常应变率下某固体推进剂非线性粘弹性本构关系研究*

2018-07-20 00:56:18贾有军李录贤

固体火箭技术 2018年3期

陈鑫，贾有军，郜婕，李伟，李录贤

(1.西安交通大学航天航空学院，机械结构强度与振动国家重点实验室/陕西省先进飞行器服役环境与控制重点实验室，西安 710049；2.中国航天科技集团四院四十一所，西安 710025)

0 引言

固体推进剂发动机具有大推力、高可靠性、方便使用维护等优点，已成为航天运载火箭的主要动力推进装置，在世界各国航天运载技术发展中发挥着重要作用。固体推进剂是固体火箭发动机的能源材料，也是结构材料，其力学性能直接影响着整个发动机的性能。

固体推进剂力学性能的主要研究内容之一是固体推进剂的本构关系。固体推进剂在制造、贮存、使用等过程中，其力学性能受到温度、应变率的影响[1]。目前，国内外学者已经根据各种实验对固体推进剂的力学性能进行了广泛深入的研究，并建立相应的本构模型，但由于固体推进剂的力学性能十分复杂，已有的相关研究与实际需求仍然存在较大差距。如Ho[2]建立了考虑损伤、温度和应变率因素的非线性本构模型，能够预测固体推进剂高应变率下的非线性粘弹性力学响应，但温度较低时，预测效果不是很好。朱-王-唐本构模型[3-4]虽较好地考虑了准静态和动态条件，被大量运用于高聚物、炸药等脆性材料中，但只适用于变形小于20%的情况，对于高达80%以上的应变，仍需进一步完善。Schapery课题组[5-7]、孟红磊等[8]、姚东等[9]在这方面也做了大量工作，其采用宏观物理量的变化来描述固体推进剂变形时所表现出的非线性行为，回避了对微观结构的复杂分析。但是，这些非线性本构模型中一般都含有多个物理意义含糊的材料参数，且所采用的是与线性本构模型基本无关的另一套体系。

固体推进剂是典型的粘弹性材料，其粘弹性行为因应变率不同而显著不同。实验表明，不同应变率下固体推进剂的拉伸曲线差异非常明显。基于该实验现象，本文从线性粘弹性本构关系出发，研究应变率对固体推进剂材料力学性能的影响，拟发展一种参数数量少、物理意义明确的固体推进剂材料的唯象非线性粘弹性本构关系，以描述固体推进剂的实验结果，方便应用于药柱结构的实际分析，为高装填比固体火箭发动机装药结构设计提供支持。

1 线性粘弹性基本理论

单轴应力状态下材料的线性粘弹性本构关系用积分形式可表示为

(1)

式中σ为应力；ε为应变；t为时间；E(t)为材料的松弛模量。

松弛模量E(t)可通过将式(1)应用于松弛实验来获得。松弛实验是在初始时刻给定一个突变的初始应变并予以保持、然后测取应力随时间变化的实验。也就是说，在松弛实验中，其应变变化为

ε(t)=ε0H(t-0)

(2)

式中H(t-t0)为Heaviside函数。

这样，松弛实验的应变率为

(3)

式中δ(t-t0)为Dirac delta函数。

将式(3)代入式(1)，对于松弛实验，得

(4)

一般地，松弛模量可用Prony级数表示：

在给定环境温度下，对于ε0=5%，松弛实验得到的松弛模量随时间的变化如图2中实线所示。

图1 广义Maxwell模型Fig.1 Generalized Maxwell model

图2 松弛模量的实验值与理论计算值Fig.2 Relaxation modulus from test and theory

(6)

将式(6)中的参数值代入式(5)中，即得到松弛模量的表达式，预测的松弛模量如图2中各点所示。可以看出，与实验值吻合良好。

得到松弛模量后，就建立起了如式(1)的线性粘弹性本构关系。下面将该关系用于常应变率拉伸实验。

(7)

式(7)即为依据线性粘弹性本构关系得到的常应变率时的应力随时间变化关系。

考察应变率为0.02 s-1的情形，实验获得的应力-时间曲线如图3中的实线所示，根据式(7)预测的应力-时间曲线如图3中的虚线所示。可以看出，二者只在6%以内的小变形阶段具有较好的一致性；在其余的较大应变范围内，二者出现较大偏差。因而，需要研究非线性粘弹性本构关系，以期在更宽应变范围或整个过程与实验结果一致。

图3 常应变率实验结果与线性粘弹性理论计算结果对比Fig.3 Comparison of the results from the constant- strain-rate test and the theory

2 非线性粘弹性基本理论

2.1 推进剂材料非线性性能的影响因素

在第1节中，利用松弛实验获得松弛模量，进而建立了线性粘弹性本构关系。但是，如此得到的线性粘弹性本构关系对常应变率拉伸实验预测的效果并不理想，只在小变形阶段适用。随着应变增大，线性本构关系与实验曲线出现明显差异，而且越来越大，说明线性粘弹性本构关系不再适用。

虽然根据式(6)的松弛模量参数获得的常应变率应力时间关系式(7)不能很好描述实验结果，但分析式(7)函数的基本形态是一件饶有兴趣的事。直接采用式(7)对0.02 s-1的实验结果进行拟合，得到的参数值为

(8)

式(7)表示的应力随时间变化规律将如图4所示。可以看出，以式(8)代替式(6)、式(7)与实验曲线的吻合程度在整个变形过程都得到了显著改观。

图4 改进预测与实验对比Fig.4 Comparison of the results from the improved theory and the test

由此看来，在广义Maxwell模型中采用恰当的弹性模量和粘性系数，就可很好预测常应变率实验结果，进而获得相应的本构关系。由于这种本构关系中材料参数是根据常应变率实验结果拟合而得，与松弛实验获得的相应参数并不相同，其机理可解释为粘弹性元件中的弹簧和粘壶性能因应变率效应发生了改变，因而，将基于常应变率实验拟合得到的参数(如式(8))所对应的粘弹性本构关系称为应变率相关的非线性粘弹性本构关系。

2.2 非线性粘弹性本构关系

由2.1节分析可知，应变率效应使得粘弹性元件的材料参数发生变化，引起了材料的非线性粘弹性行为。据此，仿照积分型线性粘弹性本构关系，提出积分型非线性粘弹性本构关系为

(9)

式中ER(t)为非线性松弛模量，由常应变率实验确定。

仿照式(5)，ER(t)也可表示为

(10)

为便于实际应用并保证精度，对式(10)仍取二项三参数形式，即

(11)

其物理意义可表示为如图5所示的非线性三参量固体。

σ(t)=at+b(1-e-ct)

(12)

根据式(7)，不难得到

(13)

根据式(13)，可反演得到材料参数为

(14)

图5 非线性三参量固体材料参数的物理解释Fig.5 Physical interpretation of the three nonlinear parameters

式(12)的函数形式可描述多种不同形态的变化关系。例如，当b=5、c=0.1及a=-0.01时，式(12)可描述先增加后减小的形态，如图6(a)所示；当b=5、c=0.1及a=0时，式(12)可描述先增加、然后基本保持不变的形态，如图6(b)所示；当b=5、c=0.1及a=+0.01时，式(12)可描述单调增加的形态，如图6(c)所示。需要特别指出的是，这三种基本形态几乎涵盖了常应变率实验结果中应力随时间变化的各种规律，因而可用来刻画应变率对材料性能的影响。