一道2017年高考试题的解法探析

近年来许多省市的高考压轴题都是导数应用问题，在考查基础知识和基本方法的同时，注重考查学生综合能力，特别是对函数与方程、化归与转化、分类讨论和数形结合等数学思想的灵活运用.本文以2017年全国新课标II卷文科压轴题为例，探析利用导数解决不等式恒成立问题的方法和策略，以期为高中数学解题教学提供参考.

1.考题再现

（2017年新课标II·文21）设函数f（x）=（1-x2）ex.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围.

2.標准解法

评注 标准答案采用分类讨论和举反例的方法.先利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而研究不等式恒成立，分三种情况讨论：①a≥1；②0

笔者通过对该问题的探析，结合学生的思维模式，给出了以下四种行之有效的解法.

3.拓展解法

解法1 分离参数法

解 当x≥0时，f（x）≤ax+1，即αx≥（1-x2）ex-1（*）对？坌x≥0恒成立.

而h′（x）=-xex（x2+4x+1）<0，所以函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，

所以h（x）

所以g′（x）<0在（0，+∞）上恒成立，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，由洛必达法则有

即当x→0时，g（x）→1，即当x>0时，g（x）<1.

因为a≥g（x）恒成立，所以a≥1.

因为（*）式对x≥0恒成立，所以由①②得a≥1.

评注 将该问题转化为学生普遍习惯采用的分离参数法，重新构造不含参的函数，再利用“洛必达法则”求解未定式的极限，该问题便迎刃而解.

解法2 二次求导法

解 当x≥0时，f（x）≤ax+1，即（1-x2）ex-ax-1≤0对？坌x≥0恒成立.

令g（x）=（1-x2）ex-ax-1，则g′（x）=ex（-x2-2x+1）-a

而g″（x）=ex（-x2-4x-1）<0，即g′（x）在[0，+∞）是减函数，所以g′（x）≤g′（0）=1-a.

当1-a≤0时，即a≥1时，g′（x）≤0，此时g（x）在[0，+∞）是减函数，

所以g（x）≤g（0）=0，故a≥1.

评注 构造新函数，对新函数二次求导，通过导函数的导数研究原函数的性质，不失为解决导数压轴题的良策.

解法3 数形结合法

解令g（x）=（1-x2）ex-ax-1，则g′（x）=ex（-x2-2x+1）-a.

因为g（0）=0，所以一定？埚x0>0，使得x∈[0，x0）时，g′（x）≤0，

即使得g（x）在[0，x0）单调递减，即g′（0）=a-1≤0，得a≥1.

评注 对函数进行图像分析也即数形结合，利用图像的直观性分析去解决问题，从而得到解题的思路和方法.

解法4 巧用结论法

解 由人教A版教材选修1-1第99页B组习题“利用函数的单调性，证明不等式，ex>x+1，x≠0”，可得ex≥x+1，将x代换为-x，则（1-x）ex≤1.

而f（x）=（1-x2）ex=（1+x）（1-x）ex≤x+1，又当x≥0时，f（x）≤ax+1，故a≥1.

评注 课本是知识和方法的重要载体，也是高考命题的主要来源，本试题充分体现了“源于教材而又高于教材”的高考命题原则.

4.教学启示

高考作为选拔性考试，关注学生数学核心素养的考查，试题往往灵活多样，作为一线教师，教学时通过对一些典型试题的探析，将它转化为教学的素材，优化教学过程，提高课堂教学的时效性；同时通过典型试题从专业知识的广度和深度上拓展充实自我，从观念、理念的更新上丰富自我，不断提升自己的教学素养.

作者简介：冯小明（1982—），男，甘肃嘉峪关人，中学一级教师，嘉峪关市优秀班主任，从事高中数学教学12年。

编辑 马晓荣