置换群S6上的一类Hopf代数结构

吴美云,唐秋林,罗秀花,姜会玲

(南通大学理学院,江苏南通 226007)

1 引言

通常来讲,要构造一个Hopf代数是件很不容易的事.然而,近年来,很多数学家开始利用箭向来研究代数结构[1−3],得到很多可交换与不可交换的Hopf代数[4−5].我们在文献[6–7]中也借助于箭向构造了群上的大量的Hopf代数.

设G是群,kG是代数闭域k上的一个群代数,则Hopf双模范畴等价于直积范畴C∈K(G)MkZu(C),这里K(G)是群G 的全体共轭类,映射

MkZu(C)表示右kZu(C)模[5,8].2002年,由于数学家Cibils和Rosso引入了Hopf箭向和群的分歧[8],使得利用箭向构造Hopf代数成为可能[5].2008年,张寿全教授等给出了Sn(此时n≠6[9])是完全群时的分歧系统,由此可以构造出一批Hopf代数[10].那么对于非完全群S6,如何构造其上的Hopf代数呢？本文想在这方面做些探讨.

2011年,Andruskiewitsch,Fantino,Grana以及Vendramin研究出对称群上的有限维逐点Hopf代数都是平凡的,且对于对称群S6,其上的一型路Hopf代数都是无限维的[11].所以我们要构造的一型路Hopf代数都是无限维的.

本文约定在代数闭域k上讨论,并且k的特征char(k)≠2.所有代数,余代数,Hopf代数等都在域k上讨论.与Hopf代数有关的概念参见文献[12].

2 非完全群S6的特征标和自同构之间的关系

由于非完全群S6也是置换群,故S6中任意两个元素有相同的共轭类当且仅当它们有相同的循环结构.从而有以下引理.

引理2.1[13]设S6是包含6个元素的集合的全体置换做成的群,Aut(S6)是S6的自同构群,则Aut(S6)=Inn(S6)＜δ＞,其中δ为2阶外自同构.因此Aut(S6)是一个1440阶的群,是S6的内自同构群和一个2阶群的半直积.

由于群S6可由Ω={(12),(13),(14),(15),(16)}生成,令φ:S6→S6是一个映射,定义

可以验证φ定义了S6的一个外自同构.

令σ=(12345),iσ是由σ诱导的S6的内自同构,即任意g∈S6,定义iσ:S6→S6,iσ(g)= σgσ−1.令 δ=iσφ,则 δ是2阶外自同构.由此得以下结论.

定理2.2任意h∈S6,定义

则Aut(S6)={ig|g∈S6}∪{δg|g∈S6}.

注 (i)由于Ω={(12),(13),(14),(15),(16)}可以生成置换群S6,所以ig,δg只需要定义在Ω上即可.

(ii)经过计算,可得

用C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,C9,C10,C11表示S6的全体共轭类,分别用(1),(12),(123),(1234),(12345),(123456),(12)(34),(12)(345),(12)(3456),(12)(34)(56),(123)(456)作为这些共轭类的代表元.考虑S6的共轭类与特征标的关系,得到如表1[13−14].

表1

定理2.3 设S6是6个元素上的置换群,ig,δg如定理2.2中所述,记={χ1,χ2,···,χ11},其中χ1,χ2,···,χ11如表1中所述.则对于任意g∈ S6,有

证 容易看出,对于任意g∈S6,有 χjig=χj,j=1,2,···,11,χ1δg= χ1.下面证明后面6个关系式.

记Ω={(12),(13),(14),(15),(16)}.任意h∈Ω,由于自同构保持元素的阶和共轭类的阶,因此通过简单计算,有 χ4δg(h)= χ4(gδ(h)g−1)= χ4δ(h)= −2, χ8(h)= −2. 所以χ4δg= χ8. 类似的,得到 χ8δg= χ4;χ2δg= χ7; χ7δg= χ2;χ5δg= χ10; χ10δg= χ5.

由此,不失一般性,可设

这里a是一个正整数,b1,b2,···,b10是非负整数.

3 S6上的分次Hopf代数结构

设N表示自然数集合,得到如下结论.

定理3.1设G=S6是置换群,m是自然数,N表示自然数集合,r是G的关于rCi,i=1,2,···,11的分歧,Q=(G,r)是对应的Hopf箭向.如果rC1=m ＞ 0,rCi=0,i=2,3,···,11,那么路余代数kQc有不同构的分次Hopf代数结构kQc(αχs),s∈N10,其个数与不等式s1+2s2+s3+2s4+2s5+s6+s9≤m的非负整数解的个数相同.记1,2,···,m.则在 (kQ1,αχs) 上的 kG-模作用为

任意t=2,3,4,5,6,

任意t=3,4,5,6,

任意t=2,4,5,6,

任意t=2,3,5,6,

任意t=2,3,4,6,

任意t=2,3,4,5,

证 设r是群G的满足rC1=m＞0,rCi=0,i=2,3,···,11的分歧,Q=(G,r)是对应的Hopf箭向.则由文献[5]得对任意x,y∈G,x≠y,有y(Q1)x是空集. 显然任意 s=(s1,s2,···,s10)∈ N10,设. 由于 rC1=m ＞ 0,rCi=0,i=2,3,···,11, 所以1≤i≤m}是关于r的带有特征标的全部分歧系统,简记为RSC.对于任意s,l∈N10,有χs≌ χl当且仅当 s=l或 s1=l2,s2=l7,s3=l3,s4=l8,s5=l10,s6=l6,s7=l2,s8=l4,s9=l9,s10=l5.

事实上,如果s=l,显然χs=χl,自然有χs≌χl.对于其他情形,由于

由定理 2.3, 任意 g ∈ G,χ1δg= χ1,χ2δg= χ7,χ4δg= χ8,χ5δg= χ10,χ7δg= χ2,χ8δg= χ4,χ10δg= χ5,有

(i)δg:G→G是一个群同构.

(ii) 任意 α,β ∈ G,显然 δ(αβ)= δ(α)δ(β).固定映射u:K(G)→G,

任意Ci∈K(G),g∈G,存在元素hCi∈G使得

事实上,有

(iii)任意C ∈K(G),存在双射fC1:IC1(r)→Iδg(C1)(r)使得

是空映射.由定理2.3,对任意h∈Zu(C1),

故 χs≌ χl.

由此,{χs|s∈N10}是关于r的互不同构的所有的RSC,该集合的基数恰好等于不等式s1+2s2+s3+2s4+2s5+s6+s9≤m的非负整数解的个数.由于域k的特征char(k)≠2,所有右kG-模是逐点的.由文献[5]的定理2.2,得到路余代数kQc的不同构的余路Hopf代数结构kQc(αχs),s∈N10.设s∈N10.为简便起见,记

i=1,2,···,m.由文献[5]的等式(2.2),得到(kQ1,αχs)上的所有kG-模作用.证毕.

推论 3.2 设 kQc(αχs),s∈ N10如定理 3.1中所述,则 kQc(αχs)的子 Hopf代数kG[kQ1;αχs]由 (12),(13),(14),(15),(16),xi,yi,zi,pi,qi,vi,i=1,2,···,m 生成,生成关系为

余代数结构为Δ((1t))=((1t))⊗((1t)),ε((1t))=1,S((1t))=(1t),t=2,3,4,5,6,Δ(w)=(1)⊗w+w⊗(1),ε(w)=0,S(w)= −w,这里w=xi,yi,zi,pi,qi,vi,而

证 由文献[15]中一型路代数的乘法关系,经过计算,容易得出上述所有关系.