拓展思维 一题多解

黄玉梅

(绵阳师范学院数理学院,四川 绵阳 621000)

在高中物理教学中,如果教师有意识引导学生对一道题目从不同的角度进行解读,不仅可以有效提高习题教学的效率,同时可以帮助学生更全面和深入地理解题目,特别是可以让学生打破固有思维,综合应用所学的物理知识,灵活地处理物理题目中给出的相关信息．

1 “一题多解”的多解源于对物理题目的多角度解读

在物理学科中,“一题多解”是指针对同一道题目,不局限于一种分析方法,而是建立不同的物理模型或从不同的角度进行分析,应用不同的物理知识或者解题技巧进行解答．需要注意的是,东拼西凑找到“多种解”并不是一题多解的初衷,一题多解,应该是建立在真正理解题意、全面理解物理模型的基础上．

在指导物理师范生进行见习时,发现无论是学生还是一些已经有多年授课经验的教师,常常会陷入一种倾向,就是对物理题目的讲解应试性目的太强,“一题多解”时更注重“巧解”,甚至把物理问题简化处理为纯数学问题,强调用数学技巧进行处理,这对于应试可能是有效的,但是对于学生理解物理知识却容易产生不利影响．过分追求奇思妙解,会模糊掉题目本身的物理本质,教师应该做的是从题目中分析隐含的物理信息,建立不同的物理图像来进行处理,以达到真正提高自身综合运用物理知识能力的目的,从而有效传递给学生正确的物理思维．

2 一道多角度解读的典型例题分析

图1

在处理物理例习题或者试题时,经常采用图像法、隔离法、整体法等方法,无论是哪一种方法都是和题目本身的物理内涵相关的．如下面给出的题目就有多种解法,不同的解法是源自于从不同角度分析题目的结果,反映出多解是因为题目本身具有丰富的物理内涵．

题目.如图1所示,两个带有同种电荷的小球,用绝缘细线悬挂于O点,若q1>q2,l1>l2,平衡时两球到过O点的竖直线的距离相等,则

(A)m1>m2.

(B)m1=m2.

(C)m1

(D) 无法确定.

答案:选(B)．

解析:如图2作受力分析,m1受重力m1g、q2对q1的电场力F21和细线的拉力T1;m2受重力m2g、q1对q2的电场力F12和细线的拉力T2．因为F21和F12是一对作用力和反作用力,因此大小相等、方向相反且在同一条直线上,q1>q2对此结论并无影响．对两个带电小球来说,平衡是指所受细线拉力、重力和电场力的3力平衡．

图2

方法1:“隔离法”,利用质点受力平衡以及力的合成与分解.

由上面的分析可知该题目可以视为典型的“受力平衡”题,一般对这类题目的传统做法是用“隔离法”对两个小球分别做受力分析,将拉力和电场力进行水平方向和竖直方向上的分解,在平衡时可得如下关系.

对m1:

T1cosα1=m1g+F21sinθ，

(1)

T1sinα1=F21cosθ.

(2)

对m2:

T2cosα2+F12sinθ=m2g.

(3)

T2sinα2=F21cosθ.

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

F21=F12=F.

(9)

由(1)-(4),(9)式可得

(10)

(11)

由(5)-(8),(10)-(11)式可得

该做法物理图像明晰,也是学生最容易想到的方法．弊端也是明显的,那就是两个质点各自受3个力并平衡,且满足题设的几何关系,因此最后需要联立9个方程式进行求解,对数学公式的变形和计算要求较高．如果学生采用这种做法,反映了学生思维稍欠灵活,见到质点受力必用“隔离法”分析的思维定势比较明显．特别是该题目是一道选择题,采用这一做法费时费力,且容易出错．不过,在平时做练习时,这种方法能够强化学生对力的合成与分解以及共点力平衡知识点的掌握,而且这种方法还能得到更多的信息,例如在几何尺度给定的情况下,可以给出质量m、拉力T1、拉力T2与电场力F之间的确切关系．

方法2:“几何法”,利用力的矢量叠加性和相似三角形的几何特点.

图3

该题目中,任何一个质点的3力平衡可以视为是所受电场力和重力的合力与细线施加的拉力平衡．而力是矢量,满足矢量叠加性,因而无论是采用平行四边形法则还是三角形法则,都可以把受力情况用几何图形表示,力的大小和方向也会相应地满足几何关系,“几何法”自然也就适用了．如图3所示，用AH、AB、AC分别表示m1所受重力m1g、q2对q1的电场力F21和二力的合力大小;用DF、DI、DE表示m2所受重力m2g、q1对q2的电场力F12和二力的合力大小．F21和F12是一对作用力和反作用力,因此F21=F12,即DI=AB,则根据几何关系可知:ΔOGA与ΔAHC是相似三角形,ΔODG与ΔDEF是相似三角形,则可得

当然,也可以采用△OGA与△CBA、△ODG与△EDI这一组相似三角形．

这种方法强调力的矢量叠加性,将矢量相加的几何法则联系到数学中的几何关系,避开了繁琐的计算过程,能够比较准确迅速地得到结果.该方法综合性较强,不仅要求学生对矢量叠加比较熟悉,头脑中能有效建立力的合成的物理图像,还要能够灵活结合几何知识找到关联．

方法3:力矩平衡法.

上面的两种方法虽然不同,但都是基于将题目处理为质点受力平衡的情况来分析的,物理模型并没有本质的差异．进一步的分析可以发现,该题目还可以视为是两质点关于悬挂点O无旋转(即所受力矩平衡)的情况,这样又有两种做法.

图4

(1) “隔离法”对两个带电小球分别讨论对O点的力矩平衡．如图4所示,对O点而言,质点所受拉力过O点,因此拉力的力矩为0;重力的力臂都为d,电场力的力臂为O点到m1、m2连线的垂线段l,因为F21=F12=F,则

对m1∶m1g·d=F·l； 对m2∶m2g·d=F·l.

因此,容易得到m1=m2．

(2) 将两个小球视为一个整体,整个体系对O点无旋转,即所受力矩平衡,即合力矩为0．电场力是一对作用力与反作用力,在整个体系可被视为内力,对任何参考点而言,体系的内力对合力矩没有贡献．

则体系所受的合力矩只能由外力(所受的拉力和重力)提供,被称为之合外力矩．因细线施加的拉力关于O点的力矩为0;则平衡时体系对O点的合外力矩为m1g·d-m2g·d=0,因此可得m1=m2．

这类方法把研究对象处理为力矩平衡的模型,不仅没有繁冗的公式推导,而且形式非常清晰简洁,物理图像也十分明晰．学生在面对这类题目时,不要局限于共点力平衡的物理图像,而应从共点力平衡的思维定势中脱离出来,结合学过的对固定点力矩平衡的相关知识建立新的物理图像．

方法4:“悬挂”找重心法.

同样基于整体法的考虑,题目的图像是将两个小球用细线悬挂于同一点,小球之间的电场力是作用力与反作用力,在两小球构成的整体体系中可以处理为内力,这就能够类比于“悬挂体问题”．形象地说可以设想两小球之间用一轻质细杆或轻质弹簧(即质量忽略不计)连接起来,则该体系的重心(其实是质心,但在尺度不大的情况下,可认为两心重合)应该在m1和m2连线上．结合“悬挂法”找物体重心的方法,当体系被悬挂于O点时,重心应该在过O点的竖直线上,则m1和m2连线与过O点的竖直线的交点就是重心．如图4由几何关系可知,该交点位置恰平分m1和m2连线,即重心在m1和m2连线的中点处,可得m1=m2．

该方法更加强调“整体法”,在分析题目时,主要是利用电场力的特点,把两小球看作整体,题目的物理模型就可处理为一个被悬挂在O点的物体．从日常的习题教学中发现,学生对把两个小球作为一个整体来考虑不太熟悉;特别在力学问题的分析中,“隔离法”更为常见,“整体法”用得反而不多．但是对于很多问题来说,用整体法可以在分析中不考虑一些物理量,有效简化解题过程．

3 总结

从上述这道结合电场力的力学题目,能看到一题多解的解法并不是简单的数学变形,都是出自于对题目本身隐含信息的不同解读．如解读题目为质点受力平衡,那么用力的合成与分解列算式解答是合理的;解读题目为力的矢量叠加,那么结合几何法也是可行的;解读题目为质点对固定点无旋转,那么用力矩平衡来完成是适当的;解读题目为被悬挂的体系,那么借助重心的相关知识处理是有道理的．在高中物理教学中,教师可以讲解一些类似的习题,引导学生在日常练习中经常对题目进行多角度的分析,这样可以让学生充分回顾并运用已经学过的物理知识,深刻理解题目中的丰富信息,这样就能更加有效地建立物理图像和掌握物理思维方法．