钢管空间桁架结构自由扭转的有限元分析与验证

许庆 ，宗兰 ，张文福 ，宋旭旭 ，李洋

（1.安徽建筑大学土木工程学院，安徽 合肥 230601；2.南京工程学院建筑工程学院，江苏 南京 211167；3.东北石油大学土木建筑工程学院，黑龙江 大庆 163318）

0 引言

与实腹式钢结构相比，钢管空间桁架结构具有自重轻、用料少、跨度大以及受力合理等特点，在实际工程中广泛地应用于桥梁、大型体育场馆屋盖及大跨度建筑物屋盖等结构。由于钢管空间桁架结构是一种离散的杆系结构以及其格构式的结构形式，钢管空间桁架的稳定性与实腹式结构相比较为复杂。

本文将运用有限元方法分别与赵思远博士、郭彦林教授和窦超教授的相关钢管空间桁架扭转理论公式进行比对和验证，为这些理论在今后的实际工程中的应用提供适用情形的划分以及更高的可信度。

1 有限元分析模型的建立

采用通用有限元软件ANSYS分析矩形截面钢管空间桁架截面和等腰三角形截面钢管空间桁架截面的自由扭转刚度。钢管空间桁架结构按悬臂梁进行建模，一端截面上节点分别固结于底部支座，另一端在桁架截面外施加单位扭矩。在ANSYS有限元模型中，弦杆和腹杆均采用可模拟桁架的LINK8单元，该单元可承受轴向拉压但不能承受弯矩；在钢管空间桁架一端截面上方建立一节点，分别连接该节点与截面上的所有节点，形成单元并将单元赋予MPC184-刚性梁单元属性，使该节点与钢管空间桁架达到固结效果，并且MPC184单元无需材料刚度数据，再在该节点上施加垂直于截面的单位弯矩，故可达到对钢管空间桁架施加单位扭矩的目的。

相关ANSYS模型几何参数如下：钢材弹性模量为Ec=210 GPa，泊松比μ=0.3，桁架节间距Lc分别取1.0 m和3.0m，弦杆的尺寸为Dc×tc=200 mm×10mm，斜腹杆和直腹杆的尺寸Dd×td=200mm×5mm，等腰三角形截面和矩形截面边长b×a分别取1 m×1 m和1m×2 m，空间桁架有10个节间段。矩形截面钢管空间桁架和等腰三角形截面钢管空间桁架在外扭矩作用下，其相应的结构变形如图1所示。

图1 钢管空间桁架结构扭转变形

为了进一步验证相关自由扭转理论的普遍性与适用性，假定上弦杆截面面积Ac1和上弦平面斜腹杆截面面积Ad1一定，令下弦杆截面面积为Ac2和下弦平面斜腹杆截面面积Ad2，使Ac1/Ac2的比值分别取1.0和2.0以及Ad1/Ad2的比值分别取1.0和2.0。通过ANSYS有限元模型提取扭转角φ，将φ带入式（1）：

通过式（1），可得到矩形截面钢管空间桁架截面和等腰三角形截面钢管空间桁架截面的自由扭转刚度FEM值。

2 FEM值与理论公式的验证

在郭彦林教授、窦超教授书中将钢管空间桁架按斜腹杆偏移构成不同分为两类：①Warren桁架，斜腹杆相互倾斜，如图2（a）所示；②Pratt桁架，其斜腹杆的倾斜方向一致，如图2（b）所示。对于矩形截面Warren空间桁架结构，其应用也相对广泛，除了满足斜腹杆的布置采用斜向交替布置的形式和截面上布置垂直于弦杆的直腹杆外，对于矩形截面Warren空间桁架截面上还应布置增强结构稳定的分隔腹杆，以防止其在扭转过程中截面形状发生畸变变形，如图2（c）所示。本文将FEM值与这三种空间桁架结构的理论值分别进行比对与分析。

图2 钢管空间桁架结构

空间桁架结构在受到扭转作用时，对单榀平面结构而言发生剪切变形。

对Warren空间桁架结构，根据结构力学可知，由于其斜腹杆相互倾斜，故所有的直腹杆为零杆，此时只需考虑斜腹杆和弦杆的轴向变形。赵思远博士根据单榀平面结构的斜腹杆和弦杆的轴向变形和胡克定律，推导出单榀平面桁架的剪切刚度为：

式（2）中：Ad为斜腹杆面积；Ac为弦杆面积；θ为斜腹杆与弦杆的夹角。

当空间桁架结构受到扭转时，其截面的平衡方程为：

式（3）中：GItφ 表示截面的自由扭矩；EIwφm表示截面的约束扭矩。

当不考虑截面的约束扭矩时，可将式（3）改写为：

以三角形截面空间桁架为例，推导其截面的自由扭转刚度 GIt（图 3）。

图3 三角形截面空间桁架结构的自由扭转刚度

如图3所示，C点为截面的剪心，可得到三角形截面的受力平衡方程为：

式（5）中：Vi为三角形截面空间桁架结构的各榀桁架受到的剪力；ri为各榀桁架到截面剪心的距离。

再根据截面剪切角，推导得到三角形截面空间桁架的自由扭转刚度为：

由于矩形的形心和剪心是重合的，矩形宽和高到剪心的距离分别为0.5 h和0.5 b，故可以得到矩形截面空间桁架截面的自由扭转刚度为：

式（7）中：Kv1为侧面平面桁架的剪切刚度；Kv2为弦平面桁架的剪切刚度。

将式（2）代入式（7）中，得到矩形截面 Warren空间桁架结构截面的自由扭转刚度为：

式（8）中：式中 θ1和 θ2如图 2（a）所示。

由于等腰三角形的剪心和形心都在底边的中线上，但两者不重合，如图4所示。

图4 等腰三角形截面剪心位置

赵思远博士推导出两者的距离y0为：

将式（9）和式（2）代入式（6）中，得到等腰三角形截面Warren空间桁架截面的自由扭转刚度为：

对于Pratt桁架，其斜腹杆的倾斜方向一致，需要考虑桁架结构的所有杆件的轴向变形。郭彦林教授、窦超教授同样也是根据单榀平面结构的斜腹杆和弦杆的轴向变形和胡克定律，推导出单榀平面桁架的剪切刚度为：

式（11）中：At为直腹杆面积；Li为直腹杆长度。

郭彦林教授、窦超教授根据截面的平衡条件和相应的几何关系，得到三角形截面Pratt空间桁架截面的自由扭转刚度为：

式（12）中：M为扭矩；A为三角形截面面积；Li为各边长长度。

将式（11）代入式（12），可得等腰倒三角形截面Pratt空间桁架截面的自由扭转刚度为：

矩形截面Warren钢管空间桁架结构、倒三角形截面Warren钢管空间桁架结构和倒三角形截面Pratt钢管空间桁架结构的自由扭转刚度的理论值与对应的FEM值计算结果见表1。

从表1中可以直观地看出，对于倒三角形截面Warren钢管空间桁架结构和倒三角形截面Pratt钢管空间桁架结构截面的自由扭转刚度的理论值与对应的FEM值之间的误差非常小，从而验证了赵思远博士和郭彦林教授、窦超教授关于倒三角形截面的钢管空间桁架结构的截面自由扭转刚度理论的正确性以及建立的模型的可行性。但对于矩形截面Warren钢管空间桁架结构，在一些钢管空间桁架尺寸中，截面的自由扭转刚度的理论值与对应的FEM值之间的误差是非常大的，因此在利用赵思远博士关于矩形截面Warren钢管空间桁架理论分析截面的自由扭转刚度时，需要注意其截面的高宽比以及节间段的尺寸。

3 空间桁架结构的相关参数的分析

上述分析都是假定上下平面桁架弦杆和斜腹杆的面积比值都为1的情况下的对比，为了使赵思远博士的理论值更为贴近实际工程，将改变上下平面桁架结构弦杆和斜腹杆的面积比值，来进一步验证其理论的正确性。当改变上下平面桁架弦杆面积不相等时，假定每个单榀平面桁架结构的弦杆变形是一致的；当改变上下平面桁架斜腹杆面积不相等时，只需将其对应的单榀平面桁架结构的剪切刚度对应的斜腹杆面积进行修改即可。当上下平面桁架弦杆和斜腹杆的面积比值发生变化时，矩形截面Warren钢管空间桁架和倒三角形截面Warren钢管空间桁架截面的自由扭转刚度的理论值与对应的FEM值计算结果详见表2，3，对应的误差与零误差线相见图 5，6。

从表2和图5可以看出，在一定尺寸矩形截面Warren钢管空间桁架结构中，当改变上下平面桁架弦杆的面积比值时，可以减少钢材的用量，从而降低成本；当改变上下平面桁架斜腹杆的面积比值时，发现误差增大。这可以充分说明，在矩形截面Warren钢管空间桁架结构受扭过程中斜腹杆能有效地提高该截面的抗扭性能。从表3和图6中可以看出，当改变倒三角形截面Warren钢管空间桁架的上下弦杆的面积比值时，误差增大；当改变倒三角形截面Warren钢管空间桁架的上平面和侧面的斜腹杆的面积比值时，与矩形截面相比误差减少近一半，这可以说明在都可使用矩形和倒三角形截面钢管空间桁架中，三角形截面的钢管空间桁架应更优于矩形截面的，其稳定性可以得到更好的保证。

对于矩形截面为b=1 m，h=2 m的Warren钢管空间桁架，进一步研究其节间距离对其有何影响，分别取Lc=1～5 m的范围，相应的自由扭转刚度的理论值与对应的FEM值计算结果详见表4。

表1 钢管空间桁架结构理论值与FEM值 107N·m2

表2 矩形截面Warren钢管空间桁架截面的自由扭转刚度理论与FEM值对比 107N·m2

表3 倒三角形截面Warren钢管空间桁架截面的自由扭转刚度理论与FEM值对比 107N·m2

表4 节间距变化的自由扭转刚度理论与FEM值对比 107N·m2

图5 矩形截面Warren桁架截面的自由扭转刚度零误差线

图6 倒三角形截面Warren桁架截面的自由扭转刚度零误差线

表2和表4进一步说明，矩形截面形式对其自由扭转刚度有一定影响，随着节间距长度的逐渐增加，理论解与FEM值的误差变化有明显的变化。故在实际工程中可以把节间距离与截面边长的比值控制在一定范围内，使其受力合理，到达工程质量的要求。

4 结论

（1）从有限元软件ANSYS模拟的结果与相关理论的对比中能够看出，本文建立的有限元模型对矩形截面和倒三角形钢管空间桁架截面的自由扭转刚度的分析具有较好的精度，可以充分说明本文建立的有限元模型是正确的。

（2）实际工程中，若都可选用矩形和三角形截面的钢管空间桁架时，应优先选择倒三角形截面Warren钢管空间桁架，其次选择矩形截面Warren钢管空间桁架，最后选择倒三角形截面Pratt钢管空间桁架。Warren钢管空间桁架，具有较高的稳定性，故可用在截面扭转较大的结构中，同时在扭转作用时，直腹杆可视为零杆。

（3）在矩形和倒三角形截面Warren钢管空间桁架设计时，可通过改变上下弦杆的面积比，来降低钢材的用量，进而减轻结构自重，以及通过调整上下平面斜腹杆的面积比，来提高截面的自由扭转刚度。

（4）对于矩形截面Warren钢管空间桁架而言，要充分考虑矩形截面的高宽比对其截面的自由扭转刚度的影响，当矩形截面的高宽比不能改变时，要进一步改变节间距离，来使其满足设计要求。

（5）对于倒三角形截面Pratt钢管空间桁架结构的设计，建议上下弦杆面积相等和各斜腹杆面积相等。