有理有据 规范书写 分分必争

陈新合

圆是初中几何中一个简单而完美的图形，拥有诸多特性，它既是一个中心对称图形，又是一个轴对称图形，有无数条对称轴。这些特性使得圆与平行线、三角形、四边形和平面直角坐标系等图形组合形成综合性问题。下面通过两道例题来示范如何规范解决这类问题，希望对同学们有所帮助。

例1 如图1，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC。（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PD=5，求⊙O的直径。

图1

【思路分析】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=30°，再由 AP=AC 得出∠P=30°，继而由∠OAP=∠AOC-∠P=90°，可证得OA⊥PA。

（2）利用含30°角的直角三角形的性质求出OP=2OA，可得出PD=OD=OA，由PD=5可求出⊙O的直径。

【规范解答】证明：（1）如图2，连接OA。

图2

∵∠B=60°，

∴∠AOC=2∠B=120°，（得1分）

又∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=30°，（得1分）

又∵AP=AC，

∴∠P=∠ACP=30°，

∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°，

∴OA⊥PA，（得1分）

∵OA是⊙O的半径，

∴PA是⊙O的切线。（得1分）

解：（2）在Rt△OAP中，

∵∠P=30°，

∴PO=2OA=OD+PD，（得1分）

又∵OA=OD，

∴PD=OA，（得1分）

∵PD=5，

∴2OA=2PD=25，（得1分）

∴⊙O的直径为2 5。（得1分）

【踩点提示】本题考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定及含30°角直角三角形的性质。在解题时，我们要明确证明切线的两种方法：知半径，证垂直；知垂直，证半径。本题已知点A在圆上，连接OA得出半径，选用“知半径，证垂直”方法来证明。在书写解题过程时，我们要注意：①在得出∠OAP=90°时，不能直接得出PA是⊙O的切线，必须要写出OA⊥PA，这一步非常重要，不能省略；②（2）中，所有的解题都是在Rt△OAP中进行的，所以我们在书写时应明确点出来，使得过程规范清晰，有利于自己检查和老师批阅。

例2 如图3，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于点E。求证：（1）DE⊥AE；（2）AE+CE=AB。

图3

【思路分析】（1）连接OD，先根据等腰三角形的性质和角平分线的性质得出∠CAD=∠ODA，从而证得AE∥OD，可知∠E+∠ODE=180°，再由圆的切线性质证得OD⊥DE，可知∠ODE=90°，从而得出∠E=90°，DE⊥AE得证。

（2）根据角平分线与垂直的组合，容易想到过点D作DM⊥AB，交AB于点M，得到关于角平分线性质的基本图形，得出DE=DM，再证明△DAE≌△DAM，由全等三角形的性质可得出AE=AM。根据弦、弧、角之间的关系︵，可︵想到连接CD、DB，由∠CAD=∠OAD可得出C，从而证出CD=BD，结合DE=DM，可证Rt△DCE≌Rt△DBM，根据全等三角形的性质可得CE=BM，结合AB=AM+BM，即可证得AE+CE=AB。【规范解答】证明：如图4。

图4

（1）连接OD，

∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD

∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠OAD。

∴∠CAD=∠ODA。

1.3.1 套管堵塞。套管堵塞相对常见，由于部分治疗肺结核药物需要输注浓度较高，而输液后未能对导管进行彻底清洗，且患者年龄较大，自身合并有一些基础性疾病，导致患者的血管破坏严重，影响液体通畅程度。因此，在治疗过程中，输注部分高浓度、大分子的药物时要减缓输液速度，并进行足够的稀释，输注完成之后立即对导管进行清洗，并选择合适的封管液正确封管，必要时可采取脉冲式封管，最大程度减少导管堵塞情况发生；如导管已经出现堵塞，必须进行回抽，禁止使用注射器进行推注，避免凝固的血栓进入血管引发不良反应。

∴AE∥OD。（得1分）

∴∠E+∠ODE=180°。

∵DE是⊙O的切线，

∴OD⊥DE。

∴∠ODE=90°。（得1分）

∴∠E=90°。

∴DE⊥AE。（得1分）

（2）过点D作DM⊥AB，交AB于点M，连接CD、DB。

∵AD平分∠BAC，

∴DE=DM，∠AED=∠AMD=90°。

在Rt△DAE和Rt△DAM中，

∴△DAE≌△DAM（HL）。（得1分）∴AE=AM。

∴CD=BD。（得1分）

在Rt△DEC和Rt△DMB中，

∴Rt△DEC≌Rt△DMB（HL）。

∴CE=BM。（得1分）

∴AE+CE=AM+BM。

即AE+CE=AB。（得1分）

【踩点提示】解题时要抓住常见图形的组合：由等腰三角形与角平分线可得平行线；由垂直与角平分线组合可得角平分线性质定理；见切点，连半径，得垂直；由圆中弦、弧、角之间的关系，利用等量代换的方法处理线段的和、差问题。在书写过程时，我们要做到有理有据，严格按照定理要求书写，不要跳步和省略步骤，比如：例2中由切线的性质可以得到OD⊥DE，不能因为后面需要∠ODE=90°，而跳过OD⊥DE，直接得出∠ODE=90°。证明三角形全等时需要使用大括号，按顺序写出条件，并在后面注明三角形全等的判定方法，这样使得证明过程条理清晰、简洁美观。