轴承滚动体初始相位对转子系统振动特性的影响

边子方，张慈，王菲，罗忠

(东北大学 a.机械工程与自动化学院；b.航空动力装备振动及控制教育部重点实验室，沈阳 110819)

滚动轴承是航空燃气涡轮机等旋转机械中的重要部件，其非线性特性对转子系统的振动响应与运行稳定性有重要影响。在转子系统运转时，由于装配等因素的影响，轴承的滚动体分布并不完全一致，这必然导致支承处的非线性轴承力存在差异，进而影响转子系统的运动响应。目前国内外学者大多关注滚动体个数、波纹度、游隙及表面损伤等因素对系统振动特性的影响。文献[1]对不同滚动体个数和波纹度下的转子系统振动响应进行分析，指出轴承的滚动体个数和波纹度是影响转子系统运动响应的重要因素；文献[2]研究了轴承波纹度的非均匀分布对转子系统振动特性的影响；文献[3]建立了考虑轴承内外圈滚道表面波纹度的轴承模型，分析了波纹度对转子系统振动响应的影响，指出当外圈的波纹度波数与滚动体数相同时，转子系统会产生强烈振动；文献[4]根据分形理论应用G-P算法计算了不同波纹度最大幅值时的关联维数，发现当转子系统处于混沌状态时，随着轴承波纹度最大幅值的增加，由系统位移构成的时间序列的关联维数相应增大。文献[5]建立了对称放置的转子系统，分析了轴承游隙等因素对转子系统振动特性的影响，指出适当的游隙可以避免转子系统的非周期振动；文献[6]研究了轴承游隙对于滚动轴承-偏置转子系统振动特性的影响；文献[7]利用有限元方法在某型真实发动机模型的基础上建立复杂支承-机匣-转子系统模型，分析了轴承游隙对转子运动响应的影响，并在不同转速和游隙下对轴承各个滚动体的受载状态进行研究，指出由轴承游隙造成的滚动体不连续的受载状态是导致转子系统不稳定振动的主要原因；文献[8-9]指出滚动轴承-转子系统中的次谐波频率成分主要与非线性轴承力和轴承游隙有关。针对轴承表面损伤对转子系统运动响应的影响，文献[10]将轴承内外圈与滚动体的接触视为弹簧阻尼单元，建立了含有轴承损伤的转子系统动力学模型，并通过试验进行验证；文献[11]研究了轴承不同位置的损伤对转子系统振动特性的影响，研究表明轴承损伤会引起系统混沌区域增加，外圈损伤对系统非周期运动影响较小；文献[12-13]对具有轴承局部损伤的转子系统的振动特性和稳定性进行研究，指出当轴承内圈和滚动体具有损伤时，系统振动较为剧烈。

除滚动体个数、波纹度、轴承游隙和表面损伤外，轴承润滑、装配工艺等因素对于转子系统的振动响应也具有重要影响。文献[14]基于弹性流体动力学润滑理论分析了轴承润滑对转子系统振动特性的影响；文献[15]对航空发动机轴承外圈的装配工艺进行研究，指出轴承外圈与轴承座的配合是引起发动机振动异常的敏感因素，而轴承外圈拧紧力矩对转子系统的振动不敏感，轴承座与外圈之间的间隙将引起系统次谐波、高倍频的振动；文献[16]对涡轮风机转子系统、高速机械转子系统、高速发电机转子系统进行分析，指出在转子系统转速较高时，应该考虑轴承的离心力和陀螺效应；文献[17]将轴承保持架和滚动体看作不连续碰撞的振动系统，建立了一维不连续保持架-滚子碰撞模型，对转子系统的振动响应、运动稳定性和可靠性进行分析。

多数文献均假定转子系统两端的轴承滚动体在运转过程中分布保持一致，忽视了滚动体分布对系统振动特性的影响。当滚动轴承滚动体分布不一致时，转子系统两端的非线性轴承力呈现非对称分布，会引起转子系统摆振[6]；文献[8]使用滚动轴承-转子试验台进行试验验证时，在每次试验前调整滚动轴承滚动体的分布，以保证试验结果和其理论分析一致。可见，转子系统两端滚动轴承滚动体的分布对转子系统非线性振动特性具有一定影响。因此，主要针对滚动轴承滚动体的不同分布对转子系统非线性振动特性的影响进行研究，以期为转子系统的非线性特性分析与试验提供参考。

1 系统动力学模型

建立对称的轴承-刚性转子系统动力学模型，如图1所示。以转子中心为原点，建立固定坐标系Oxyz，2套轴承均为SKF 6002高速深沟球轴承，假设在转子系统运转过程中，球在沟道内均匀分布且作纯滚动。

图1 滚动轴承-转子系统动力学模型Fig.1 Dynamic model of rolling bearing-rotor system

1.1 滚动轴承的非线性接触力

1.1.1 滚动轴承运动学

滚动轴承运动学模型如图2所示，图中：数字代表球的序号；D为轴承外径；d为轴承内径；θ0为转子静止时1#球与x轴的初始夹角；Z为球数；ωb为球的公转角速度；t为转子系统运转时间。

(a)静止 (b)滚动图2 滚动轴承运动学模型Fig.2 Kinematics model of rolling bearing

设轴承内圈角速度为ωi；外圈角速度为ωe；转子角速度为ω。将内圈与转轴视为一体，外圈固定于轴承座，轴承座静止。因此ω=ωi，ωe=0，由此可得

(1)

1.1.2 滚动轴承非线性接触力

球与沟道之间由挤压变形而产生的变形载荷可根据Hertz弹性接触理论计算[18]

Fj=Kb[δjH(δj)]1.5，

(2)

δj=xccosθj+ycsinθj-Gr，

式中：Fj为第j个球产生的载荷；Kb为Hertz接触刚度；H(·)为亥维赛函数，当函数变量大于0时，函数值为1，否则为0；δj为第j个球与沟道接触产生的接触变形量；xc为内圈中心径向位移；yc为内圈中心水平位移；Gr为轴承径向游隙；θj为第j个球的转动角度，相邻两球的转动角度相差2π/Z，由图2可知

(3)

球的初始角度决定了其分布位置。

将滚动轴承产生的非线性力Fb分解到x，y方向上可得

(4)

(5)

1.2 转子模型

轴承-转子系统在运转过程中，球分布不均匀可能导致两端轴承产生的非线性力大小不等，使转子系统在运转过程中出现轻微摆动，因此模型中须考虑转子系统的位移变化和摆动角度变化。

1.2.1 转子位移方程

在固定坐标系Oxyz中，设转子圆盘中心W的坐标为(x,y)，圆盘质心P的坐标为(xP,yP)，圆盘的偏心距为e，将其运动看作圆盘中心W随质心P的平面运动和相对于质心P的转动，转动角度为φ，如图3所示。

图3 转子运动示意图Fig.3 Motion diagram of rotor

圆盘质心P的坐标与圆盘中心W坐标之间的关系为[19]

(6)

根据Newton定律可列出转子平动微分方程为

(7)

(8)

式中：m为转子质量；Fx，Fy分别为转子系统在竖直方向和水平方向受到的径向合力。

在转子系统运转过程中，其承受2套轴承的非线性轴承力和阻尼力，由此可得

(9)

(10)

式中：F1bx，F2bx分别为轴承1，2产生的非线性力在竖直方向的分量；F1by，F2by分别为轴承1，2产生的非线性力在水平方向的分量；c为轴承阻尼系数；Fr为转子系统受到的径向外载荷。

将(9)，(10)式分别代入(7)，(8)式可得

(11)

(12)

1.2.2 转子摆动方程

转子摆动示意图如图4所示。假设转子首先绕固定坐标系Oxyz的x轴旋转角度α，得到摆动坐标系Oxy′z′，然后绕摆动坐标系Oxy′z′的y′轴旋转角度β，得到随转子摆动的坐标系Ox′y′z″[19-20]。

图4 转子摆动示意图Fig.4 Swing diagram of rotor

将转子在坐标系Ox′y′z″中的转动惯量分解至固定坐标系Oxyz可得

(13)

式中：Lx，Ly分别为转子沿固定坐标系Oxyz中x，y轴的转动惯量；Id为转子的赤道转动惯量；IP为转子的极转动惯量；rd为转子半径；H为转子厚度。

由于摆动角度α和β很小，根据动量矩定理可得转子系统摆动微分方程为

(14)

(15)

转子系统在运转过程中承受由2套轴承的非线性轴承力与阻尼力形成的力矩，由此可得

(16)

(17)

式中：l为2套轴承的间距。

综上可得转子系统动力学方程为

(18)

(19)

(20)

(21)

1.3 计算参数

相关参数如下：m=2.4 kg，rd=100 mm，H=16 mm，l=340 mm，e=0，Kb=7.055×109N/m，D=32 mm，d=15 mm，c=200 Nm/s，Gr=0.02 mm。采用Runge-Kutta变步长数值积分方法对转子系统振动微分方程进行求解。设轴承1与轴承2的初始角度差为Δθ0，主要研究3种不同工况(图5)下转子系统的振动特性。

图5 不同工况示意图Fig.5 Diagram of different operation condition

2 轴承-转子系统振动特性分析

2.1 转速对转子系统振动特性影响

不同工况下轴承-转子系统质心随转速变化的竖直方向位移分岔图如图6所示,不同转速下转子系统的动力学响应图如图7—图9所示。

图6 位移分岔图Fig.6 Displacement bifurcation diagram

图7 工况1下转子系统动力学响应图Fig. 7 Dynamic response diagram of rotor system under operating condition 1

图8 工况2下转子系统动力学响应图Fig.8 Dynamic response diagram of rotor system under operating condition 2

图9 工况3下转子系统动力学响应图Fig.9 Dynamic response diagram of rotor system under operating condition 3

2.1.1 工况1

从图6a和图7可以看出：

1)当1 000 r/min≤n<2 400 r/min时，转子系统经历周期运动。图7a中只有一个点，说明系统处于周期运动。

2)当2 400 r/min≤n<6 400 r/min时，系统经历周期运动和混沌运动。图7b呈现无规则不可数的点集，说明转子系统在n=4 900 r/min时处于混沌运动；图7c呈现离散的点，图7d呈现离散的谱线，频率成分均为96 Hz的倍频，证明转子系统在n=6 000 r/min时处于周期运动。

3)当6 400 r/min≤n<9 300 r/min时，转子系统经历周期运动。图7e呈现可数的离散点，证明转子系统处于周期运动。

4)当9 300 r/min≤n<13 200 r/min时，转子系统经历混沌运动，运动响应复杂。图7f呈现无规则不可数的点集，说明系统处于混沌运动。

5)当13 200 r/min≤n<13 600 r/min时，转子系统经历短暂的拟周期运动。图7g中映射点呈现封闭的曲线，图7h呈现离散谱线，出现不可通约的频率成分，证明转子系统处于拟周期运动。图7h在变柔度(VC)频率646 Hz处出现峰值，说明系统仍以变柔度振动为主。

6)当13 600 r/min≤n<15 000 r/min时，可以明显看出转子系统呈周期运动。

由此可知：当轴承相位角度相同时，随着转速的增加，转子系统在周期运动、拟周期运动和混沌运动之间交替变化。转子系统振动响应的混沌区域发生在转速2 400 r/min≤n<6 400 r/min与9 300 r/min≤n<13 200 r/min之间。

2.1.2 工况2

从图6b和图8可以看出：

1)在较低转速下，系统经历周期运动和混沌运动，运动响应比较复杂。

2)当2 400 r/min≤n<5 500 r/min，转子系统经历周期运动，图8a中呈现离散谱线，只存在VC及2VC频率，证明系统处于周期运动。

3)当5 500 r/min≤n<6 600 r/min，系统经历周期运动、拟周期运动和混沌运动。图8b呈现离散的点，说明转子系统在n=5 600 r/min时处于周期运动；图8c呈现无规则不可数的点集，证明系统在n=5 800 r/min时处于混沌运动；图8d呈现封闭的曲线，图8e呈现离散的谱线，且出现不可通约的频率成分，证明系统在n=6 450 r/min时处于拟周期运动。

4)当6 600 r/min≤n<11 500 r/min，系统经历周期运动。图8f中只有一个点，说明系统处于周期运动。

5)当11 500 r/min≤n<13 800 r/min时，系统经历拟周期运动。图8g呈现封闭的曲线，图8h呈现离散谱线，出现不可通约的频率成分，证明系统处于拟周期运动，与图7h相比，系统频率成分发生变化，峰值频率幅值降低，峰值频率为520 Hz。

6)当13 800 r/min≤n<15 000 r/min时，转子系统明显处于周期运动。

由此可知：当轴承初始角度相差10°时，随着转速的增加，转子系统响应中存在周期和非周期(拟周期，混沌)的响应形式，混沌区域发生在转速较低时和5 500 r/min≤n<6 600 r/min之间。

2.1.3 工况3

从图6c和图9可以看出：

1)在转速较低时，系统经历拟周期运动和混沌运动，振动形式复杂。

2)当1 700 r/min≤n<5 800 r/min时，系统经历周期运动。图9a呈现可数的离散点，说明转子系统处于周期运动。

3)当5 800 r/min≤n<7 200 r/min时，系统经历拟周期运动。图9b呈现封闭的曲线，图9c呈现离散谱线，且出现不可通约的频率成分，证明系统处于拟周期运动。

4)当7 200 r/min≤n<15 000 r/min时，转子呈现周期运动。图9d呈现离散的点，证明转子系统处于周期运动。

由此可知：当转子系统两端轴承初始角度相差20°时，转子系统在大部分转速变化范围内处于周期运动，混动区域只发生在转速较低时。

2.1.4 小结

综上分析可知：

1)在相同的转速变化范围内，随着两端轴承初始角度差的增大，系统非周期运动响应区域明显缩小，且高转速下系统运动更加平稳。从能量角度来看，转子运转过程中圆盘的摆动消耗部分能量，相当于增加阻尼，因此使得复杂运动响应减少。

2)相同转速下，当转子系统两端轴承的球分布不同时，转子系统的运动形式和频率成分发生变化。因此，研究转速变化对滚动轴承-转子系统振动特性的影响时，应考虑球的分布位置。

2.2 径向载荷对转子系统振动特性影响

不同工况下，转速为8 400 r/min时转子系统随径向载荷变化的竖直方向位移分岔图如图10所示;径向载荷Fr=55 N时，转子系统的动力响应图如图11所示。

图10 n=8 400 r/min时不同工况下转子系统随径向外载荷变化位移分岔图Fig.10 Displacement bifurcation diagram of rotor system varying with radial external load under different operating conditions at n=8 400 r/min

图11 Fr=55 N时不同工况下转子系统动力学响应图(n=8 400 r/min)Fig.11 Dynamic response diagram of rotor system under different operating conditions when n=8 400 r/min and Fr=55 N

从图10和图11中可以看出：

1)两端轴承初始角度相同，当径向外载荷较低时，系统经历周期运动、拟周期运动和混沌运动。当12 N≤Fr≤51 N，56 N≤Fr≤89 N以及94 N≤Fr≤100 N时，转子呈周期运动;当51 N

2)两端轴承初始角度相差10°，当径向外载荷较低时，转子系统经历周期、拟周期、混沌运动。当20 N≤Fr≤100 N时，转子系统呈现周期运动，振动的频率成分为VC频率及2VC频率(图11c)。

3)两端轴承初始角度相差20°，当径向外载荷较小时，转子系统在周期运动与非周期运动之间交替变化，运动响应复杂。当20 N≤Fr≤100 N时，转子系统呈现单周期运动。图11d中频率成分只包含2VC频率，说明系统处于单周期运动。

综上分析可知：在相同径向载荷变化范围内，随着两轴承初始角度之差的增大，转子系统非周期运动响应区域明显缩小，径向载荷较大时，系统运行更加稳定；当径向载荷相同时，随着两轴承初始角度差增大，转子系统由拟周期运动转变为周期运动，系统的运动形式发生变化；因此，研究径向载荷变化对滚动轴承-转子系统振动特性造成的影响时，应考虑球的分布情况。

2.3 质量对转子系统振动特性的影响

不同工况下，转速为7 200 r/min时，转子系统随质量变化的竖直方向位移分岔图如图12所示；m=4 kg时转子系统动力响应图如图13所示。

图12 n=7 200 r/min时不同工况下转子系统随质量变化位移分岔图Fig.12 Displacement bifurcation diagram of rotor system varying with mass under different operating conditions at n=7 200 r/min

图13 m=4 kg时不同工况下转子系统动力学响应图(n=7 200 r/min)Fig.13 Dynamic response diagram of rotor system under different operating conditions when n=7 200 r/min and m=4 kg

从图12和图13可以看出：

1)两端轴承初始角度相同，质量较低时，转子系统在混沌运动和周期运动之间交替变化。当4 kg≤m≤10 kg时，转子呈现周期运动。图13a呈现一个点，图13b中只存在VC和2VC频率成分，证明系统处于周期运动。

2)两端轴承初始角度相差10°，质量较低时，转子系统经历周期、拟周期、混沌运动，运动响应复杂。当2.4 kg≤m≤10 kg时，转子系统呈现周期运动。图13c中只存在VC及2VC频率，证明转子系统处于周期运动，峰值频率出现在VC频率处，说明系统以变柔度振动为主。

3)两端轴承初始角度相差20°，质量较低时，转子经历周期运动和拟周期运动，运动响应比较复杂。当2.4 kg≤m≤10 kg时，转子处于周期运动，图13d中只存在2VC频率，说明系统处于单周期运动。

综上分析可知：在相同的质量变化范围内，随着轴承初始角度差的增大，转子系统非周期运动响应区域相对缩小，质量较高时转子系统均处于周期运动；在相同质量下，随着两轴承初始角度差的增大，转子系统振动的频率成分发生变化，峰值频率的幅值降低，2VC频率成分相对增强；因此，研究质量变化对滚动轴承-转子系统振动特性造成的影响时，应考虑球的分布情况。

3 结论

1)轴承滚动体的分布情况对转子系统的振动响应影响较大。在研究转速、质量、外载荷变化对滚动轴承-转子系统振动特性的影响时，应考虑轴承滚动体的分布情况。随着轴承初始角度差的增大，转子系统非周期运动响应区域相对减小，系统运行更加平稳。转子的摆动消耗部分振动能量，相当于增加阻尼，从而减小了转子系统非周期运动响应区域。

2)转子系统两端轴承初始角度差影响系统中2倍变柔度频率成分，随着轴承初始角度差的增大，系统中2倍变柔度频率成分相对增强，峰值频率幅值降低。

3)在实际试验时，可在试验前调节转子系统中轴承滚动体的分布来避免试验过程中其非对称分布对系统振动特性产生的影响，保证试验结果的准确性。