探究不等式的有解问题

李 沐

(河北省实验学校 050000)

已知不等式有解，求参数的取值范围问题，常用方法是转化为最值问题，利用最值建立含参数的不等式，得到参数的取值范围，即依据“若f(x)>0有解，则[f(x)]max>0；若f(x)<0有解，则[f(x)]min<0”的原理求解．

类型1 若不等式在给定参数范围内有解且可分离参数，求x的取值范围问题

例1 若存在a∈[1，3]，使得关于x的不等式ax2+(a-2)x-2>0成立，求实数x的取值范围．

评注本题是抓住给定参数a的取值范围，灵活地变换主元，将不等式转化为关于参数a的一元一次不等式，利用一次函数的性质，求出最大值，成功地为后继解题提供了便利．

类型2 若不等式在给定参数范围内有解，但不可分离参数，求x的取值范围问题

例2 对实数a∈[-2，0]，若关于x的不等式x2+(a-6)x+4-2a+a2>0有解，求实数x的取值范围．

解析本题已知a的取值范围，要求x的取值范围，又不等式中参数a是不可以分离出来的，但可以转化为关于a的一元二次不等式，即a2+(x-2)a+x2-6x+4>0在a∈[-2，0]时有解．

设函数g(a)=a2+(x-2)a+x2-6x+4，则当a∈[-2，0]时，有[g(a)]max>0．

评注若抛物线的开口向上，求闭区间上的最大值时，通过找到区间中点，根据对称轴的变化分两段讨论就行了．求解本题的关键是变化主元，充分利用给定参数的取值范围．

类型3 已知不等式在实数集上有解，求参数的取值范围部问题

例3 已知函数f(x)=x2，g(x)=x-1，若存在实数x使f(x)

解析f(x)

故实数t的取值范围是(-∞，0)∪(4，+∞)．

评注本题是化为一元二次不等式问题后，利用二次函数求出最小值，然后建立关于参数t的不等式，求出参数t的取值范围．

类型4 若已知不等式在给定范围内有解，求参数的取值范围问题

例4 设关于x的不等式ax2-2x-2>0在区间[1，2]上有解，求实数a的取值范围．

解析因为x∈[1，2]，所以x2>0．

评注本题是在给定区间上不等式的有解问题，如果直接求最值，则比较烦琐.我们这时将参数分离，再构造函数求出最值，再根据有解原理求解，这样就简化解题过程．

通过以上几例的求解可以帮助同学们把握这类不等式有解问题，同学们也可以与不等式恒成立问题作一下比较，深刻地去理解.