圆柱齿轮减速器的优化设计

郑航

摘 要：机械传动系统中的重要零件就是齿轮减速器，它在各类机械设备上具有极为广泛的应用。不断地试凑、校核是传统减速器的设计方法，即使设计方案达到了预期效果，但是通常其效果并不能达到最优。通过选取设计变量，确定目标函数及约束条件，圆柱齿轮减速器的优化设计的数学模型才方可建立。

关键词：优化设计；圆柱齿轮；减速器

1减速器优化设计方案

优化设计通常分为三大类：结构外观上避免体积过大，使用方面追求减速器承载能力达到最大，经济方面在设计减速器时花费更少的资金。要达到第三类目标的要求，会有很多因素参杂其中，除了合理地设计出减速器的设计方案，单位的劳动能力、管理能力、设备结构和材料价格等因素都会被涉及。最终，第一类或第二类优化类型，即追求小体积成为了设计人员所采纳的优化方案。其中，在追求小体积和追求最大承载能力方面也起到了冲突。如果减速器的大小一定，那么受到限制的就是减速器的承载力；如果所受到的承载力是一定的，那么受到限制的就是减速器的大小。因此，两种类型的实质是一样的。优化减速器时，体积则是由中心距离体现出来的。所以，优化减速器大体可以分为两种类型，第一类优化：根据给出的承载范围，中心距离作为减速器的优化重点；第二类优化：根据减速器的中心距离，减速器的承载范围作为优化重点。

2传动比的分配

1）每级传动比应在推荐值范围内，且各级传动比应使传动装置尺寸协调、结构匀称、不发生干涉现象，使减速器获得尽量小的外形尺寸和重量；2）使各级传动的承载能力（一般指齿面接触强度）接近相等；3）使各级传动的大齿轮浸入油中的深度大致相等，以避免低速级大齿轮浸油过深而增加搅油损失。在设计展开式双级圆柱齿轮减速器时，考虑到各级齿轮传动的润滑合理性，应使两大齿轮直径相近，推荐值取i1=（1.3～1.4）i2或i1= ，其中：i1、i2分别为高速级和低速级齿轮的传动比，i为减速器的总传动比。对于同轴式双级圆柱齿轮减速器，一般取i1=i2= 。对于多级减速传动，可按照“前小后大”（即由高速级向低速级逐渐增大）的原则分配传动比，且相邻两级差值不要过大。这种分配方法可使各级中间轴获得较高转速和较小的转矩，从而减少了轴及轴上零件的尺寸和重量，使得结构较为紧凑；而且可减小因制造精度等而引起的传动链误差和中间传动件误差对末端原件的影响。

3圆柱齿轮减速器的优化设计

3.1建立目标函数，确定设计变量

对于齿轮减速器，在齿轮和轴的结构尺寸确定之后，箱体的尺寸随之确定，当材料不变时，质量和体积正相关，故可按减速器中齿轮和轴的体积之和的表达式建立目标函数。为便于与箱体零件连接，设主动轴伸出箱外28mm，从动轴伸出箱外32mm。大齿轮结构采用辐板式，辐板上有四个均布孔。于是齿轮与轴的体积之和为： （1）

式中：d1=mz1，dg=1.6d1'，d2=imz1，d0=0.25（imz1-10m-1.6d2'），D2'=imz1-10m，C=0.2B，δ=5m

从式（1）可知，当传动比i给定时，减速器的尺寸决定于齿宽B、小齿轮齿数z1、模数m、箱体宽度l、小齿轮轴直径d1'和大齿轮轴直径d2'，因此得出设计变量，将设计变量代入体积公式，得目标函数：f（X）=0.785398（4.75x1x2x32+85x1x2x32-85x1x32+0.92x1x62-x1x52+0.8x1x2x3x6-1.6x1x3x6+x4x52+x4x62+28x52+32x62）

3.2约束条件

直齿圆锥齿轮传动比i1≤4，直齿圆柱齿轮传动比i1≤6，根据传动比前小后大的分配原则，即i1

由i=i1·i2，所以得到约束条件：

经上述分析可知，二级圆柱齿轮减速器优化设计工作主要是对传动比进行最优分配，而该问题则属于一维约束条件的非线性规划问题。

3.3计算优化结果

罚因子递减系数C=0.5，采用Powell法对新目标函数进行无约束优化，其中一维优化选用二次插值法，收敛精度取ε=10-7。Powell法的收敛精度取δ=10-3。优化结果如表1所示。

表1优化结果参数表

虽然X2对应的目标函数值较小，但其设计点与多个约束边界的距离较近，综合考虑下，选择最优解为X3。对上述优化结果，根据几何参数的标准化，要进行圆整，得：

X*=[12230.723.510.213]

f（X*）=33741cm3

对比优化设计前，减速器体积下降比率为：

3.4简介MATLAB在二级圆柱减速器齿轮优化设计中的作用

初始种群。求解前，在解的备选空间中选择若干个体组成初始种群，采用随机方法产生初始种群。计算适应度。适应度值是MATLAB在群体计算过程中的重要信息，适应度对字符串如何进行复制作出了详细的描述。适应度函数主要是通过计算个体适应度数值来比较各个适应度的好坏，好的适应度值会在下一次计算过程中继续被放大，而坏的适应度值则不会进入下一计算阶段，进而被淘汰。由此，好的适应度值越来越多，最终的计算结果也会趋于良好。终止准则。终止准则主要指在何种条件下认为找到了最优解，之后便可终止计算，得到最优的计算结果。利用MATLAB软件进行齿轮优化设计时，设计人员可编制多种遗传操作算子，之后编制齿轮结构的MATLAB程序，最后对齿轮进行优化设计。

4计算中难点分析

4.1齿轮计算

第一步要通过选择齿轮材料及热处理方式来确定许用应力。若传递功率大且要求尺寸紧凑，应采用硬齿面组合，选用合金钢或合金铸钢，并采用表面淬火、渗碳或渗氮淬火等热处理方式，热处理后硬度可达56～62HRC。第二步考虑硬齿面齿轮失效主要形式是齿根发生弯曲疲劳折断，按轮齿的弯曲强度进行设计，先计算模数，再校核齿面接触强度看是否满足要求。若齿轮工作条件等为一般要求，则第一步可选用碳钢、铸钢或铸铁，采用正火或调质等热处理方式，热处理后硬度可达250HBS左右，采用软齿面齿轮的组合；再考虑软齿面齿轮失效主要形式是点蚀，按轮齿的接触强度进行设计，先计算中心距，选择齿数，从而确定齿轮的基本尺寸，再校核齿根弯曲疲劳强度看是否满足要求。

4.2轴计算

1）第一种方法：先计算危险截面直径再计算各轴段的直径，这样保证危险截面能满足设计要求，即其當量应力σe值小于等于许用弯曲应力[σ-1b]。如果是高速输入轴且其与电动机轴相连，需考虑电动机轴的直径；如果是低速轴且其与联轴器相连，应选择合适的联轴器型号。2）第二种方法：先计算轴最细段直径再验算危险截面直径。这种方法如果危险截面直径不能满足要求，则需要重新计算最细段轴的直径。第一步：先要初算轴径。第二步：校核危险截面的直径。

结语

在强度要求满足条件的前提下，采用设计优化方案，会极大地减小减速器的尺寸，不仅仅提高了减速器的运行效率，而且还减少了材料及财力，优化设计法和传统设计法之间有着非常密切的关系。虽然优化设计法具有弥补传统设计法不足的效果，但是优化设计法在一定领域上仍然具有局限性。我们可以把可靠性技术、模糊技术引用到优化设计上，从而形成了可靠性及模糊可靠性优化设计法，在工程设计技术方面有了质的飞跃。

参考文献

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[2]张慧鹏.基于MATLAB的二级圆柱齿轮减速器优化设计[J].机械设计与制造，2010（04）：79-80.

[3]胡治民，谢志勇.圆柱齿轮减速器的优化设计[J].机电工程技术，2004（7）.

（作者单位：郑州飞机装备有限责任公司）