用高中知识正确理解开普勒第二定律

林棉璇

(广宁县广宁中学,肇庆 广宁 526300)

在高考考试大纲里,万有引力定律及其应用属于二级要求,但是考纲并没有明确开普勒第二定律属于哪一级要求.统计以往高考出卷情况,几乎没有涉及开普勒第二定律的考查,而在平常测试中,开普勒第二定律的最大应用就是比较行星在远日点和近日点的速度大小.按照以往的教学经验,很多教师是直接将开普勒第二定律告诉学生,导致很多学生对此不够重视,不能准确把握开普勒第二定律.受教学深度的限制,学生不能准确理解开普勒第二定律情有可原,但市面上一些教辅资料出现对开普勒第二定律的错误理解和拓展,是误人子弟的大过错.

粤教版高中物理必修2对开普勒第二定律的描述是:“行星和太阳之间的连线,在相等的时间内扫过相同的面积”;人教版高中物理必修2的描述是:“对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积”.比较而言,人教版的描述比粤教版的更明确更到位,而教辅资料对开普勒第二定律的常见错误解读是,[1]认为不同行星与太阳的连线在相同的时间内扫过的面积都是相等的,如图1所示.由此可见,正确理解开普勒第二定律关键在于明确面积是由同一颗行星还是不同行星扫出来的.笔者掌握的文献资料[2]-[4],都是根据角动量守恒、微积分、叉乘等大学知识来推导开普勒第二定律,推导过程即使详尽,推导方法却不适用于高中生,本文避开大学知识,完全利用高中知识,先论证同一颗行星与太阳的连线扫出来的面积关系,再论证不同行星与太阳的连线扫出来的面积关系,从面积关系入手,深入分析开普勒第二定律,以期大家能正确理解开普勒第二定律.

图2

太阳系中的两颗行星(例如地球和海王星)的运动近似看作匀速圆周运动，它们的轨道半径分别为R1和R2，如图2所示.由开普勒第二定律可知，在相同的时间内，地球与太阳的连线扫过的面积S1跟海王星与太阳扫过的面积S2相等，即S1=S2.

图1

1 同一行星与太阳的连线扫过的面积关系

图2

如图2所示,t时刻行星与太阳的连线为r(t),经Δt时间,行星与太阳的连线为r(t+Δt),行星走过的轨迹为曲边Δr=vΔt.t时刻行星速度v与r(t)的夹角为α,当Δt→0,曲边Δr近似为与v共线的直边,则曲边三角形的面积为

(1)

图3

初中学过杠杆定理,接触过力臂和力矩的概念.如图3所示,绕定点O转动的点A所受的力为F,力臂为定点O到力F的垂直距离d=rsinφ,则力矩

M=Fd=Frsinφ.

(2)

整理(2)式,

M=r·Fsinφ=rFy.

(3)

根据牛顿第二定律(或者动量定理),

(4)

联立(3)(4)式

(5)

记ΔL=rmΔvsinα,即L=rmvsinα，则

(6)

根据(5)式,力矩M可以理解为物理量L对时间t的导数,即力矩M等于物理量L的变化率.事实上,物理量L被命名为角动量.

L=rmvsinα=C(C为常数).

(7)

联立(1)(7)式

(8)

在以上证明过程中,将太阳换成地球,将行星换成绕地球旋转的卫星,同理可得,在相等Δt时间内,地球与同一卫星的连线扫过的面积ΔS相等.太阳相对于环绕其运动的行星而言,叫做中心天体,而环绕太阳运动的行星叫做环绕天体.同理,地球相对于环绕其运动的卫星而言,叫做中心天体,而环绕地球运动的卫星叫做环绕天体.因此,开普勒第二定律可以这么表述:同一环绕天体与其所绕的中心天体的连线在相等时间内扫过的面积相等.

2 不同行星与太阳的连线扫过的面积关系

反思以上证明过程,由于太阳对行星的万有引力力矩等于0,得出行星绕太阳运行过程中角动量L是不变的量,然而,结果如表1所示.

表1

从另一个角度思考,因为每一个行星在相等时间内各自扫过的面积保持不变,如果能比较每一个行星各自在一个公转周期内扫过的平均面积大小,反过来就可以比较不同行星在相等时间内扫过的面积大小.

根据开普勒第一定律,所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆,高中学过椭圆面积公式

S=πab.

(9)

根据开普勒第三定律,行星绕太阳公转周期的平方和轨道半长轴的立方成正比，

a3=k2T2，

(10)

其中k2是与环绕天体无关的常数.

联立(9)(10)式,行星在一个公转周期内扫过的平均面积大小

(11)

事实上,行星轨道半长轴a越大,半短轴b也越大,因此,无法简单比较不同行星的在相等时间内扫过的面积大小,除非已知行星

的轨道短轴和长轴.

一般的,如果行星的椭圆轨道接近于圆轨道,可以将行星轨道用圆轨道近似处理.此时a=b=r,代入(11)式

(12)

根据(12)式,在不同圆轨道上的不同行星,轨道半径越大,在相等时间内扫过的面积越大.

图4

对于圆轨道,还有另一种证明方法.如图4所示,在圆轨道上,行星和太阳和连线扫过的图形是扇形,扇形面积公式

(13)

万有引力提供向心力

(14)

联立(13)(14)式整理得出扇形面积

(15)

根据(12)式,在不同圆轨道上的不同行星,轨道半径越大,在相等时间内扫过的面积越大.

综合以上的证明,开普勒第二定律的正确理解是:同一环绕天体与其所绕的中心天体的连线在相等时间内扫过的面积相等;同一中心天体与其不同环绕天体的连线在相等时间内扫过的面积无法比较大小,除非已知环绕天体的轨道短轴和长轴;对于圆轨道,轨道半径越大,在相等时间内,中心天体与环绕天体的连线扫过的面积越大.