二次函数在高中阶段的深入研究

肖　翔

(四川省兴文第二中学　644400)

一、从函数概念的拓展深入研究二次函数

函数概念拓展以后，二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)有集合A的元素x对应，记为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识.在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

1.已知f(x)=x2+2x+3，求f(x+1).

这里不能把f(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值.

2.设f(x+1)=x2-3x+1,求f(x).

这个问题理解为，已知对应法则f下，定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定义域中元素x的象，其本质是求对应法则.

一般有两种方法：

(1)把所给表达式表示成x+1的多项式.

f(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6，再用x代x+1得f(x)=x2-6x+6

(2) 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用.

令t=x+1，则x=t-1,∴f(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6,从而f(x)=x2-6x+6.

二、从图象和性质方面深入研究二次函数,提高学生的数学思维能力

研究二次函数图象应从“三点一线一开口”三个方面进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.对于二次函数的图象抛物线的开口方向、对称轴位置、定义区间三者相互制约，在具体的题型中，这三者有两定一不定，要注意分类讨论.

讨论顶点横坐标是否在这个区间中；若对称轴固定，区间变动，这时要讨论区间与对称轴的位置关系，讨论的目的是为了明确对称轴和区间的位置关系，再要据函数的单调性求最值或值域.

f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1.

(1)当t+1≤1,即t≤0时，函数在[t,t+1]单调递减，所以g(t)=f(t+1)=t2+1.

(2)当t≤1

(3)当t>1时，函数在[t,t+1]单调递增，所以g(t)=f(t)=t2-2t+2.

通过二次函数的不同区间下求最小值，锻炼了学生的思维，让学生获得了不同的最小值的体验，让学生体会到了解决问题成功的喜悦，从而培养了学生的良好的数学兴趣.

三、利用二次函数解决恒成立问题更为直观，学生易于理解

对于二次函数意义上的恒成立问题，是高中阶段解决问题的重要途径之一，这就要求对二次函数概念及其性质在理解和掌握的基础上，解决这类问题.一般情况下，对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0,x∈R)有：

1.f(x)>0在x∈R上恒成立⟺a>0且Δ<0;

2.f(x)<0在x∈R上恒成立⟺a<0且Δ<0.

由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a≥f(x)⟺a≥f(x)max，a≤f(x)⟺a≤f(x)min.

已知函数f(x)=x2+2ax+3，x∈[-4,6],f(x)>0在x∈(0,6]上恒成立，求a的取值范围．

恒成立问题是学生在学习函数与导数问题时的一个难点，在与一元不等式及二次函数的相关的类型中，利用二次函数直观的表示，并且涉及区间与对称轴的变化求解，学生易于掌握，也容易激发学生探索解决这类问题的兴趣，增加学生在恒成立问题上获得的成功体验.

通过二次函数的对比，利用函数图象的直观性让学生进行适当的联系，学生就能在不断的练习中自觉利用函数图象来进行解题.

在高中数学教学中，二次函数是重点，并且结合了其性质、区间、恒成立问题、一元二次不等式等综合考查，需要学生将固定的思维模式打破，不断充实学生的知识，通过新知识的掌握和理解不断将二次函数深化和理解.