乘积G-空间的G-极小性、G-混合性和G-链回归点

冀占江,张更容

(1.梧州学院大数据与软件工程学院,广西梧州 543002)

(2.梧州学院广西高校图像处理与智能信息系统重点实验室,广西梧州 543002)

(3.湖南第一师范学院数学与计算科学学院,湖南长沙 410205)

1 引言

极小性和混合性是拓扑动力系统中重要的概念,其核心是迭代所产生的系列轨道在拓扑空间中的渐进性和拓扑结构,近年来许多学者对其进行了研究,得到了很多有意义的成果(见文献[1–7]).例如,文献[1]证明了在紧致度量空间中极小性和拓扑混合可以被强一致收敛所保持;文献[2]给出了图上交错系统中拓扑混合的等价条件;文献[3]给出了树映射是拓扑混合的等价条件;文献[4]证明了乘积映射是极小映射和混合映射相应等价于分映射是极小映射和混合映射.文献[1–4]是在整数加群Z作用下的拓扑空间上研究极小性和拓扑混合,也就是在经典离散动力系统中研究极小性和拓扑混合,随着离散系统动力系统中理论的成熟,在一般群作用下的拓扑空间中的动力学性质逐渐受到学者的关注[8−11].文献[8]在Amenable群作用下研究了极小性和拓扑混合的等价条件;文献[9]在拓扑群中下证明了拓扑混合可以被强一致收敛所保持.我们知道整数加群Z一定是Amenable群和拓扑群,反之不一定成立,因此文献[8–11]所研究的空间比离散动力系统更为广泛,结论更具有实用性和普遍性.借鉴文献[8–11]的研究思路,笔者在拓扑群作用下的乘积空间中进行研究,首先介绍了极小映射和混合映射的概念,其次证明了(1)乘积映射f×g是G-极小映射当且仅当是f是G1-极小映射,g是G2-极小映射;(2)乘积映射f×g是G-混合映射当且仅当是f是G1-混合映射,g是G2-混合映射.另外链回归点也是动力系统中十分重要的概念,近年来也取得了有意义的研究成果[12−14].文献[12]证明了在紧致度空间中,若映射f具有伪轨跟踪性,则文献[13]证明了在紧致度空间中,若映射f具有周期伪轨跟踪性,则文献[14]在拓扑群作用下的逆极限空间中研究了链回归点,指出移位映射的链回归点集等于自映射在其链回归点集上形成的逆极限空间.笔者在拓扑群作用下的乘积空间中研究了链回归点的拓扑结构,证明了CRG(f×g)=CRG1(f)×CRG2(g).这些结果弥补了拓扑群作用下乘积空间中极小映射、混合映射和链回归点理论的缺失,为它们在今后的应用中提供了理论依据和科学基础.

2 基本概念及记号

定义2.1[15]设X是度量空间,G是拓扑群.若映射ϕ:G×X−→X满足

(1)对任意的x∈X,有ϕ(e,x)=x,其中e为G的单位元;

(2)对任意的x∈X 以及g1,g2∈G,有ϕ(g1,ϕ(g2,x))=ϕ(g1g2,x),则称(X,G,ϕ)是度量G-空间,简称X 是度量G-空间.为了书写方便,通常将ϕ(gx)简写为gx.

下面给出乘积度量G-空间的概念.

定义2.2设(X,d1)是度量G1-空间,(Y,d2)是度量G2-空间,在乘积空间X×Y上定义d((x1,y1),(x2,y2))=max{d1(x1,x2),d2(y1,y2)},则称d是乘积空间X×Y上的度量.

设f:X−→X 连续,g:Y−→Y连续,定义(f×g)(x,y)=(f(x),g(y)),则称f×g是f与g的乘积映射.

取G=G1×G2,易知G是拓扑群,(X×Y,d,G)是度量G-空间,此时称(X×Y,d,G)是(X,d1,G1)和(Y,d2,G2)的乘积度量G-空间.

定义2.3[14]设(X,d)是度量G-空间,f:X −→X 连续,x∈X,称x是f的G-链回归点,如果∀ε>0,∃f作用下的(G,ε)链其中x0=xn=x.f的G-链回归点集用CRG(f)表示．

定义2.4[9]设(X,d)是度量G-空间,f:X −→X 连续,称f是G-混合映射,如果对X 任意非空开集U和V,存在正整数m,存在p∈G,当n>m时,有pfn(U)TV 6=∅.

定义2.5设(X,d)是度量G-空间,f:X −→X 连续,x∈X,称orbG(x,f)为f作用下的G-轨道,如果记orbG(x,f)≡{pfn(x):p∈G,n≥0}.

定义2.6设(X,d)是度量G-空间,f:X −→X 连续,称f是G-极小映射,如果对任意的x∈X,有

3 主要定理

定理3.1设(X,d1)是度量G1-空间,(Y,d2)是度量G2-空间,f:X −→X 连续,g:Y−→Y连续,则f×g是G-极小映射当且仅当是f是G1-极小映射,g是G2-极小映射.

证⇒ 假设f×g是G-极小映射.∀x∈X，∀y∈Y,取z=(x,y),则z∈X ×Y.由f×g是G-极小映射知

设U是X上的任意非空开集,V是Y上的任意非空开集,则U×V是X×Y上的非空开

集,故

又

故

则

因此f是G1-极小映射,g是G2-极小映射.

⇐ 假设f是G1-极小映射,g是G2-极小映射.设U0×V0是X×Y上的任意非空开集,则U0是X 上的非空开集,V0是Y 上的非空开集,∀z0=(x0,y0)∈X×Y,则x0∈X,y0∈Y,由f是G1-极小映射和g是G2-极小映射知

又

故

则

因此f×g是G-极小映射.

定理3.2设(X,d1)是度量G1-空间,(Y,d2)是度量G2-空间,f:X −→X 连续,g:Y−→Y连续,则f×g是G-混合映射当且仅当是f是G1-混合映射,g是G2-混合映射.

证 ⇒ 假设f×g是G-混合映射.∀X 上的任意非空开集U1和V1,∀Y上的任意非空开集U2和V2,易知U1×U2，V1×V2是X×Y上的非空开集.由f×g是G-混合映射知,∃N1∈ N+,∃(p1,p2)∈ G,当n>N1时,有

又

则

故f是G1-混合映射,g是G2-混合映射.

⇐假设f是G1-混合映射,g是G2-混合映射.∀X×Y上的任意非空开集和易知是X 上的非空开集,是Y上的非空开集.由f是G1-混合映射知,∃N2∈ N+，∃t1∈G1,当n>N2时,有

由g是G2-混合映射知,∃N3∈N+，∃t2∈G2,当n>N3时,有

取N4=max{N2,N3},t=(t1,t2)∈G,当n>N4时,有

故

因此f×g是G-混合映射.

定理3.3设(X,d1)是度量G1-空间,(Y,d2)是度量G2-空间,f:X −→X 连续,g:Y−→Y 连续,则CRG(f×g)=CRG1(f)×CRG2(g).

证 ⇒ 先证CRG(f×g)⊆CRG1(f)×CRG2(g).设z=(x,y)∈CRG(f×g),∀ε>0,则存在f×g作用下的(G,ε)链其中zi=(xi,yi),z0=zn=z.故对任意的

因此

又x0=xn=x,y0=yn=y,则x∈CRG1(f)，y∈CRG2(g),故z∈CRG1(f)×CRG2(g).

⇐下证CRG1(f)×CRG2(g)⊆CRG(f×g).设z=(x,y)∈CRG1(f)×CRG2(g),则x∈CRG1(f),y∈CRG2(g).∀η>0,则存在f作用下的(G1,η)链,其中x0=xm=x,存在g作用下的(G2,η)链其中y0=yk=y.取

取

取zi=(xi,yi),ti=则有

又z0=zmk=z,故z∈CRG(f×g).

4 总结

本文受文献[8]和文献[11]研究思路的启发,在拓扑群作用下的乘积空间中介绍了G-极小映射、G-混合映射和G-链回归点的概念,利用乘积映射的性质,研究了乘积映射f×g与分映射f和g在这些动力学性质方面的关系,得到了较好的结果,推广和改进了整数加群Z作用下拓扑空间中有关极小映射、混合映射和链回归点的结果,为其在今后实际的应用中提供了理论依据和科学基础.