基于RBF神经网络的多移动机械臂同步控制

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(1. 中国石油大学(华东) 化学工程学院,山东 青岛 266580；2. 合肥通用机械研究院有限公司，安徽 合肥 230031)

在现代工业制造过程中，机械臂操作系统已经迅速被开发并得到了广泛应用，例如组装、运输、焊接、喷漆以及其他各种高危高难度的复杂任务[1-2]。这些任务需要大量的操作和很好的可操控性，其中大多数都不能通过一个单独的机械臂来实现。而固定基座机械臂系统的工作空间有一定的局限性，因此，多移动机械臂的应用得到了广泛的关注[3-4]。多移动机械臂系统是一种复杂的强耦合时变系统，具有极强的非线性特征。多个机械臂之间如何协同配合，以及怎样解决两个子系统之间的耦合关系，对其建立统一数学模型并设计同步控制器，成为该系统同步控制问题的关键[5-6]。对于多移动机械臂同步控制问题的研究，国内外的诸多学者近几年已经取得了很大的进展[7]。

林冠楠[8]针对移动机械臂的同步控制问题，将运动解耦、机械臂与移动平台分开进行控制，分别针对两者设计了基于自抗扰技术的同步控制器。Liu等[9]针对机械臂系统的无源化控制，研究了动力学参数不同的机械臂任务空间同步控制方法。方牧等[10]对各移动机械臂在关节空间做了轨迹规划，并设计了基于模型参考的自适应控制器，但当较强的耦合关系存在于多个移动机械臂之间时该控制器并不能获得很好的控制性能。Desai等[11]对移动平台的轨迹进行了规划，为保证末端机械手能够稳定操作物体设计了相应的控制器，但移动机械臂末端机械手对被操作物体所施加作用力的鲁棒性该控制方法无法实现。Sugar等[12]针对多移动机械臂系统设计了基于主从式通信网络的同步控制算法，主动移动机械臂的路径方案和力规划可以依靠自身来完成，从动移动机械臂与主动移动机械臂的运动状态保持一致，对各自期望轨迹的追踪可以通过所设计的控制器来完成。

虽然关于多移动机械臂的同步控制问题到目前为止已经取得了很大进展，但系统不确定性和主动控制力矩的估计等问题并没有得到很好的解决，许多先进控制算法如RBF(radial basis function,径向基函数)神经网络等，未在多移动机械臂系统的同步控制中得到充分的应用。因此，本研究在对多移动机械臂系统动力学特性进行分析的基础上，基于RBF神经网络，设计了一种新的自适应主从同步控制器，解决多移动机械臂系统同步控制的相关问题。

图1 多移动机械臂主从同步控制系统Fig.1 Synchronous control system of multiple mobile manipulators

1 系统描述

1.1 动力学模型

考虑如图1所示的多移动机械臂系统，由一个主动机械臂和n个从动机械臂所构成，且所有机械臂均具有同样的结构和动力学参数，系统模型如图1所示。

在关节空间内，其拉格朗日动力学方程可以表示为：

(1)

消掉微分约束引入的约束力项，多移动机械臂系统动力学方程可化为：

(2)

(3)

1.2 系统同步误差

将主、从动机械臂间的同步误差定义为如下形式：

εi=xi-x0。

(4)

将公式(3)代入并整理可得：

(5)

则本研究的控制任务为：基于RBF神经网络，根据误差方程式(5)，设计一种多移动机械臂系统的同步控制算法，对系统未知项进行估计和补偿，使同步误差最终收敛至零，从而实现多移动机械臂系统的主从同步控制。

2 RBF神经网络主从同步控制器设计

根据已有相关文献可知，RBF神经网络在非线性系统中已获得一定的应用，并且能够对系统非线性进行补偿[13-14]。所以，本研究将利用RBF神经网络对未知状态进行估计，并针对上述机械臂系统，设计一种自适应主从同步控制算法，使得该系统在存在系统不确定性和外界干扰的情况下也可以实现同步运动，完成上节所述的同步控制任务[15]。

图2 RBF神经网络映射关系Fig.2 Mapping relations ofRBF neural network

2.1 径向基函数神经网络

RBF神经网络由输入层、隐层和输出层构成[16]，具有很好的泛化能力，可以使学习速率大幅提升，符合实时控制的条件，并且能够防止局部极小值的出现。

输入向量x与输出y之间的映射关系可以用如下公式来表示：

(6)

其中，l∈Rmr是一个紧集，n*的值可以根据f(x)、ε0合理选择。

图3 基于高斯基函数的隶属度函数Fig.3 Membership function based on gauss function

2.2 从动移动机械臂动力学补偿

矩阵注1：对于矩阵R，其弗罗贝尼乌斯矩阵范数定义为如下形式：

其中，tr(·)表示矩阵的迹。

假设3：神经网络中所有权重系数矩阵均从属于一个大的紧集B(Mθi){θi:θiF≤Mθi}，其中，任意R(Mθi)>0是均为正数。那么：

(7)

定义由RBF神经网络引入的建模误差ηi为：

ηi

建模误差ηi的有限正定常数上界η0i定义为：

η0i

漏电保护器按其保护功能和结构特征分类：漏电保护开关.它由零序电流互感器、漏电脱扣器和主开关组装在一绝缘外壳之中，具有漏电保护及手动通断电路的功能，但不具有过负荷和短路保护的功能.这类产品主要用于住宅，通称漏电开关.漏电断路器.它是在低压断路器的基础上加装漏电保护部件组成，具有漏电保护和过负荷及短路保护的功能.它在家用及类似场所广泛应用.漏电继电器.它由零序电流互感器和继电器组成，具有检测和判断漏电和接地故障的功能，由继电器发出信号，并控制断路器或接触器切断电路.漏电保护插座.它由漏电开关或漏电断路器与插座组合而成，使插座回路连接的设备具有漏电保护功能.

2.3 主动移动机械臂控制力矩估计

假设4：神经网络所有的权重系数都属于一个大的紧集B(Mθ0){θ0:θ0F≤Mθ0}，其中任意R(Mθ0)>0是均为正数。那么：

(8)

定义由RBF神经网络引入的建模误差η0l为：

η0l

2.4 主从同步控制器设计

在前面两节的基础上，基于RBF神经网络的多移动机械臂分布式自适应同步控制器可以设计为如下形式：

τi=τ1+τ2+τ3，

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

在控制器设计中，τi1用来抵消哥氏力和重力；τi2可以消除主从机械臂间的同步误差；τi3可以抵消主动机械臂输入力矩的扰动。

2.5 Lyapunov稳定性分析

将2.4节设计的控制器代入式(5)，可得：

(16)

(17)

定理1在满足假设1～5的条件下，针对公式(1)、(2)所示的多移动机械臂系统，在主从同步控制律(9)～(15)的作用下，通过适当地选取矩阵Q≥0，可以在任意初始状态下，使从动移动机械臂对主动机械臂移动轨迹实现跟踪，且同步误差εi可以收敛至一个小的剩余集。

证明：选择式(18)所示的Lyapunov函数

(18)

将公式(18)两边同时对时间求导可得：

利用文献[18]中的方法对方程进行放缩，可得：

将控制器中自适应律(13)、(14)带入并整理可得：

上述李雅普诺夫函数的微分不等式可整理为：

(19)

3 Matlab仿真验证

选取由5个二连杆机械臂构成的多移动机械臂系统，进行Matlab仿真，验证本研究所提出的主从同步控制律(9)～(15)的稳定性和有效性。其中下标1表示主动机械臂，其余为从动机械臂。

3.1 基本参数设定

机械臂动力学方程如下：

其中，模型不确定性为如下形式：

相关参数设置为：

m0=50 kg，m1=4 kg，m2=3.5 kg，R=0.3 m，d=0.3 m，J0=1.417 kg·m2，

J1=0.03 kg·m2，J2=0.036 kg·m2，r=0.1 m，L1=0.5 m，L2=0.35 m。

主动移动机械臂期望轨迹如下：

xcd=0.2t,ycd=0.2t,

xEd=0.2t,yEd=0.1sin(2t)+0.2t+0.15。

各移动机械臂的初始状态分别设置为：

反馈增益K及自适应律相关参数γ0、γi等分别设置为：

拉普拉斯矩阵L、D以及所选择的正定矩阵Q、常数δ分别设置为：

图4 通讯拓扑结构Fig.4 Communication topology structure

Q=10.267 9×diag(1,1,1,1,1,1,1,1),

δ=0.367 9。

选取如图4中的通讯拓扑结构。其中，信息可以由主动移动机械臂1传递给从动移动机械臂2和4，但无法反向进行传递。

3.2 Matlab仿真结果及分析

在上述研究基础上对此多移动机械臂系统进行Matlab仿真，仿真结果见图5～14。

图5 主动移动机械臂及从动移动机械臂2～5运动轨迹Fig.5 Movement trajectories of leader mobile robot and follower mobile robots 2-5

通过仿真结果图5可以看出，多移动机械臂系统在主从同步控制器(9)～(15)的控制作用下，主动机械臂可以对预定轨迹实现快速跟踪；从动机械臂在初始状态各不相同的情况下，也可以快速对主动机械臂移动轨迹进行跟踪，并且整个系统在达到稳定状态后未再产生较大波动。

图6 各移动平台质心位置Fig.6 Mass center position of each mobile platform

图7 各移动平台方向角Fig.7 Direction angle of each mobile platform

由仿真结果图6～7可以看出，在同步控制器(9)～(15)的控制下，各平台移动轨迹及前进方向角均保持相同，即能够准确使平台间误差收敛到零，从而为多移动机械臂系统实现同步运动提供了保证。

图8 关节1位置变化曲线Fig.8 Position change curve of joint 1

图9 关节2位置变化曲线Fig.9 Position change curve of joint 2

通过仿真结果图8和图9可以看出，在7 s左右时，主动移动机械臂和从动移动机械臂中关节1的位置误差基本渐近收敛到零；在4 s左右时，主、从移动机械臂关节2的位置误差基本渐近收敛到零，且稳定后均不再发生较大波动。在4～7 s之间时，关节1和关节2同步误差共同渐近收敛到零。由仿真结果图10可以看出，在4 s左右时，各移动平台方向的角速度误差能够收敛到零。由图11和图12可知，分别在10 s和8 s左右时，各移动机械臂关节1和关节2处的速度误差均能分别渐近收敛到零。

综合分析仿真结果图11～12可知：通过适当地选择控制器参数，在本研究所设计的主从同步控制算法(9)～(15)的控制作用下，在初始阶段即使存在一定偏差，同理论分析一样，从动移动机械臂的平台方向角速度及二连杆机械臂两个关节的运动速度均能迅速、高精度地同步于主动机械臂，即主、从机械臂之间的速度误差能够收敛到零，且在达到稳定状态之后不再发生较大波动。

通过仿真结果图13～14可知，各移动机械臂的输入力矩均有界。

综合分析仿真结果5～14，可以得到如下结论：在考虑各移动机械臂中移动平台和二连杆机械臂之间交互影响条件下，通过合理设计控制器参数，利用所提出的基于RBF神经网络的主从同步控制算法(9)～(15)，可以抵消主动移动机械臂输入控制力矩的影响，估计从动移动机械臂的建模误差并进行补偿，使各移动机械臂之间同步误差渐近收敛到零，保证多移动机械臂实现同步运动。

图10 各移动平台方向角速度变化曲线Fig.10 Angular velocity curve of each mobile platform

图11 关节1速度变化曲线Fig.11 Velocity change curve of joint 1

图12 关节2速度变化曲线 Fig.12 Velocity change curve of joint 2

图13 主从机械臂二连杆关节驱动力矩Fig.13 Joint driving torque of the two connectingrod of the leader and follower manipulators

图14 主从移动机械臂移动平台左右轮驱动力矩Fig.14 Left and right wheel driving torques of the platforms of the leader and follower manipulators

4 结论

利用RBF神经网络和领导者-追随者通信拓扑的方法，针对多移动机械臂同步控制系统，设计了一种新的分布式自适应主从同步控制算法。主要结论有：

1) 主动移动机械臂和从动移动机械臂之间的同步误差通过领导者-追随者通信拓扑网络结构来进行了定义；

2) 利用RBF神经网络，对从动移动机械臂的模型误差等系统不确定性进行了逼近和补偿，并对主动移动机械臂的控制力矩进行了估计；

3) 所设计的同步控制器可以使同步误差渐进收敛到零，在存在较大初始误差的情况下也能够实现多移动机械臂的同步控制。