类比法在高中数学解题中的应用

2018-07-12 02:47:00金叶

金　叶

(江苏省南京师范大学数学科学学院　210000)

一、类比法的概念

类比法是探索、解决高中数学问题的一种常用的思维方法.它把我们研究的某一个数学问题的概念、属性或解决的方法，类似地应用于另一个数学问题的概念、属性，或者解决问题的方法上.

法国著名的数学家、概率论的现代形式的奠基人拉普拉斯曾说过:“甚至在数学里,发现真理的主要工具是类比与归纳.”

类比法是最常用的逻辑推理方法，而逻辑推理是新课标中对高中数学核心素养六大内容之一.因此，为落实高中数学核心素养于课堂教学之中，研究类比法在高中数学解题中的应用，具有重要的理论与实践的意义.

在高中数学中，类比法的应用主要体现在：

1.新的数学概念、性质、原理、定理及公理等的学习.因为我们在学习新的数学知识的时候，可以通过类比，广泛地联想以前学过的知识，对新旧知识进行对比后，建立起新旧知识之间的联系，从而以最快的方式更新自我的知识体系.

2. 通过类比构建知识网络,促进知识系统的形成与掌握.

3. 利用类比启迪思维,培养解决问题的能力.

在高考解题中，类比法的应用主要体现在五个方面：平面图形与立体图形间的类比、相似数学概念间的类比、不同数学知识间的类比、解题方法自身的类比、数字特征的类比.下面以平面图形与立体图形间的类比予以举例并详细阐释.

一般地，我们把平面图形的概念、位置或大小关系与立体图形的相关概念进行类比，以利于形成在空间中的一般性结论.

类比法.

边长对应表面积，内切圆半径应对应内切球半径.

证明方法的对比：

如图1，点O为△ABC的内心，r为其内切圆的半径，则

S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO

如图2，点O为四面体S-ABC的内切球的圆心，r为其内切球的半径，则

VS-ABC=VO-ABC+VO-SAC+VO-SAB+VO-SBC

点评平面几何类比到立体几何中时，点、线、面分别类比到线、面、体.本题中既有方法的类比，也有结论的类比.

例2由图3，有面积关系:

类比法.

点评本题是从平面向空间的类比，结论与方法都具有相似性.

例3已知结论：“正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值”，将空间与平面进行类比，空间中什么样的图形可以对应三角形？在对应图形中有与上述结论相应的结论吗？

解析类比法.正三角形对应正四面体，三角形的边对应四面体的面.得到猜测：正四面体内一点到四个面距离之和为一个定值.下面予以证明.

如图5，在正三角形中，令正三角形的边长为a.

∵S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC，

如图6，在正四面体中，令正四面体A-BCD的棱长为a.则VA-BCD=VP-BCD+VP-ABC+VP-ABD+VP-ACD，

点评在正三角形中，可用面积分割法证明,而类似地，在正四面体中，可用体积分割法予以证明.

类比法应用中，常常表现为一种合情推理，其结论具有或然性，因此在解答题中运用此方法时，要确认结论的正确性时必须加以严格的证明.

总之，大胆类比，小心检验，严格论证之后，你的结论一定正确.