例谈模型思想的渗透要点

王强国

【关键词】模型思想；数学化的眼光；一般化的思维；系列化的体例；显现化的方式

【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2019）01-0072-02

张奠宙教授提出，数学模型是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化的数学符号和语言，概括地或近似地表述出来的数学结构。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。”将模型思想融入小学数学教学能提高学生解决实际问题的能力，提升其数学学习兴趣和应用意识。顾泠沅教授按照模型对象的特点，将数学模型分为概念型数学模型、方法型数学模型和结构型数学模型。其中，结构型数学模型在小学数学中应用不多，而概念型数学模型（如三角形、平行、倍数、因数等）与方法型数学模型（如各种公式、方程等）在小学数学中大量存在，这为模型思想的建立提供了可能。考虑到小学生的年龄特征与认知能力，小学阶段模型思想的建立应该以渗透的方式为主。如何渗透呢？笔者结合自己的实践，归纳出以下几个策略，供同行批评指正。

1.数学化的眼光观察。

荷兰数学家弗赖登塔尔说：数学化其实就是从（数学外部的）现实世界到数学内部，从数学内部发展，再到现实世界中（以及应用于其他学科之中）的全过程。数学化的眼光观察主要指教师引导学生从具体的教学情境中准确获取具有建模意义的数学信息，并能运用已有的知识经验进行适度的整理和组织，它是学生实现数学建模不可或缺的能力基础。在小学数学教学中，应该立足不同的学段有意识地逐步培养。比如：苏教版教材中有关“圆”的教学，第一学段，教师重点引导学生从实物中抽象出圆，完成生活问题数学化；第二学段，重点研究圆的特征，以“半径的特征”为例，让学生在画一画、量一量、折一折的基础上观察、思考有什么发现，得出“无数条、都相等”的特征，实现数学内部规律化；认识圆的特征后，可以安排学生解释汽车的车轮为什么设计成圆形而不是正方形、长方形或三角形等，走向数学内容现实化，使学生建立完整的“圆”的概念模型。

2.一般化的思维概括。

一般化的思维概括主要指引导学生从解决一个问题拓展为解决一类问题，并加以推广应用，其中蕴含归纳法的思想，也包含合情推理的成分。教学中，一般化的处理还具有由浅入深、逐步逼近问题本质的意蕴，有助于学生形成初步的模型思想。例如：教学苏教版五上“用字母表示数”，出示：一支钢笔a元，3支这样的钢笔多少元？得出3a元后，教师去除习题，留下“3a”字样，引导学生说说3a还可以表示什么，有学生想到如果每千克苹果a元，那么3千克这样的苹果就是3a元……师生总结：单价×数量=总价。在一般化理念的指引下，可以进一步追问：还可以找到类似的关系式吗？学生想到：速度×时间=路程，工作效率×工作时间=工作总量……

3.系列化的体例强化。

系列化的体例强化主要指当学生建立某一数学模型后，引导他们对抽象出的模型进行适度变式，在比较中强化模型的结构认知，形成网状的知识结构。在教学中，主要有两种方式值得借鉴：一是“多题一解”，如教学苏教版五下“圆的面积”，在学生形成圆的面积算法模型后，教师安排如下一组习题：（1）一个圆，半径为3厘米，它的面积是多少平方厘米？（2）一个圆，直径为4厘米，它的面积是多少平方厘米？（3）一个圆，周长为25.12厘米，它的面积是多少平方厘米？学生在练习过程中会发现，尽管题型有变化，但算法都可以简化为πr2。二是“一题多变”，如“工人师傅铺一段路，前3天平均每天铺160米，后5天平均每天铺180米，一共铺了多少米？”这样的工程问题，可以改为行程问题或购物问题等，学生通过比较会发现，算式不变，数量关系不变，它们都可以用字母表示为两个积的和：a×b+c×d=s。此外，还可以将一道题中的某一个条件与问题置换，形成新的问题情境，在模型运用中强化学生的模型意识。

4.显现化的方式表征。

数学模型无论是思维表征的过程还是形式表征的过程，都需要两个基本的教学过程作支撑。一是从“境”到“型”，通过抽象归纳感悟、理解数学模型的结构化与简约化特征；二是从“型”到“境”，通过演绎结构深化理解数学包容性与应用性的特征。当学生经历了模型建构过程，初步感知或建立了某一数学模型，教师应该适时引导他们用显现化的方式表征出来。表征过程一方面是学生对模型结构的强化与清晰化过程，有助于深化他们对模型的认知；另一方面是学生个性化解读与理解的过程，有利于模型的应用与推广。表征方式主要有两种：一种是用语言表述，让学生在个性化的陈述中实现自主建构；另一种是基于操作的显现化，这里的操作不仅包括动手摆弄实物、比划手势、活动肢体等操作学具的活动，还包括借助符号、文字和图表等数学语言画图、标注、列举等逐步抽象化操作语言的活动。

当然，在学生建立模型思想的过程中，需要我们关注他们已有的生活经验与认知能力，合理地设置教学目标，在培养学生初步建立模型意识、感受用模乐趣的前提下，引领他们经历建模的过程，為他们数学学科素养的提升做出自己的努力。

【参考文献】

[1]储冬生.数学建模：是一种方法，更是一种意识——基于建模思想的小学数学教学举隅[J].江苏教育：小学教学，2011（3）：13-16.

[2]顾泠沅.数学思想方法[M].北京：中央广播电视大学出版社，2004.

（作者单位：江苏省宝应县实验小学）