优化数学课堂设计，提升学生的数学核心素养

杨 敏

（浙江省杭州市萧山区第十高级中学数学组，浙江 杭州）

问题的缘起

基础教育改革近几年一直在如火如荼地进行，但现阶段的高中数学课堂还存在不少问题。比如，教师总体讲得太多，填鸭式教学，照本宣科；学生参与太少，思考得不多，教师为赶进度也经常忽略学生在课堂上暴露出来的问题；教师不明白教学行为的价值取向，没有精心设计课堂导入，从一开始就没引起学生的注意，课堂例题设计和练习设计常常带有盲目性，设计时没正视学生的差异，也没尊重学生的认知规律。

问题的思考

教学设计是教师在教学目标的指引下，对教学活动进行全面考虑、系统规划与预先策划，并根据实际反馈的信息不断地调整教学活动的过程。教育家布卢姆说：“教授任何一个事物，即在向着终极目标前进时，一面要记住所要达到的最终形态，一面要集中力量走好每一步。”把这一类哲学思考用在研究优化教学过程上，笔者认为：优化就是优势。

基于数学学科核心素养的教学活动应该把握数学的本质，创设合适的教学情景，提出合适的数学问题，引发学生思考与交流，形成和发展数学学科核心素养。笔者是一线教师，就结合自己的教学实际，从三个方面浅谈一下自己如何优化高中数学课堂设计，有效地提升学生的学习效率从而提升学生的数学核心素养。

问题的实践

一、优化课堂引入，提升学生学习数学的兴趣

高中数学给大部分学生的印象是枯燥、难懂，优化数学课堂引入，可以从开始处引起学生学习数学的兴趣。俗话说：“良好的开端是成功的一半。”尤其要重视课堂引入，这样才能先声夺人。

1．创设生动的教学情景，重视章节引入

创设生动的教学情景，精彩的引入是提高课堂教学效率最有效的办法。一个生动的教学情景就是一支兴奋剂，它可以让学生在课堂上兴奋起来，特别是对那些缺乏学习动力的学生来说更有效，可以唤起他们潜在的学习动力。

在学习立体几何之前，学生的思维局限于二维空间中。立体几何与平面几何有不一样的地方，也有类似的地方。如何将学生的思维从二维平面引入三维空间中，在章节起始课时，笔者作了个小小的尝试。

笔者首先问学生一个脑筋急转弯:6根一模一样的火柴棒最多能组成几个全等的三角形？这个问题一抛出去，学生就七嘴八舌讨论开了，2个，3个，4个……经过一番讨论后，有学生说出将火柴棒竖起来在空间中摆，这时笔者拿出一个正四面体的模型，于是很多学生都恍然大悟。

这个例子作为立体几何教学的起始课，让学生感受到：立体几何是建立在平面几何的基础上培养空间想象能力和逻辑思维能力的一门学科，其特点是“空间问题平面化”。立体几何与平面几何既有联系又有区别。为此，在空间概念形成过程中，注意平面几何和立体几何方法和结论的类比联想、归纳演绎，有助于提高学生的综合数学素质。

2.以故事引入课堂，增强趣味性

著名的哲学家康德曾经讲过：“每当理智缺乏可靠论证思路的时候，类比就像一位大师指引我们前进。”我们在教学中不仅要将立体几何教学和平面几何教学类比联系起来，还可以将数学教学和趣味故事类比联系起来，增强数学的趣味性，减少学生学数学的枯燥感。

高中的学生在学习排列组合时感到颇为困难，通常从章头开始就对其极具排斥性，为改变学生的这种心理，不妨从章头引入时讲个小故事，让学生讨论，消除恐惧感。比如可以从宋祖英的歌《辣妹子》讲起，歌词里有这样的语句：“辣妹子从小辣不怕，辣妹子长大不怕辣，辣妹子嫁人怕不辣，吊一串辣椒碰嘴巴，辣妹子从来辣不怕，辣妹子生性不怕辣，辣妹子出门怕不辣……”宋祖英的“不怕辣，辣不怕，怕不辣”歌，像绕口令般，使得学生马上兴趣盎然，其中的三个命题“不怕辣，辣不怕，怕不辣”非常有意思，浅层讲，都是不怕辣的意思，细细想下去，不怕辣的程度越来越高，这时问学生这三个字还有没有别的排法，学生讨论之后就可以得出：不辣怕，辣怕不，怕辣不，发现三个中国汉字经过顺序排列后有六种组合。从这个例子引入使学生容易理解：所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。以小故事优化章头导入语，激起学生对解决此类问题的欲望，带着问题去学习，霎时间枯燥的数学课堂就变得引人入胜了。

二、优化改编书本例题，提升学生的数学素养

例题习题是数学教材的重要组成部分，教材中所选的例题习题都是经过精选、具有一定代表性的，有些还是很典型的。搞好课本例题、习题的剖析教学，特别是对典型的例题、习题还要从多角度挖掘其典型的应有的教学价值，这样不仅能加深学生对数学概念、法则、定理等基础知识的理解和掌握，还能让学生在解题的准确性、灵活性和敏捷性上得到有效的提高。

1．重视课本例题，寻找一题多解

笔者在教向量时，碰到必修4课本中第110页的例2，如图

▱ABCD中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？

除了课本上的解法，教师可以提问学生是否有别的解法。

有学生想到了连结BD，与AC相交于点O，这样CO，BF分别是△BDC的边BD，CD上的中线，这样可以知道T是△BDC的重心，利用重心的性质和平行四边形的性质，学生可以得到同理可以得到于是可以推出于是有结论 AR=RT=TC。

有学生想到△ABT相似于△FTC，相似比为2∶1，于是AT∶TC=2∶1，易得接下来也容易得到AR=RT=TC，这个学生整个思路就没用到向量，用的是初中里的相似三角形的性质。这里也很值得表扬。

在这个基础上，教师引导学生再想想有没有别的思路，提问“利用2∶1的比值还可以有别的解法吗？”略微思考后有学生想到然后根据平面向量基本定理，又因为共线共线，于是可以得到然后也可以推出结论。

通过这题的一题多解，使得学生对平面向量的基本定理、向量的加法、向量的数乘等知识融会贯通，举一反三，思维也得到了很好的锻炼。

2．结合课本例题进行改编，设计问题串揭示问题本质

数学课堂中例题的优化，除了举一反三，也可以结合课本例题设计问题链或者问题串之类的变式题，从易到难，从特殊推到一般，揭示本质，通过精心设计问题，促使学生能思考，教会学生思维方法。

在上向量章节复习课时，结合必修4中89页的例7与99页的例8，笔者设计了这样一道例题。△ABC中，AB=2，AC=4，∠BAC=60°，D 为 BC 中点。（1）求（2）求

这里的第一小题，设计的目的是让学生复习向量的数量积的定义，比较简单，一般学生不会出现问题。对于这里的第二小题，学生的解法就比较多了。有学生用向量加法的平行四边形法则得到用向量减法的三角形法则可以得到然后求数量积就比较容易了。也有学生想到用D为BC中点去解题。由于用向量减法可得然后将这个式子两边平方整理后可得移项之后可以得到随即答案也就出来了。

本来例题设计到这里，应该结束了，但是这样就是纯粹做题，于是笔者又在课堂上抛出第三问：如果 D 为外心，那么为多少？由于刚才学生做出了两种方法。用知识迁移的方法，将第二种方法类似地运用，由于 D 为外心，于是然后用向量减法可得然后将这个式子两边平方整理也可得移项之后可以得发现答案还是不变的。这时教师再抛出第四问：D点满足什么条件时，有这时学生自己可以推出结论。这样结合课本例题优化的习题，设计四问，层层深入，环环相扣，问题串的由浅入深，使得学生在不同的思维层次上得到较好的锻炼。

“问题串”教学法就是围绕探究目标，通过设置一系列有针对性的问题引导学生反应，教师在识别学生反应的基础上，采取有效指导，促进学生不断达成探究目标的一种有效方法。老师在创设问题时必须要做到阶梯性，问题要有序地提出，并要在问题的提出过程中做到逐步的深入。

三、优化练习，注重知识的融合渗透

有时候我们经常感叹学生思维的灵敏性，但是有时候学生在课堂上的想法因为时间的局限性并不成熟，这时候就需要老师引导学生自己再深入思考。回想以前的课堂教学中，对学生完成的学习任务，我总是想方设法使之不出一点差错，即使是一些容易产生典型错误的稍难问题，我也有“高招”使学生按我设计的方法顺利解决。在课堂上学生不出差错，这是我认为的完美的课堂教学。然而如今，新课程理念下，我才深深感悟到：在掩盖错误以及纠错的过程中，实际是忽视了教学中的陷阱,造成学生上课一听就懂、课后一做就错的不良后果,从而成为教学中的误区。

对于学生在课堂上发现的新情况，教师要能及时捕捉，而且不能急着去解释、下定论，而要把问题抛还给学生，把学生的发现作为一种教育生成资源，引导他们从正反不同角度去修正、分析、反驳，在争论中“言之有理”，在争论中内化知识。

在学到必修2的“圆与方程”这一章时，笔者设计了一道课堂练习：已知点 P（3，4），圆 C：x2+y2+2x+3y=0，过 P 作圆 C 的一条切线，切点为A，问PA长多少？这是道很简单的题目，常规解法如下：

PC2=在直角△PAC中可用勾股定理算出

笔者刚在课堂上讲完这题的时候，下面马上有学生说：“老师，把 P（3，4）直接代入 x2+y2+2x+3y，算得的答案是 43，再开方就是所得答案了，好像这样也可以。”笔者就问学生：“这样代入算得的答案正确是巧合还是真的方法上也行得通？”学生在略微思考之后就得出以下结论：将这个圆的一般方程化成标准方程就是移项之后得到将 P（3，4）代入的时候表示的就是就是圆的半径AC的平方，在直角△PAC中用勾股定理就可以知道代入之后左边的式子就是PA2，那么开平方之后就是切线PA的长度了。所以可以很自然地推出下列结论：若已知圆外一点P（m，n），圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，过点 P 作圆的切线，切点为A，将点P代入左边的式子得到的m2+n2+Dm+En+F就表示切线段PA的长度的平方。

本来到这里就可以结束此题了，不过此时笔者又抛出了一个问题：若P（m，n）在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的内部，那同学们又可以得到什么结论？按照上面的思路，最后发现（m-a）2+（n-b）2-r2表示垂径一半平方的相反数。

对这样简单的一道课堂练习，通过学生发生的问题来巧妙地设计接下来的几问，这样的优化使得学生对所学的知识进行了很好的运用，也激发了他们对学习的兴趣。

学生在学习中有新发现是不足为怪的，面对新的想法，如果教师为了完成进度一味采用避而弃之或反复强调的方法，都不能达到教学目的。相反，对于学生的回答，教师也不要过早地作出评价，应留给学生思考的时间，让学生在反馈中纠正自己的想法。学生将潜在的想法呈现出来，再引导他们比较、思辨，这样不仅能让学生明确新情况产生的原因，知道改正的方法，也可以帮助学生从对新发现的反思中提高自己对错误的判别能力。

无独有偶，在讲到圆与圆的位置关系的时候，有这么一道习题也引起学生的兴趣。已知圆C1：x2+y2+4x+1=0和圆C2：x2+y2+2x+2y+1=0，则以圆C1与圆C2的公共弦为直径的圆的方程是什么？大部分学生是这样解题的：

但是当笔者讲完这个常规方法后，有学生说这题也可以用圆系方程来解，由于学生提出来了，于是笔者就顺着学生的思路往下讲解。其中有个学生是这样说的：设所求圆为x2+y2+4x+1+λ（x2+y2+2x+2y+1）=0，λ≠-1，整理之后化成圆的一般式为可得圆心为由于圆心在公共弦方程x-y=0，于是有此时λ无解，所以学生说这题用圆系方程解不出来。其实这题理论上是可以用圆系方程来解的，学生整个思路和计算都没错，但是问题出现在哪里呢？全班同学都困惑了，于是笔者提出将圆系方程设为学生之后整理成一般式圆心为代入公共弦方程x-y=0，得到解得m=0，发现这样解出来的方程刚好是x2+y2+2x+2y+1=0，与圆C2是同一个圆。然后再回去看λ无解的那种解法，发现λ无解时其实就是圆x2+y2+2x+2y+1=0，因为这个圆是无法用x2+y2+4x+1+λ（x2+y2+2x+2y+1）=0这个式子来表示的，这样深入探讨之后使得学生对圆系方程的认识就更深刻了。由于这题是学生自己发现问题，在笔者引导之下还是自己解决了这个问题，虽然在课堂上花费了一定的时间，但是收到的效果却出奇的好，而且由于是他们自己发现的问题，整个探索过程中学生的注意力都很集中，效果比单纯的讲解要好得多。

因此，在课堂教学中，面对学生的发现，我总是努力创设情境，推动学生不断尝试，让学生自己探索，让学生“欲罢不能”，让课堂更具魅力！

在讲完直线与圆的知识后，笔者在习题课上精心设计了这样一道题目：已知 x，y 是实数，且 x2+y2-4x-6y+12=0，求：（1）x2+y2的最值；（2）x-y 的最值；所求圆的最值。对于这题，第一小问可以将x2+y2看作是（x，y）与原点的距离的平方，对于第二小问可以用线性规划的知识来求解，也可以用三角代换来解决，对于第三小问可以看作是（x，y）与原点的连线的斜率。在章节结束时，设计这样一道题目，可以对前面的知识进行很好的回顾，提起学生的兴趣，激发学生学习数学的热情。

问题的反思

总之，教学过程最优化不是某种特殊的教学方法与方式，而是根据一定的目的组织教学过程的方法。这一方法要求统一研究教学原则、所学课程的内容特点，可能采取的一整套教学形式和方法，所教班级的特征和学生学习的实际可能性，并在对全部的资料进行系统分析的基础上，选择对该具体条件来说教学过程的最优方案。只有当教师不仅掌握了教学过程的全部成分本身，而且掌握了选择有利于现有条件的教学过程结构的技能，并在考虑班级和每个学生条件的基础上，才能实现教学过程的最优化，从而减轻学生的负担，提高课堂效益，提升学生的数学核心素养。