中考以圆为背景的最值问题

程志南

(海南省琼中县中平(南方)学校初中部 572915)

一、应用轴对称性

例1 (2016·黑龙江龙东)如图1，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为 .

分析直接求解两线段和PA+PB的最小值比较困难，考虑到圆的对称性，故可作出某一点(如点A)的对称点A′，此时PA′+PB=PA+PB.根据“三角形任意两边之和大于第三边”，可知A′B≤PA′+PB=PA+PB，由“两点之间线段最短”知A′B即为所求.

评注本题实际上是“将军饮马问题”融进圆中动点问题.考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理和解直角三角形，熟记定理并作出图形，将问题转化为求另一条线段的最值是解题的关键.此类问题用“将军饮马的思想”去解决，先作对称点，然后连结求最值.

二、应用垂线段最短

分析由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF的长度有最小值.

评注本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用.关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形.

三、应用极值法

例3 (2016·四川泸州)如图3，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(1-a，0)，C(1+a，0)(a>0)，点P在以D(4，4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是____.

分析由题意∠BPC=90°和A、B两点坐标，可知PA=AB=AC=a，求出⊙D上点P到点A的最大距离即可解决问题，而这个最大距离的点P′就在圆外一点A到圆上的最远点.

解∵A(1，0)，B(1-a，0)，C(1+a，0)(a>0)，∴AB=1-(1-a)=a，CA=1+a-1=a，∴AB=AC.∵∠BPC=90°，∴PA=AB=AC=a.延长AD交⊙D于P′(如图4)，此时AP′最大.∵A(1，0)，D(4，4)，∴AD=5，∴AP′=5+1=6，即a的最大值为6.

评注本题将最值问题融进圆背景中，考查圆、最值问题、直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现PA=AB=AC=a.找出动点的极端位置往往能确定最值，而图形的性质最容易在极端状态和临界情形显露出来，所以在解决最值问题时，常常利用极端、临界元素进行突破.

四、应用切线的性质

例4 (2010·江苏苏州)如图5，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心坐标为(-1，0)，半径为1.若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是( ).

分析关注△ABE，由于△ABE的底边BE上的高OA是定值，若△ABE面积的最小，则BE最短.可以判断当AD与⊙C相切时，BE最小.

评注本题主要考查了坐标与图形的性质、勾股定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的求法等知识.能够正确判断△ABE面积最小时AD与⊙C的位置是解题的关键.