汽车盘式制动器时变稳定性的分析与优化∗

王晗蓓，于德介，黄 亚

前言

制动系统是底盘的重要组成部分，制动工况下产生的制动噪声往往造成行人和乘客不适。制动器部件的振动也会加速结构老化，增加故障率。由于制动尖叫是制动噪声最主要的噪声形式，其声压级大，所以目前绝大部分的研究工作都针对尖叫声。

随着有限元方法的引入，基于有限元的制动噪声分析也相继展开。Blaschke等[1]定义了制动器摩擦界面的接触属性，采用复特征值方法分析了制动器的尖叫倾向性。Liu等[2]考虑了制动压力、制动盘转速、摩擦因数等参数对系统特征值的影响，通过优化特征值达到了消除制动尖叫的目的。Guillaume等[3]利用制动器的有限元模型进行模态分析，采用复特征值方法分析制动器的稳定性，研究了阻尼系数变化对盘式制动器稳定性的影响。Francesco[4]采用简化的制动器有限元模型，考虑摩擦接触面摩擦的变化，对其进行复特征值分析和瞬态非线性分析。孙振华等[5]用有限元方法对制动器部件进行模态综合，分析了子结构模态与耦合系统不稳定模态的关系，找到了导致尖叫的关键因素。宿新东等[6]对制动器进行建模、仿真，通过参数优化改善了结构的动态特性，最后验证了方法的有效性。文武等[7]用线性弹簧力描述制动时摩擦面间的法向力，应用Hess方法求解系统的复特征值，结果发现摩擦因数、闸片托的厚度等参数是影响制动尖叫的重要因素，并通过优化闸片托的厚度降低了制动尖叫倾向。陈光雄等[8]分别采用ABAQUS和NASTRAN对制动器进行复特征值分析，结果表明即使两者的边界条件和网格类型相同，所得结果也不尽相同，采用NASTRAN通常只能预测到中高频尖叫噪声。吕辉等[9]基于复特征值分析，利用代理模型表示制动器不稳定模态的阻尼比，建立了制动器制动尖叫的参数化模型，并对其进行优化，结果表明该方法能提高分析效率并有效降低制动器的尖叫倾向性。管迪华等[10]通过对制动器系统进行复特征值分析、子结构模态构成分析、子结构模态参数灵敏度分析和能量馈入分析等，找出了影响尖叫的关键子结构的关键模态，并证实修改制动盘参数能有效抑制制动噪声。

国内外关于确定性盘式制动器的制动噪声分析已经取得了丰硕成果。然而不确定性广泛存在于各种工程结构中，尽管某些领域的不确定性研究早已深入，但在制动噪声领域还处于起步阶段。近年来不确定性盘式制动器的制动噪声研究引起学界的关注。Matsushima等[11]针对制动器系统中摩擦因数、接触刚度和制动压力分布等的不确定性，提出一种概念设计优化方法，通过修改制动器部件几何形状降低制动噪声倾向性，试验验证了方法的可行性。吕辉等[12]结合响应面法和复特征值分析法，提出了降低随机和区间不确定制动器系统制动尖叫的分析方法，并利用蒙特卡洛法对系统的振动稳定性进行参数灵敏度分析和可靠性分析，结果表明增加支撑背板刚度能减小制动器尖叫倾向性。Sarrouy等[13]对简化的制动器模型用随机参数分别描述制动器系统的摩擦因数和接触刚度，基于多项式混沌展开计算系统的随机特征值，用以判断制动器的尖叫倾向性，并将分析结果与蒙特卡洛模拟法分析结果对比，证明了该方法的有效性。Tisona[14]将不确定性和鲁棒性引入制动尖叫的预测，采用随机场理论描述制动器接触面的不确定性，基于概率计算分析和鲁棒性准则来研究制动器的稳定性，并通过实验验证了方法的可行性。Amir等[15]结合Kriging代理模型和复特征值分析，考虑制动器卡钳的弹性模量和摩擦因数的不确定性，进行制动器系统的可靠性分析，研究了制动器参数对制动噪声的影响，并证实采用代理模型有助于提高计算效率。Nechak等[16]结合Kriging代理模型和全局灵敏度分析，考虑制动器参数的不确定性，提出一种预测制动尖叫和制动器优化设计方法。

目前，针对制动器的可靠性研究多数基于静态模型，未考虑制动器稳定可靠性随时间的变化。Liu等[17]虽对制动器在时域内的摩擦因数变化进行了试验，但仅针对制动过程中参数的变化，未对其稳健性进行研究。

本文中针对制动器在使用周期内的磨损导致制动器可靠度降低问题，建立了含有随机参数和随机过程参数的制动器时变不确定参数化模型；将时变可靠性问题转化为静态可靠性问题，提出了盘式制动器系统的时变稳定可靠性分析方法；以复特征值阻尼比最小化为优化目标，通过优化制动器系统参数，保证了制动器系统在使用周期内的稳定可靠性。对某车浮钳制动器系统的研究表明，该方法能有效预测含时变和随机参数制动器系统的时变稳定可靠性，尤其是提高制动器使用后期的稳定可靠度。

1 盘式制动器参数化模型

1.1 复特征值分析方法

盘式制动器系统处于制动工况时，其有限元动力学方程可表示为

式中:M，C和K为无摩擦作用时制动器系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；f为制动器系统的摩擦因数；Kf为摩擦接触刚度矩阵；u，u·和u··为节点振动位移矢量、速度矢量和加速度矢量。

接触刚度会使系统刚度矩阵变成不对称结构，从而在一定条件下会导致系统的模态频率和模态振型是复数。工程实际中，对盘式制动器模型进行有限元分析时，通常不考虑系统的阻尼，故式(1)可写成

设式(2)的解的形式为

将式(3)代入式(2)可得到其特征方程为

式中:s为系统复特征值；φ为对应的特征向量。记

式中:a为系统的阻尼系数；b为系统的自然频率。

根据文献[12]，复特征值的阻尼比定义为

当a＜0时阻尼比为正，系统是稳定的；当a＞0时阻尼比为负，系统将不稳定。

在工程实际中，由于对制动器的仿真通常不考虑材料阻尼，得到的不稳定模态比实际工程中的多，所以将判断制动器稳定性的阻尼比[9]定义为

工程中通常根据阻尼比ζ∗的正负性来判定盘式制动器的稳定性。

盘式制动器参数通常存在不确定性，可运用可靠性理论进行稳定性分析。在只含独立随机变量x的盘式制动器模型中，可根据式(7)建立可靠性功能函数:

1.2 制动器可靠性功能函数的响应面模型

为真实模拟制动器的振动特性，同时减小计算工作量，本文中利用Altair.Hypermesh软件建立了某国产轿车的盘式制动器简化模型，如图1所示。

图1 盘式制动器的有限元模型

该简化模型包含制动盘、制动片、绝缘板、支撑背板等部件，共划分成26 125个实体单元，37 043个节点，其中六面体单元(C3D8I)25 041个，五面体单元(C3D6)1 084个。在ABAQUS中定义约束条件，并在制动片绝缘板上均匀施加制动压力，即可提交求解其复模态值。

选取制动盘和制动片的密度、厚度、摩擦因数等7个参数作为设计变量，各参数取值范围如表1所示。

表1 制动器系统各参数试验设计取值范围

利用响应面方法[18](response surface methodology，RSM)构建近似模型。该方法采用不同阶次的多项式来近似表达响应目标与设计变量之间的关系，具有数学表达式简单、构造效率高、计算量小和收敛速度快等特点。

采用拉丁超立方试验设计方法[19]在设计空间内采样，选取120组样本点带入到制动器系统有限元模型中进行计算，求得第7阶模态的实部为正，为不稳定模态。根据样本的第7阶模态特征值阻尼比，构造出第7阶模态复特征值阻尼比响应面模型:

式中:c0和ci为待定系数；ϕ(x)为基函数；N为基函数个数。

基于2阶多项式响应面模型，采用最小二乘法计算回归系数矩阵，其基函数和相应系数的计算结果如表2所示。

将表2中系数和基函数代入式(9)，则可得ζ1(x)的响应面模型。对模型进行误差分析[20]，其中R检验R2等于0.973，非常接近1；且均方根误差(RMSE)仅为0.031，相对平均绝对误差(RAAE)为0.022，两者均较小。由此可知，复特征值阻尼比响应面模型与真实的有限元模型逼近程度高，可在计算中代替真实有限元模型进行计算。

表2 ζ1(x)的基函数及相应系数取值

2 盘式制动器的不确定参数

2.1 盘式制动器的随机参数

在盘式制动器的使用过程中，随着时间推移，制动片和制动盘厚度会变小，传统方法用区间随机变量描述制动盘和制动片的厚度，这一描述方式无法对制动器的可靠性进行动态预测。本文中根据盘式制动器系统特点，将随机参数和随机过程参数引入制动器系统模型。

根据文献[21]和文献[23]中参数设置，采用独立分布的随机参数来描述部件材料密度、部分部件厚度和摩擦因数，则

式中μxi和σxi为第i个随机变量的均值和标准差，其参数取值和分布类型如表3所示。

表3 盘式制动器的随机参数

2.2 盘式制动器的随机过程参数

为达到降低汽车速度的目的，制动片与制动盘之间通过摩擦提供阻力，将汽车的动能转换为热能。因此，制动盘和制动片的磨损不可避免。在一定的制动压力下，根据文献[24]，制动片的磨损通常采用线性公式描述，其磨损值Δh1可近似为

式中:k0为磨损系数，取2.9×10-7m3/(N·m)；p为制动压力；p′为乘用车允许的最大制动压力，通常为8MPa；Ω为制动器转动速度；r0为制动盘的半径中值；t为时间。

制动盘的磨损比制动片的磨损小，根据相关研究[25-26]，其磨损值 Δh2为

根据工程实际，制动盘和制动片的厚度均值随时间而变化。本文中用随机过程变量描述制动盘和制动片厚度的不确定性。将设计使用时间T分为s个相等的时间段[27]，每时间段为τ＝T/s，在每一时间段中选取某一时刻作为时间样本，计算该时刻的制动盘和制动片厚度，作为此时间段内随机过程参数的均值，从而将随机过程变量离散为s个正态分布的随机向量Zr，即

式中:T为制动器设计使用时间；Z(t)为含s个时间样本的随机过程变量；Zr为第r个时间样本的随机向量；xr2为第r个时间样本，制动盘厚度参数；xr4为第r个时间样本，制动片厚度参数；μri和 σri分别为的均值和标准差，其参数取值如表4所示。

表4 盘式制动器的随机过程参数

3 盘式制动器的时变稳定可靠性分析

3.1 基于随机参数的结构可靠性分析

系统的可靠性是指系统满足约束条件的概率，当系统参数为随机参数时，其可靠度计算公式为

式中:Pr(·)为系统可靠度概率；x为相互独立的随机变量向量；f(x)为联合概率密度函数；g(x)为功能函数。g(x)＝0为极限状态面，可用失效点处的切平面近似表示为

可靠度指标可表示为

式中:μg为功能函数 g(x)的均值；δg为功能函数g(x)的标准差。

故有

由上可计算得系统的可靠度为

式中Φ(·)为标准正态分布概率累计函数。

3.2 盘式制动器的时变稳定可靠性分析

当盘式制动器中含有随机过程变量和随机变量时，其稳定可靠度为

式中:g(·)为功能函数；X为独立分布的随机变量；Z(t)为独立分布的随机过程变量；T为设计使用时间。

对于时变可靠性分析问题，将随机过程变量离散为s个随机向量Zr(r＝1，2，…s)，从而将时变可靠性问题转化成静态可靠性问题求解，根据串联体系的可靠度理论，式(18)可变换为

盘式制动器时变稳定可靠性问题的功能函数是显式多项式函数，根据式(8)，功能函数定义为

功能函数值可采用蒙特卡洛方法[28]计算。盘式制动器时变稳定可靠性分析的主要步骤如下。

(1)取s＝6个时间样本，用于分析盘式制动器稳定可靠性随时间变化趋势，即将设计时间T定义为6×7200s，在每一时间段内取一时刻 tr(r＝1，…，6)，从式(13)有

(2) 对时间样本 tr(r＝1，…，6)，根据式(21)和表4，计算xr2和xr4的概率分布，生成随机样本Zbr＝[，]T。对系统中制动盘密度和摩擦因数等随机参数，则根据式(10)和表3中概率分布，提取随机样本 Xb＝[xb1，xb3，x5b，xb6，x7b]。 将获得的随机样本 Xb和代入式(20)制动器系统极限状态方程中，若g(Xb，Zbr)≥0，t∈[0，T]，则系统稳定可靠次数 ng＝ng＋1。

(3)重复步骤(2)，提取不同的随机样本，直到采样次数达到nk＝106次，则在tr时间样本下，制动器的稳定可靠度为

(4)根据式(22)计算全部时间样本的制动器可靠度，最终得到制动器系统在其使用周期内的稳定可靠度[27]为

由以上步骤，计算得到随时间变化的盘式制动器系统复特征值阻尼比概率分布和随时间变化的盘式制动器稳定可靠度指标与可靠性，分别如图2、图3和表5所示。

综合图2、图3和表5可知:随着制动盘和制动盘的磨损，阻尼比的概率密度函数曲线左移，即制动器在使用之初，系统稳定性好，符合使用要求；但随着制动器的使用磨损，制动器的稳定可靠性逐渐降低，系统稳定性逐渐变差，在t＝12h时，系统的可靠度指标为-0.49，对应的可靠度为31.21%。

图2 第7阶阻尼比概率密度函数随时间变化曲线

图3 系统稳定可靠度指标随时间变化曲线

表5 随时间变化的盘式制动器稳定可靠度指标和可靠性

4 含时变参数盘式制动器稳定性优化

4.1 时变稳定性优化模型

为获得在设计使用周期中稳定的制动器系统，须对制动器的关键参数进行优化。

根据盘式制动器稳定性分析结果，选取支撑背板的密度均值μx5和厚度均值μx6作为优化设计变量，取值范围见表6。

表6 优化设计变量取值范围

盘式制动器稳定可靠性优化的目的是增大不稳定特征值的阻尼比，提高系统的稳定性。以制动器系统的阻尼比为优化目标，根据式(9)，含时变参数盘式制动器系统的阻尼比为

式中:x＝{d，X，Z(t)}为系统参数；d＝[x5，x6]为设计变量；X＝[x1，x3，x7]为随机参数；Z(t)＝ [Z1，Z2，…，Zs]为含s个时间样本的随机过程向量；Zr＝[xr2，xr4]为时变随机参数，r＝1，2，…，s。

制动器时变稳定可靠性的优化目标为

当随机过程向量Z(t)离散为s个时间样本后，-ζ(x)转化为一随机变量，其均值和标准差分别为μ-ζ(x)和 σ-ζ(x)，且-ζ(x)将以 0.997 的概率分布在[μ-ζ(x)-3σ-ζ(x)，μ-ζ(x)＋3σ-ζ(x)]区间内。 取其上限值为H(-ζ(x))，则 H(-ζ(x))满足最小值条件即可，即式(25)所示的优化目标可近似等效为

制动器时变稳定可靠性的约束条件为

式中:gj(x)为第 j个约束函数；nj为约束函数的个数。

若 gj(x)在[μgj(x)-3σgj(x)，μgj(x)＋3σgj(x)]中的下限值为L (gj(x))，则式(27)所示的约束条件可等效为

考虑制动器的轻量化设计，通常要求优化后的支撑背板质量不高于其初始值的1.1倍[12]，可得到第2个约束条件为:1.1×6.6×7.85-x5x6≥0。

基于以上分析，制动器时变稳定可靠性的优化模型可等效为式中:dR，dL为设计变量的上下限；T为制动器设计使用时间；H(x5x6)为 x5x6的极大值；7.2≤μx5≤8.3；6.3≤μx6≤7.7。

式(29)所示的优化模型为嵌套优化模型，其外层为设计变量的寻优，内层为目标函数H(-ζ(x))和约束函数L(gj(x))的求解。在不确定函数的显式表达式已知情况下，可采用蒙特卡洛方法快速求解H(-ζ(x))和 L(gj(x))。

4.2 时变稳定性优化流程

对式(29)所示的模型进行优化，外层寻优选择遗传算法，相关参数设置为:种群规模为100，代数为100，二进制编码为8，代沟为0.9，交叉概率为0.7，变异率为0.05；初始化设计变量，支撑背板厚度均值和支撑背板密度均值均选择初始值；内层的计算采用蒙特卡洛方法迭代108次。

图4 盘式制动器时变稳定可靠性优化流程图

盘式制动器时变稳定可靠性优化流程如图4所示。图4中，s为生成的时间样本总数；在第r个时间样本下，提取nk组随机样本；其中，dk0表示第k个设计变量样本；Xk代表第k个随机参数样本；Zkr则代表第k个随机过程参数样本；为保证优化过程的精度和效率，参照文献[12]，取 s＝104，nk＝104。

4.3 时变稳定性优化结果分析

最终优化得到设计变量的最优值为:μx5＝7.23g/cm3，μx6＝7.35mm。以优化后结果替换表3中相应的支撑背板密度x5和厚度x6的均值，而制动器的其他参数仍按表3取值，基于盘式制动器时变稳定可靠性分析理论，得到优化后随时间变化的盘式制动器系统复特征值阻尼比概率分布和可靠度指标与可靠度，如图5、图6和表7所示。

表7 优化后随时间变化的制动器稳定可靠度指标和可靠性

综合图5、图6和表7可知:优化后阻尼比的概率密度函数曲线整体右移，在t＝12h时，概率密度函数图像基本位于横坐标-0.01右侧；在t∈[0，12h]，尽管系统的可靠度指标随着制动器的磨损在减小，但当t＝12h时，可靠度指标为2.89，对应的系统稳定可靠度从31.21%提升至99.81%，可以认为系统足够稳定。故优化后的制动器系统在设计使用周期内稳定可靠，优化的效果良好。

5 结论

针对制动器在使用周期内的磨损导致制动器可靠度降低的问题，本文中基于可靠性分析理论，提出了盘式制动器时变稳定可靠性分析方法和优化方法，主要研究结论如下。

图5 优化后第7阶阻尼比概率密度函数随时间变化曲线

(1)采用随机参数和随机过程参数对制动器系统进行描述，将制动盘和制动片的厚度描述为时间t的函数，可建立含随机参数和时变随机参数的盘式制动器稳定可靠性模型，进行制动器在使用过程中的可靠性动态预测。

(2)以复特征值阻尼比负值的最小化为优化目标，利用时变可靠性分析理论和遗传优化方法，对某车浮钳制动器系统的支撑背板的密度和厚度进行优化，成功提高了制动器使用后期的稳定可靠度，表明本文方法能有效用于提高制动器系统在设计周期内的稳定可靠性。

图6 优化后系统稳定可靠度指标随时间变化曲线