基于灵敏度分析的筒弹吊具支撑臂轻量化设计

唐伟峰，屈彩虹

（海军航空工程学院飞行器工程系，烟台，264001）

0 引 言

现有某型筒弹吊具，其上装有用于安装其它辅助设备的紧固装置，紧固装置两侧装有支撑臂，根据使用要求，支撑臂采用了如图 1所示外形设计。支撑臂一端安装于固定装置上，一端悬吊重物。在实际使用中，为减轻操作强度，需对支撑臂进行轻量化设计。

支撑臂的轻量化研究，属于结构优化的一种，其基本外形如图1所示。

图1 支撑臂结构示意Fig.1 Support Arm Construction

设计要素包括优化目标、优化参数和约束条件。优化目标即达到质量最小化；优化参数包括支撑臂在横向、纵向 2个方向的壁厚，支撑臂长度为定值；约束条件是该支撑臂满足刚度要求。本文首先根据支撑臂的初始尺寸参数及刚度的约束条件，研究2个部位，即横板、侧板壁厚值的改变对刚度、挠度、质量的灵敏度，再研究得到质量对刚度、挠度的灵敏度，最终确定合理的壁厚参数实现支撑臂轻量化设计目标。

国内外的文献中以灵敏度方法研究轻量化问题的很多，有不少方法值得借鉴。文献[1]中阐述改变机床立滑板和立柱的厚度，分析不同厚度情况下的构件刚度，进而通过数据拟合方法得到构件质量对刚度的灵敏度；文献[2～4]提出了多种计算灵敏度方法，但在研究具体模型时，均以理想化的状态进行研究。

1 支撑臂初始设计条件

支撑臂其剖面如图2所示，材料为合金结构钢，采用铣削方法一体成型。其中，横板厚度为1b，侧板厚度为2b。

图2 支撑臂剖面结构Fig.2 Support Arm Profile

支撑臂总长 0.4 m，支撑臂横板长 0.35 m、宽0.025 m、高（厚）0.005 m；支撑臂侧板长0.35 m、宽 0.025 mm，高（厚）0.005 m；支撑臂连接板长0.025 m，宽 0.025 m，高 0.006 mm，其上孔直径0.01 m。横板的厚度1b，侧板厚度2b为变量。研究在满足刚度的条件下，2个变量对刚度、挠度、质量最为灵敏的参数值，通过优化设计使得支撑臂质量最小。根据使用及设计的要求，侧板与横板的初始设计壁厚为0.005 mm，支撑臂的一侧连接板2通过铰链安装于基座上，一侧连接板1悬吊设备，所受载荷为静载荷F1，大小为F1=20 kg，Fx，Fy为铰链固定端的支承反力，G为重力，M为力偶，如图3所示。根据构件设计要求，以屈服极限sσ为设计标准，安全系数取1.5，横板、侧板厚度变化范围在0.004～0.006 m之间。

图3 支撑臂受力Fig.3 support arm force

分别以1b、2b为设计变量，质量最小为目标函数，以支撑臂的刚度为约束条件，采用子问题逼近法，即零阶法，设置优化迭代次数为50次[5]。应力集中点的最大应力值在实际设计中应小于支撑臂材料屈服极限的许用应力值，但在本文中仅作灵敏度的趋势分析，因此只要应力集中点的最大应力值小于支撑臂材料屈服极限即可，在此基础上研究壁厚对刚度、质量的灵敏度值。

2 支撑臂分析

在Ansys中对支撑臂进行建模，材料选40Cr，弹性模量为 200 GPa，泊松比 0.3，屈服强度极限为785 MPa。支撑臂由连接板、横板、侧板3部分组成，对3部分分别建模将其耦合在一起，单元类型选择为SOLID185[6]，约束支撑臂一端面及销钉孔位移，以消除整体刚性位移，在支撑臂另一端连接板销钉孔处施加向下载荷。

2.1 支撑臂应力分析

为方便分析，取横坐标为厚度变量，纵坐标为应力值。当1b=5 mm，2b=5 mm，最大应力值出现在支撑臂施加约束的连接板处，达666.217 MPa，如图3所示。图4为横板4 mm、侧板5 mm时应力。

图3 壁厚均为5mm时应力Fig.3 Stress of Wall Thickness 5mm

图4 横板4mm、侧板5mm时应力Fig.4 Stress of Cross-plate 4mm, Side Plate 5mm

令1b，2b分别在[4,6]的区间内变化，变化量为0.2 mm，对支撑臂不同尺寸时的应力状态进行分析，找到其危险区域及最大应力值，得到其应力数据，并对数据进行拟合。

保持侧板厚度2b=5 mm不变，改变横板厚度1b，得到一组应力数据，对所得到的应力数据进行拟合，得到如图5所示曲线。保持横板厚度1b=5 mm不变，改变侧板厚度2b，对所得到的应力数据进行拟合，得到如图6所示曲线。

图5 横板变厚度的应力曲线Fig.5 Stress Curve of Varying Thickness of Cross-plate

图6 侧板变厚度的应力曲线Fig.6 Stress Curve of Varying Thickness of Side Plate

在文中支撑臂的受力及使用条件下，由图5可知，横板厚度的改变对应力变化呈二次曲线走势，同样由图6可知，侧板厚度的改变对应力变化亦呈二次曲线走势。随着厚度增加，当侧板厚度与横板厚度相同时，应力会达到峰值；当单一的某个厚度继续增加，应力会下降，说明当横板与侧板存在厚度差时，最大应力值较低，且厚度差越大，最大应力值越小。因此若要减少横梁的最大应力值，加大横板与侧板的厚度差很关键。对图5所得到的曲线进行二次拟合得到式（1），对图 6所得到的曲线进行二次拟合，得到式（2），分别为

式中1σ为横板厚度与应力的关系；2σ为侧板厚度与应力的关系。

2.2 支撑臂挠度分析

为方便分析，取横坐标为厚度变量，纵坐标为位移值。当1b=5mm，2b=5mm，最大变形出现在支撑臂施加载荷的连接板处，达到3.7194 mm，如图7所示。

图7 壁厚均为5mm时位移Fig.7 Wall Thickness 5mm, Displacement 5mm

图8 横板4mm侧板5mm时位移Fig.8 Displacement of Side Plate 4mm Horizontal Plate 5mm

令1b，2b分别在[4,6]的区间内变化，变化量为0.2 mm，对支撑臂不同尺寸时的挠度状态进行分析，找到其挠度变形的最大位置，得到其位移数据，并对数据进行拟合。

当保持侧板厚度2b=5 mm不变，改变横板厚度1b，得到一组位移数据，对该组数据进行拟合得到图9所示曲线。

图9 横板变厚度的位移曲线Fig.9 Curve of Displacement for Varying Thickness of A Plate

由图9可知，横板厚度的改变对挠度变形变化呈二次曲线走势，当两板厚度相同时，位移达到最大；当横板与侧板厚度存在的厚度差越大，挠度变形越小。

保持横板厚度1b=5 mm不变，改变侧板厚度2b，对所得到的应力数据进行拟合，如图10所示。

图10 侧板变厚度的位移曲线Fig.10 Displacement Curve of Variable Thickness of Side Plate

由图10可知，侧板厚度的改变对挠度变形变化呈直线走势，随着侧板厚度的加大，挠度变形逐渐减小。因此，若要减少横梁的挠度位移，应加大横板与侧板的厚度差，且侧板厚度值越大，横板厚度值越小，挠度位移越小。对图9所得到的曲线进行二次拟合得到式（3），对图 10所得到的曲线进行二次拟合，得到式（4），分别为

式中1δ为横板厚度与位移的关系；2δ为侧板厚度与位移的关系。

2.3 支撑臂质量分析

质量的一般表达式为式中 m为质量，单位kg；ρ为密度，单位kg/m3，1x为横板长度，1x=0.35m；1y为横板宽度，1y=0.025 m；z1为横板高度， z1= b1m； x2为侧板长度， x2=0.35 m；y2为侧板宽度，y2=0.025 m；z2为侧板高度，z2= b2m。本文主要研究横板、侧板的厚度变化对质量的灵敏度，亦即长度、宽度不变，厚度改变。横板两侧各有侧板，因此总质量为

3 灵敏度分析

从灵敏度分析法的本质来看，是函数对变量的求导。若函数与变量为线性关系，灵敏度为该函数的斜率[7]。

3.1 壁厚对质量的灵敏度

由表达式（6）可见，密度、长度和高度均为定值，质量最终是由1b、2b所决定的。利用式（6）分别对变量1b、2b求导，得到：

式中 A1为以横板厚度为变量时支撑臂的单位面积；A2为表示以侧板厚度为变量时支撑臂的单位面积；A1，A2单位均为m2。由式（9）、式（10）可知，支撑臂质量对侧板厚度2b的变化更为敏感。

3.2 壁厚对应力的灵敏度

根据式（1）和式（2），分别对1b、2b求导，得：

由式（11）和式（12）可看出，应力对横板厚度1b的变化更为灵敏。

3.3 壁厚对位移的灵敏度

根据式（3）和式（4），分别对1b、2b求导，得：

由式（13）和（14）可看出，位移对横板厚度1b更为灵敏。

3.4 质量对应力和位移的灵敏度

某个厚度尺寸的质量对应力的灵敏度，可以表示为式（8）的偏导，则，

因此质量对应力的灵敏度为

同理，质量对位移的灵敏度为

由式（11）至式（14）可知，1b对应力和位移的灵敏度较大；由式（16）至式（19）可知，横板的位移和应力对质量变化的灵敏度大。

3.5 轻量化设计

支撑臂设计的目标是减小质量，保证必要的刚度，满足挠度变形的要求。初始设计值1b=0.005 m，=0.005 m，在满足相应的条件下，实现支撑臂质量的最小化，应力安全系数i取1.5[8]。

经计算，当1b=0.004 m，2b=0.006 m时，其质量为0.1232 kg，其最大应力值为660.221 MPa，位移为3.4 mm；当1b=0.005 m，2b=0.005 m时其质量为0.113 75 kg，最大应力值为 666.217 MPa，位移为3.56 mm，从计算结果可以看出，应力值超出了要求，说明材料无法满足该使用场合，但根据变化的趋势可知，当1b=0.004 m，2b=0.006 m时，应力值最小，位移最小，且质量减少了 7.67%，即选用其它屈服强度更高的材料，按照上述尺寸进行设计，可以达到应力最小，变形最小，质量最小的设计目标。

4 结 论

根据支撑臂实际使用环境，在理论上分析了支撑臂应力、挠度的变化规律，以该结论为基础，研究支撑臂横板、侧板厚度的变化对支撑臂最大应力、挠度位移以及质量的灵敏度问题。通过对最大应力值、挠度位移的数据进行分析拟合，分别得到了壁厚、质量对最大应力、挠度位移的灵敏度表达式。根据约束条件，优化了支撑臂的参数，实现支撑臂的轻量化设计。根据本文的分析结果，支撑臂横板壁厚对应力和挠度的灵敏度要大于侧板壁厚，因此在实际设计中，对于横板壁厚参数的调整必须慎重，需要进行全面衡量。但本文所讨论的问题只是对支撑臂的基本模型进行的理论分析，实际的支撑臂结构在内部略有不同，且工艺设计的优化会使得实际的应力值与软件分析得到应力值有所差别，但这并不影响灵敏度的大小，因此论文的结果完全能够为支撑臂实际设计提供理论依据。