一类半线性分数Laplacian方程多解的存在性问题

乔花玲,吴玉梅

(西安财经学院统计学院,陕西西安 710061)

1 引言

分数Laplacian算子(−Δ)s的定义如下:

分数Laplacian算子(−Δ)s及更一般的拟微分算子已经有经典的泛函分析方法研究成果,该算子在连续介质力学、相变现象、种群动态、对策论的研究中常出现,它是Lévy过程的随机稳定的无穷小生成元[2−4].由于分数空间和非局部方程在很多科学领域有着重要应用,在过去的几年里对涉及分数算子问题的研究兴趣仍不断高涨,如障碍问题[5]、优化与金融[6,7]、共形几何与极小曲面[8−10]、材料学[11]、反常扩散[12−14]等方面应用.

设n≥2,s∈(0,1),方程

已经得到广泛的关注.Rox-Oton和Serra[15]建立与(1.1)式相联系的Pohozaev恒等式,并证明了在有界光滑的星型域上,若非线性项f(u)是局部的Lipschitz函数,有不等式

成立,则问题(1.1)没有有界正解,当不等式严格成立时,问题(1.1)没有非平凡的有界解;若在×R的任意紧子集上f(x,u)是Lipschitz函数,有不等式

成立,则问题(1.1)没有有界正解,当不等式严格成立时,问题(1.1)没有非平凡的有界解.Fall和Weth[16]给出了在有界星型域Ω(0∈)上,非线性项f(x,t):{0}×[0,∞)→R在{0}上的每一个子集上关于t是一致局部Lipschitz且在某种意义下是超临界的,则问题(1.1)没有正解,参见文献[16,定理1.1].在无界的星型域上,当时,问题(1.1)没有非平凡解.如果Fang[17]研究了带有纯临界非线性项的Laplacian问题,在空间Ds,2(Rn)上,得出问题(1.1)有无穷多非径向变号解;Gonzalez[18]等讨论了该方程在双曲空间上层解的存在性、对称性;Servadei[19]等发现具有齐次Dirichlet边界条件非局部微积分算子对应的方程有变分结构,利用山路定理证明了其非平凡解的存在性,此结果对一般的分数微积分算子也成立,作为其特殊情形证明了半线性椭圆问题(1.1)非线性项f:Ω×R→R是Carathéodory函数时,非平凡解的存在性;当s=时,Cabré[20]等研究了光滑有界域上正解的存在性,对问题(1.1)非平凡解研究已经有比较完善的结果了,关于问题(1.1)解的存在性等其它问题的许多结果请参考文献[21–26].对于其是否有无穷解的研究结果为数不多.最近,Liu等[27]研究了如果f(x,u)是关于u的奇函数且满足一定的增长条件,则经典的Dirichlet边界值问题

有无穷多解uk,当k→∞时,有‖uk‖L∞→0.受此启发,本文将研究半线性椭圆问题(1.1)多解的存在性.

设Ω⊂Rn是具有光滑边界的有界域,记

定义1.1若对任意ϕ∈C∞(Rn),有

成立,则称u(x)是问题(1.1)的弱解.

定义1.2设Φ∈C1(Hs(Rn)),称Φ满足PS条件是指:若任意序列满足下列条件

(2)在Hs(Rn)上Φ′(uk)→0有收敛序列.

主要结果是

一致成立,则问题(1.1)有无穷多解uk,且当k→∞时,‖uk‖L∞→0,其中

本文安排如下:第2部分,验证PS条件;第3部分,利用Clark’s定理证明定理1.1,并作为推广,给出方程组多解的存在性.

2 验证PS条件

为了证明主要结果,考虑问题

(2.1)式相应的泛函为

引理2.1 Φ(u)∈C1(Hs(Rn))是偶的,强制的且下有界.Z

由(1.3)式可得存在常数C1,使得,根据空间Hs(Rn)上范数的定义有

因此有

引理2.2若{un}在Hs(Rn)上弱收敛到u,则在Lq(Rn)上{un}满足PS条件,其中

证 由Φ′的定义有

由 Höolder不等式有

在Lq(Rn)上un(x)→u(x),映射t|→f(x,t)关于t连续,t∈R,所以

在Ω上a.e.成立.

由假设f(x,u(x))有界及控制收敛定理知

再由引理2.1知Φ(u)是强制的,故序列{un}是有界的,因此有

联立(2.2)–(2.4)式可得

因此Φ(u)满足PS条件.

3 定理1.1的证明

为了证明定理1.1,需要如下关键定理.

定理3.1 (见文献[27])设X 是Banach空间,Φ∈C1(X,R),Φ是偶泛函,下有界且Φ(0)=0,满足PS条件.如果对任意k∈N,存在X 的k-维子空间Xk及ρk＞0使得Φ＜0,其中Sρ={u∈X|‖u‖=ρ},那么下面的结论至少有一个成立:

1)存在临界点序列{uk}满足对任意的k,当k→∞ 时,‖uk‖→0,Φ(uk)＜0;

2)存在r＞0使得对任意0＜a＜r,存在临界点u使得‖u‖=a,Φ(u)=0.

定理1.1的证明 由引理2.1和引理2.2可知Φ(u)∈C1(Hs(Rn))是偶泛函,下有界,满足PS条件.由定理1的假设f(x,0)=0及(x,u)的定义,有Φ(0)=0.∀K＞0,∃δ=δ(K)＞0,使得如果则

这表明∀k∈N,如果Xk是的k-维子空间,ρk＞0充分小,则有Sρk={u(x)∈Hs(Rn)|‖u(x)‖=ρk},由定理3.1知Φ 有非平凡临界点列{uk(x)}满足∀k有Φ(uk(x))＜0,当k→ ∞ 时,‖uk(x)‖→0.

最后,来证明当k→∞ 时,有‖uk(x)‖L∞→0,即当k充分大时,uk(x)也是问题(1.1)的解. 记,假设1＜p＜n,当p≥n时,可以类似证明结论成立.若u是(1.1)式的解,α＞0,设M ＞0,记uM(x)=max{−M,min{u(x),M}}.给(2.1)式两边同乘以|uM|αuM可以得到

再由分数Sobolev-Hardy不等式[28],则有

其中 C1＞ 1 是常数,且与 u 和 α 无关.令,即 αk=对 αk重复利用不等式 (3.1) 可得

一致成立,则方程组

有无穷多解uk,且当k→∞时,‖uk‖L∞→0,其中Ω⊂Rn是有光滑边界的有界域,

u=(u1,u2,···,um)是 m 维向量函数,(−Δ)su=((−Δ)su1,(−Δ)su2,···,(−Δ)sum).

证 考虑方程组

(3.4)式相应的泛函为

则Φ(u)∈ C1(Hs(Rn,Rm)是偶的,强制的,下有界,且满足PS条件.∀k∈N,如果Xk是的k-维子空间,ρk＞ 0充分小,则有Hs(Rn,Rm)|‖u(x)‖= ρ},由定理3.1知Φ 有非平凡临界点列{uk(x)}满足对任意k有Φ(uk)＜ 0,当k→ ∞ 时,‖uk(x)‖ → 0.

与定理1.1的证明类似,可以证明当k→∞时,有‖uk(x)‖L∞→0,即对于k充分大时,uk(x)仍然是方程组(3.3)的解.