数形结合思想引入高中数学解题的实践分析

马新艺

(山东省泰安市第一中学　271000)

高中数学是初中数学的延伸，不仅难度更高，逻辑性也越来越强，这便对我们的基础知识以及发散性思维提出了考验.解题过程中，因为题目难度加大，为了提高解题效率与准确性，可以使用数形结合思想，一方面降低题目难度，另一方面则能够使题目更加直观地加以体现，从而快速、高效地完成解题.当前学习过程中，对于数形结合思想的运用存在一些疑惑，需要通过深入分析寻求解决方法.

一、数形结合思想应用要点

1.数学课堂学习

数学知识比较乏味，如果学习期间缺乏兴趣，很容易影响学习效果.尤其是针对函数这一类难度较大的知识点，学习起来更是提不起兴趣.如果在数学学习中应用数形结合思想，可以将抽象的数学知识转化为具体的图象，方便了理解，使数学的逻辑性减弱，从而提高数学学习效率.

2.数学作业解题

我们完成数学作业时，经常会面临一些难度较大的习题，再加上没有老师从旁引导，可能无法顺利完成求解.如果应用有效的解题方法，便可以降低难度，通过图象的解析透彻理解题目含义，从而保证作业质量，如例2，作业中有这样一道习题，如果只是单纯的读题，求解可能存在难度，这时可以借助数形结合思想.

例2已知点M(3,5)，在y轴和直线y=x上分别找一点P和N，使得△MNP的周长最小．

解析作点M(3,5)关于y轴和直线y=x的对称点M1,M2，则|MP|=|M1P|,|MN|=|M2N|，所以△MNP的周长等于|M1P|+|PN|+|M2N|,当且仅当M1,M2,P三点共线时取最小值，所以点P,N应为直线M1M2和y轴与直线y=x的交点．

作点M(3,5)关于y轴和直线y=x的对称点M1,M2，则点M1,M2的坐标分别为(-3,5),(5,3).

整理得x+4y-17=0，即为直线M1M2的方程.

二、数形结合思想在数学解题中的应用

1.在向量中应用

向量是高中数学中的知识点之一，通过学习可以了解到，教材中主要是以数、形这两个方面进行向量的研究与建构，比如向量以几何、平行四边行法则等方式表示，使向量更加体现“形”的特点.因此，学习向量这一部分知识时，最为关键的便是具备数形结合思想.因为向量坐标主要使用代数进行表示，所以针对向量问题的处理很多时候都会关注“数”，反而忽略了形.为了全面提升我们的解题水平,需要在求解向量习题时使用数形结合思想，如例3所示.

2.在集合中应用

数形结合思想在集合这一知识点中的体现，其作用是帮助我们更加形象的理解.通常集合运算其间，都会使Venn图、数轴或者直角坐标系的方式，将题目直观地体现.实际学习或者解题时，一般以Venn图来表示离散的集合元素，以数轴表示连续的集合元素，如果集合为点集，这时则可以使用直角坐标系对元素进行表示，进而完成求解，如例4所示.

例4设f(x)是定义在R上以2为周期的函数,对于k∈Z用Zk表示区间(2k-1,2k+1),已知x∈Z0时,有f(x)=x2.

(1)求f(x)在Zk上的解析式;

(2)对于自然数k,求集合Mk={a|使方程f(x)=ax在Zk上有两个不相等的实根}.

解析(1)如上图从图形可以看出f(x)=(x-2k)2.

(2)如下图由f(x)=ax,x∈Zk,得(x-2k)2=ax，

从中解得:0

3.在不等式中应用

例5已知实数a、b，满足a+b=1.求证：(a-3)2+(b+4)2≥2.

解析本题看似是不等式证明题，但是我们通过分析，不等式左端是距离的平方的形式，由已知条件，我们可以把问题转化为点在直线上的位置关系，进而由点到直线的距离公式求解.

综上所述，在高中数学解题中使用数形结合思想，能够帮助我们理解习题，降低难度，使数学习题更加具体化，从而快速完成求解，这对于我们今后数学知识的学习有非常重要的帮助.