角坐标系中表示的平面区域的判别方法时，在教材人教版必修5中给出的是“直线定边界，特殊点定区域”的方法来学习和处理这部分内容.一种方法是：取原点（0，0）代入不等式（组）来判断不等式（组）是否成立来确定不等式（组）表示的平面区域，而当直线过坐标原点时再取点进行判断；另一种方法是：二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）对于在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x，y），把它们的坐标（x，y）代入Ax+By+C，所得实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0，y0），然后从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示在直线哪一侧的平面区域.（特别的，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）.

虽然这些方法是最基本的方法，但笔者感觉这种方法在教材中不够简单且不易掌握，学生学习起来特别困难.笔者在有关资料中还看到有一种由直线的一般式方程的系数特征判断直线位置关系的方法，类比可得到由二元一次不等式（组）Ax+By+C＞0的系数特征（A，B的符号特征），来确定二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0）所表示的平面区域，例如：

若：A＞0，B＞0，笔者感觉用二元一次不等式Ax+By+C＞0来表示直线Ax+By+C=0右上方的平面区域的方法仍没有体现出解析化思想和创新思维，笔者在教学过程中思考由直线方程Ax+By+C=0的一般式所得不等式中的变量x的取值范围能否判断二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0）所表示的平面区域？笔者结合一元一次方程和一元一次不等式的解集的求法来研究这个问题，把二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0）中的两个未知量中的一个设为零（例如y），这样就变为一元一次不等式，再根据未知量的取值判断其所表示的平面区域，通过多次实践和总结来发现这是一种易于记忆，便于应用的简易方法，下面笔者就对这种方法做一介绍，与各位同仁商榷.

一、特殊情形

（1）若A=0，B≠0，则By+C＞0（或＜0）可化为从而表示直线By+C=0的上方或下方的平面区域，如图1或图2.

图1

图2

（2）若A≠0，B=0，则Ax+C＞0（或＜0）可化为从而表示直线Ax+C=0的右侧或左侧的平面区域，如图3或图4.

图3

图4

由直线Ax+By+C=0求出直线的斜率然后判断斜率的符号，直线的斜率大于零或小于零在直角坐标

二、一般情形（A≠0，且B≠0）

系里有两种位置，如图5或图6，

图5

图6

1.当k＞0时，

（1）在图5中的直线构成的不等式Ax+By+C＞0中，令y=0，当A＞0时得，则区间都在不等式所表示的平面区域内，所以Ax+By+C＞0表示的平面区域是直线Ax+By+C=0的右下方的区域，如图7；当A＜0时得x＜则区间都在不等式所表示的平面区域内，所以Ax+By+C＞0表示的平面区域是直线Ax+By+C=0的左上方的区域，如图8.

图7

图8

（2）在图5中的直线构成的不等式Ax+By+C＜0中，令y=0，当A＞0时得则区间都在不等式所表示的平面区域内，所以Ax+By+C＜0表示的平面区域是直线Ax+By+C=0的左上方的区域，如图8；当A＜0时得则区间都在不等式所表示的平面区域内，所以Ax+By+C＜0表示的平面区域是直线Ax+By+C=0的右下方的区域，如图7.

2.当k＜0时，

（1）在图6中的直线构成的不等式Ax+By+C＞0中，令y=0，当A＞0时得，则区间都在不等式所表示的平面区域内，所以Ax+By+C＞0表示的平面区域是直线Ax+By+C=0的右上方的区域，如图9；当A＜0时得x＜则区间都在不等式所表示的平面区域内，所以Ax+By+C＞0表示的平面区域是直线Ax+By+C=0的左下方的区域，如图10.

（2）在图6中的直线构成的不等式Ax+By+C＜0中，令y=0，当A＞0时得则区间都在不等式所表示的平面区域内，所以Ax+By+C＜0表示的平面区域是直线Ax+By+C=0的左下方的区域，如图10；当A＜0时得则区间都在不等式所表示的平面区域内，所以Ax+By+C＜0表示的平面区域是直线Ax+By+C=0的右上方的区域，如图9.

图9

图10

解：先画出直线x-y+5=0，在不等式x-y+5≥0中令y=0得x≥-5，可得x-y+5≥0所表示的平面区域是直线x-y+5=0的右下方的半平面，再画直线x+y=0，在不等式x+y≥0中令y=0，得x≥0，可得x+y≥0所表示的平面区域是直线x+y=0的右上方的半平面，然后画出特殊的不等式x≤3的半平面，则以上三个不等式的公共部分就是不等式组所表示的平面区域.如图11.笔者感到运用这种方法解此类问题可以既简单又准确地求出二元一次不等式（组）所表示的平面区域.

图11

笔者在课堂教学中通过实践和多次尝试得到这种求二元一次不等式（组）表示的平面区域是一种比较合理实用且便于记忆的方法，尤其是在线性规划求最值时，运用这种方法可以简便快捷地画出其可行域.随着新课程改革的不断深入，解析化思想在学生学习中起着十分重要的作用，在学生对解析化思想的掌握上需要重视其对基础知识的牢固掌握，在课堂教学中对解析化思想的渗透要灵活，以启迪学生的创新思维.F