内外压力作用下复合材料夹芯圆柱壳的屈曲及面芯分层扩展研究

李泽成 ，吴 健 ，王纬波

（1.中国船舶科学研究中心 船舶振动噪声重点实验室，江苏 无锡214082；2.江苏省绿色船舶重点实验室，江苏 无锡 214082）

0 引 言

我国的潜艇广泛采用双壳的结构形式，这种潜艇在耐压船体之外有一层非耐压船体—轻外壳，轻外壳可以做成良好的流线型，从而减小水下航行阻力。潜艇耐压船体一般采用环肋圆柱壳的结构形式，耐压船体前后还采用环肋锥壳或半球壳等结构。相较于耐压壳而言，轻外壳一般比较薄。轻外壳直接浸入海水中，受到波浪冲击、水面漂浮物的碰撞以及停靠码头时相互碰撞，容易锈蚀及变形，需要经常维修保养及修理。若潜艇的轻外壳采用拆卸式复合材料夹芯结构，则复合材料结构的轻外壳比金属材料的轻外壳具有更好的耐腐蚀和易维修等特性。在满足同样强度要求下，轻外壳的重量有可能降低，因此复合材料结构在潜艇轻外壳上具有广阔的应用前景。

对于传统的钢制潜艇轻外壳，由于承受内外等压作用，而且轻外壳比较薄，因此不存在稳定性问题，其强度也非重点考虑对象。然而对于厚度比较大的复合材料夹芯圆柱壳这种特定结构而言，内、外表面的内径差使得内、外表面的压力不等，由于压力使得圆柱壳外侧部分受压，内侧部分受拉，这有可能导致复合材料夹芯圆柱壳发生外面板褶皱屈曲（face sheet wrinkling）。而且瑕疵或者缺陷对夹芯结构的稳定性影响较大，常见的一种缺陷就是面板和芯体之间分层，即裂纹发生在面板和芯体的界面。它有可能是在制造过程中产生，也有可能是在夹芯结构服役过程中受到外来物的低速冲击产生，而且一般很难从夹芯结构的表面观察到。然而它将会使得夹芯结构的强度和刚度下降，导致夹芯结构在未达到预定设计载荷前发生破坏或者失稳。同时，当载荷达到一定程度时，分层将会发生扩展，最终使结构失效。

对于简单的夹芯板壳结构已经研究得比较深入了，圆柱壳夹芯结构基本上是研究在轴向压缩作用下的屈曲和后屈曲。Hadi[1]分别用基于能量理论与Raleigh－Ritz法的解析法和基于Reissner-Mindlin理论的有限元法两种方法研究了压缩载荷下柱状夹芯结构的对称与反对称面板褶皱屈曲，结果与实验吻合良好。Gdoutos等[2]对压缩载荷下的柱状夹芯体、三点和四点弯曲载荷下的夹芯梁和端部压缩载荷下的悬臂夹芯梁等各种情况下面板褶皱屈曲做了大量的实验研究，提出了一种修正的Hoff和Mautner表达式。Dafedar等[3]提出了一种混合、高阶解析方程列式，用来研究任意铺层顺序下复合材料层合面板和层合芯体的夹芯平板稳定性（整体屈曲和面板褶皱），所得结果与三维弹性理论解以及实验结果吻合，并指出了等效单层理论方法在分析该问题时的不足。Kuhhorn等[4]在自己以前的工作基础上，提出了一种考虑芯体翘曲的八个自由度的夹芯板壳理论，并分析了压缩载荷下夹芯平板的对称与反对称面板褶皱。Skvortsov等[5]用解析法研究了多种面内组合载荷下复合材料夹芯曲壳的非对称和反对称面板褶皱屈曲，在本构关系、几何形状和载荷取极限状态下结果与以前学者所得结果相符。Pokharel等[6]用有限元法和实验手段研究了压缩载荷作用下含有筋条的夹芯板的面板褶皱屈曲，讨论了不同筋高和筋间距对结构面板褶皱屈曲的影响。潘光等[7]用非线性数值分析方法对外部压力作用下复合材料圆柱壳体的水下屈曲行为进行研究，首先引起纤维的微观屈曲使基体产生剪切变形，然后发生壳体整体变形。Goswami等[8]用虚裂纹闭合技术（VCCT）计算分层前缘的能量释放率，在ABAQUS平台上研究了在横向载荷作用下含面板芯体分层的夹芯结构的Ⅰ型和Ⅱ型能量释放率随着芯体弹性模量、面板厚度等参数的变化情况。张彤彤[9]通过虚拟裂纹闭合法建立模型来模拟塑性钢板的破坏过程，提出了CFRP加固含裂纹钢板加固量的计算方法。陈悦等[10]基于非线性RIKS算法，建立了轴压作用下含预裂缝复合材料圆柱壳极限承载能力计算模型，预测结构渐进破坏模式及极限载荷。

然而，对于潜艇夹芯轻外壳，其载荷形式为内、外表面承受大小相等的压强（内外等压），在这特定载荷形式下的稳定性及分层扩展方面的研究还未见公开文献报道。因此本文以圆柱壳夹芯结构为对象，用有限元法研究其在内外等压载荷作用下的稳定性及分层扩展。

1 基本理论

1.1 屈曲分析有限元列式

根据稳定性理论和最小势能原理可以得到在小变形情况下屈曲前平衡方程和屈曲平衡方程为[11]：

式中：［KL］为结构线性总体刚度阵；［Kσ］为结构的几何刚度阵；｛u｝为节点位移向量；｛P｝为外载荷向量；λ是比例因子。

求解小变形情况下的屈曲控制方程是一个典型的特征值问题，本文采用Lanczos法[11]求解其特征值及其对应的特征向量，即求解夹芯结构的屈曲临界载荷及其对应的屈曲模态。

1.2 分层扩展准则

本文采用总能量释放率准则（G准则）作为分层扩展准则[12]，认为当裂纹扩展所释放出来的应变能等于或大于裂纹扩展所需要的能量时，裂纹将失稳扩展。G准则表达式为

式中：Gc为极限总能量释放率；G为应变能释放率。将上式两端同时乘以裂纹面积A，得

式中：Uc为裂纹扩展所需要的能量；ΔU为裂纹扩展所释放出来的应变能。

本文先对面板和芯体之间含有分层的夹芯结构进行静力分析，得出其应变能U1。然后假定分层扩展了一个小量长度，再对其进行静力分析，得出其应变能U2。则裂纹扩展所释放的应变能ΔU为

2 无损伤夹芯圆柱壳屈曲分析

2.1 单元选择和考证

本文的数值计算是在大型通用有限元计算分析软件ABAQUS平台上实现的。根据分析模型的特性，可以作为平面应变问题来分析，故选取CPE8R单元，它是八节点、二次四边形平面应变单元，且采用减缩积分。

以单一材料圆柱壳在外压作用下的稳定性为例来验证该单元的有效性。设圆柱壳内径7 m，厚度80 mm，承受均匀外压作用。材料的弹性模量为15.502 GPa，泊松比为0.14。则其各阶屈曲临界力[13]为

式中：n＝2，3，4，……，为半波个数；E为材料弹性模量；h为圆柱壳厚度；ν为材料泊松比；R为环截面中心线的半径。

在ABAQUS建模，选取CPE8R单元，划分网格为1×360，即径向划分1个单元，环向划分360个单元，选取Lanczos法求解前十阶特征值。本文还在ANSYS平台上求解了该问题，选取PLANE183单元，也是八节点平面应变单元，网格剖分完全与ABAQUS相同。计算结果见表1。

从表1可以明显看出，ABAQUS和ANSYS得出的数值解是一致的，而且它们的数值解与解析解十分吻合。

表1 均匀外压作用下圆柱壳各阶屈曲临界力的数值解与解析解比较Tab.1 Comparison of analytical solutions and numerical results for critical buckling stress of the cylindrical shells under uniform exterior pressure

2.2 结构模型

芯体材料常数：Ec＝270 MPa，νc＝0.3。面板材料常数：Ef＝15.502 GPa，νf＝0.14。圆柱壳内径 7 m，芯体厚60 mm，设计三种夹芯结构：

（1） 内面板厚度为tf i＝4 mm，外面板厚度为tfo＝6 mm，记为 Model 1；

（2） 内面板厚度为tf i＝10 mm，外面板厚度为tfo＝10 mm，记为 Model 2；

（3） 内面板厚度为tf i＝6 mm，外面板厚度为tfo＝6 mm，记为 Model 3。

圆柱壳的内、外表面承受相同大小的均布压力。

2.3 有限元网格疏密的影响

对Model 1，面板和芯体环向均匀划分1 440个单元，内、外面板径向划分一个二阶单元，讨论芯体径向单元个数对屈曲临界力的影响。此时夹芯圆柱壳的屈曲模式为外面板褶皱（face sheet wrinkling），如图1所示，这是夹芯结构特有的一种屈曲行为。该种外面板的屈曲行为显然与芯体相关，因此需要一定数量的单元来模拟芯体。结果（见图2）表明，芯体径向至少需要划分3个二阶单元才能满足精度要求。本文在下面的数值计算中，各个分析模型的芯体径向单元个数取为芯体厚度与外面板厚度的比值。

图1 外面板褶皱屈曲（整个圆柱壳的一小部分）Fig.1 Wrinkling of exterior skin(on the exterior part of the cylindrical shell)

还是对Model 1，内、外面板径向划分一个单元，芯体径向均匀划分10个单元，研究芯体和面板环向单元个数对屈曲临界力的影响，结果如图3。当环向划分360个单元时，单元最大边长约为60 mm，最小边长为4 mm（即内面板厚度），两者比值约等于15，大于单元临界边长比值10，因此所得的屈曲临界力是不够精确的。当环向划分540个单元时，单元边长比值刚好等于临界值10，因此环向至少需要划分720个单元。本文在后面的数值计算中，每个模型环向均划分1 440个单元。

图2 屈曲临界力随芯体径向单元数量变化曲线Fig.2 Critical buckling stress versus core’s element number in radial direction

图3 屈曲临界力随芯体和面板环向单元数量变化曲线Fig.3 Critical buckling stress versus the core’s and shell’s element number in circumferential direction

2.4 芯体弹性模量的影响

对Models 1-3，假定芯体的弹性模量变化，研究其对结构稳定性的影响。由图4可见，总体来看选择高模量的芯体，夹芯结构的稳定性也随着增强。由于Model 2的内、外面板厚度相对于芯体来说比较厚，图中屈曲临界力曲线是随着芯体弹性模量的增加而线性上升的。而Model 1和Model 3的面板厚度相对比较薄，所以临界力曲线不是线性递增的，而是上升速度逐渐变缓。

2.5 芯体泊松比的影响

由于芯体采用的是泡沫材料，它并不是严格的线弹性材料，而特征值屈曲分析要求材料是线弹性材料，所以本小节研究芯体泊松比对结构稳定性的敏感性，即除了芯体泊松比外，其余数值与2.2节相同。结果见图5。屈曲临界力随着泊松比的增大而增大，且影响程度越来越剧烈。当泊松比小于0.2时，影响不大；但是当泊松比从0.3变化到0.4时，屈曲临界力增加了约70%。

图4 芯体弹性模量对屈曲临界力的影响曲线Fig.4 The effect of core’s elastic modulus on critical buckling stress

图5 内外等压下芯体泊松比对屈曲临界力的影响曲线Fig.5 The effect of poisson’s ratio on critical buckling stress under identical interior and exterior pressure

由于查找不到相关文献对芯体泊松比的讨论，本文在只加外压的情况下再次对三个模型进行了研究，结果见图6。发现此时三个模型芯体泊松比对结构稳定性的影响可以忽略不计，与通常情形相吻合，从而确认本文正确地数值模拟了夹芯结构的稳定性。因此，在受内外等压作用时，芯体泊松比确实对结构稳定性影响比较大。

图6 单独外压下芯体泊松比对屈曲临界力的影响曲线Fig.6 The effect of Poisson’s ratio on critical buckling stress under exterior pressure

图7 芯体与外面板厚度比值对屈曲临界力的影响曲线Fig.7 The effect of core to exterior skin thickness ratio on critical buckling stress

2.6 芯体与面板厚度之比的影响

本小节里芯体厚度是变化的，其余参数不变。由于Model 1的内、外面板厚度不相等，为简单起见，这里指芯体与外面板厚度之比，即芯体的厚度是随着与外面板厚度的比值而变化的，结果如图7所示。当比值小于5时，三个模型发生的结构整体失稳，屈曲临界力相差不大。随着比值的继续增大，三个模型发生了局部失稳--外面板褶皱，且屈曲临界力逐步下降，这是因为从整体失稳过渡到局部失稳时，外面板的褶皱变形对内面板和芯体是有影响的，随着比值的增大，影响逐步减小，使得结构的稳定性逐步只由外面板的刚度来承担。如果单独从稳定性方面考虑，对于本文给定的材料常数，设计时取芯体厚度与外面板厚度的比值为5或者6最佳。

2.7 圆柱壳内径大小的影响

图8 夹芯圆柱壳内径对屈曲临界力的影响曲线Fig.8 The effect of the sandwich cylinder’s interior radius on critical buckling stress

对于Models 1-3，假设夹芯圆柱壳的内径大小是变化的，而其它参数保持不变，研究圆柱壳内径大小对结构屈曲临界力的影响。从计算结果图8可以看出，当圆柱壳内径小于3 m时，结构的稳定性随着内径的增大而显著提高，而且Model 1和Model 3的屈曲临界力曲线在内径较小时是基本重合的，这是因为此时的屈曲模式仅仅是外面板的褶皱屈曲，且外面板的褶皱行为未影响到内面板。随着圆柱壳内径的进一步增大，屈曲临界力的变化逐渐变缓，即此时圆柱壳内径的大小对屈曲临界力影响很小，这正是面板褶皱屈曲的重要特性。

3 含面板/芯体分层损伤夹芯圆柱壳的分层扩展分析

潜艇在入水及服役过程中，极有可能会由于低速碰撞而引起面板和芯体之间的分层，这种分层的存在将会大大降低结构的稳定性，而且分层在一定潜深时可能会扩展。本节将研究内外等压作用下含面芯分层损伤的夹芯圆柱壳的分层扩展行为。

3.1 Griffith裂纹能量释放率考题

考虑Griffith裂纹问题（即无限大平板带有穿透板厚的中心裂纹，且受到无穷远处的单向均匀拉伸的裂纹问题），则平面应变状态下Griffith裂纹的能量释放率[9]为：

式中：σ是无穷远处的均匀拉伸应力，E是弹性模量，a是Griffith裂纹长度的一半。

在ABAQUS上建模，拉力取20 N/m，矩形板沿拉力方向长1 m，与拉力方向垂直的长度为0.84 m，中心裂纹长度2a＝0.04 m，厚度L=1 m，仍然选取CPE8R单元，每个单元边长为0.01 m，进行静力分析得到扩展前应变能U1及假定裂纹沿两端同时扩展δ＝0.001 m后的应变能U2，则能量释放率为：

经计算得Ganalytical＝1 589 J/m2，Gfinite＝1 453 J/m2，有限元法与解析解误差为8.6%，两者基本吻合。事实上，用该方法所得的能量释放率的精确表达式为：

即δ应该是趋近于零的一个无穷小量，而在有限元法中只能尽量取一小值，因此这是造成有限元法和解析解误差的最主要因素。而且目前只对裂纹划分了4个单元，若进行网格加密对裂纹划分16个单元，则误差可降低到4.1%。同时预计若采用奇异元将使得误差进一步减小。

3.2 面/芯分层损伤夹芯圆柱壳的分层扩展

假定三个模型在外面板与芯体之间有一定长度的分层，本节研究分层开始扩展所需的载荷。极限总能量释放率Gc＝8 000 J/m2，如果分层同时沿两端同时扩展δ＝0.01°（0.622 mm），则分层扩展所需要的能量

式中：L是圆柱壳长度，本文用的是平面应变单元，故L=1 m；第一个2指分层沿两端同时扩展；第二个2指分层扩展δ时，外面板和芯体两部分同时脱开。

在ABAQUS平台上建立模型，网格划分原则与前面相同，即环向1°划分4个单元，内面板和外面板各划分一个单元，芯体的单元个数为芯体厚度与外面板厚度的比值。在芯体与面板分层处引入接触条件，避免受载变形时发生外面板穿入芯体。打开大变形选项，且采用逐步加载方式加载，计算每一步结构的应变能，用Newton－Raphson迭代法分别对未扩展和已扩展的两种结构进行非线性静力分析，求得两者的应变能，并用后者减去前者得到ΔU曲线，当ΔU＞Uc时，即认为此时分层发生了扩展，所对应载荷即为分层扩展载荷。

经过大量的数值计算，发现在当前结构形式和载荷条件下，分层在结构发生屈曲前不会扩展。图9是Model 2具有20°分层长度下的ΔU曲线图，从图上可以明显看出，在结构屈曲前，ΔU为0。由于屈曲后步长增量为变步长，分层未扩展和扩展后对应的两条应变能曲线相减后会出现插值，而插值导致了ΔU曲线开始发生振荡。所以在当前分析模型下，只要确定含分层损伤的夹芯结构的屈曲临界力就可以了。

计算过程中还发现不同的最大步长增量所求得的屈曲临界力有较大影响，为此对无分层损伤的Model 2用两种方法进行后屈曲分析，结果如表2所示。表2中STABILIZE法是指引入耗散能量百分比并采用自动增量步长的Newton－Raphson迭代法，本文取耗散能量百分比为1e-6；RIKS法指采用修正的弧长法；误差指与特征值屈曲得出的屈曲临界力做比较，即383.06 MPa。显然，在求解后屈曲问题时，RIKS法比STABILIZE法要稳定，STABILIZE法在步长较小时才能趋于稳定。

图9 含20°分层长度Model 2的ΔU曲线图Fig.9 The curves of ΔU of model 2 versus the length of lamination with 20°cross-ply angle

表2 最大增量步长对STABILIZE法和RIKS法的影响Tab.2 Comparison between STABILIZE and RIKS with respect to the biggest increment step

3.3 面板/芯体分层损伤夹芯圆柱壳的稳定性

然而对于含分层损伤结构，RIKS法的最大增量步长还是需要选取小量，避免外面板和芯体间发生嵌入。对当前分析模型，STABILIZE法和RIKS法的最大增量步长都只能取到0.5 MPa。考虑到特征值屈曲分析所得屈曲临界力与两种后屈曲算法所得结果相差不是很大，但能节省大量的计算时间，因此本文采用特征值分析法求解含分层损伤夹芯结构的稳定性，该结果比后屈曲算法所得结果大1%左右。

三个模型随着分层长度的屈曲临界力变化曲线如图10所示。当分层较小时，分层对结构的稳定性几乎没有影响，屈曲模式为面板/芯体分层处外面板的褶皱失稳；当分层大于10°左右时，分层的存在极大地降低了分层附近夹芯结构的刚度，使得该部分夹芯结构发生了失稳，因此夹芯圆柱壳的屈曲临界力曲线开始急剧下降，最后逐步趋于平缓。

图10 含分层损伤夹芯圆柱壳的屈曲临界力曲线Fig.10 Critical buckling stress of the sandwich cylinder with delamination defects

4 结 论

本文用有限元法研究了复合材料夹芯圆柱壳结构在内外等压载荷作用下的稳定性及分层扩展情况，得到如下结论：

（1）选取弹性模量较高的芯体可以有效地提高夹芯结构的稳定性；

（2）在内外等压载荷作用下，芯体泊松比对结构的稳定性会有较大影响；

（3）夹芯结构的稳定性并不随着芯体厚度与面板厚度的比值的增大而线性增大，在当前分析模型下，比值取5或者6时结构的稳定性最好；

（4）即使面板和芯体间发生分层损伤，在内外等压载荷下，直到结构失稳前分层并不发生扩展；（5）小分层的存在并不影响结构的稳定性，然而超过损伤容限后，将引起结构稳定性的急剧下降，内外等压载荷作用下，圆柱壳损伤容限在10°左右；

（6）本文计算所得的无损伤和含分层损伤夹芯圆柱壳的屈曲临界力远远大于芯体的压缩强度（6 MPa），因此对夹芯圆柱壳的潜艇轻外壳，其稳定性是足够的，只需校核其强度即可。