独辟蹊径，巧妙解决数学不等式问题

江　勇

(江苏省包场高级中学　226100)

一、分类讨论，逐一分析条件

分类讨论是一种很重要的数学解题方法，它是以题目中的条件为出发点，根据题目中的条件分别推断出结果，然后将各类结果加以整合，得出最终结论.运用此方式解数学不等式问题时需要学生清晰掌握题目中的各个条件，然后用已经掌握的来逐一分析条件，得出结论.学生运用这种方法来解题可以提高学生的思维能力与解决问题的能力.因此，在面对有些不等式问题时，我们老师可以引导学生用分类讨论的思想来解题.

通过分类讨论，学生从已知的每个条件出发，对题目中的条件进行一一分析，最终得出每个条件的结论，得出整个题目的最终结论.这种方法对学生来说是最基本的方法，也是学生容易理解与掌握的.因此，我们老师在教不等式的解法时，要积极引导学生用这种方法来解题，提高解题效率.

二、增加变量，建立清晰思路

增加变量法是解决数学不等式问题的另外一种很高效的解题方法，学生一般的思路是将题目中的变量减少，但是此种方法反其道而行之，另辟蹊径来进行解题.学生在用此种方法来进行解题时比较难以接受，因此，需要我们老师花费时间来向学生耐心讲解这种方法的精华所在，这样学生才容易理解，最终灵活运用这样方法来解题.

例如，笔者在教学人教版高中数学必修五第三章“不等式”的时候，面对有些不等式问题就引导学生用增加变量的方法来解题.为了让学生掌握所学知识，笔者为学生出了一道题:在aa2b+b2c+c2a.这道题看起来比较简单，大部分学生都会将等式两边进行化简，用等式左边减去等式右边，然后分解因式，得出最终答案.但是这个解法比较麻烦，因此，笔者引导学生设c=b+m，b=a+n，并且m、n要大于0，然后代入等式，然后再用做差的方法，去掉括号，等式左边减去等式右边=mn(m+n)，由于m和n大于0，因此就可以证明出答案.

通过用增加变量的方法来解题，学生发现解题的方法可以多种多样，有时甚至与自己想的解题方法截然不同但是解题过程更高效，解出的答案也更准确.这种解题方法让学生对不等式的更多种解法充满兴趣，因此，学习的积极性也会更高.因此，我们老师要引导学生用更多出人意料的方法来解题.

三、数形结合，明确数量关系

不等式并不是只含有数字，在某些不等式中还含有参数，因此，面对含有参数的不等式，我们老师可以引导学生将解题步骤与图形相结合，借助于图形来进行解题，这样通过数形结合的方式，学生对题目中的数量关系就会更加明确，最终解出题目答案.

例如，笔者在教学人教版高中数学必修二第三章“函数与方程”的时候，就引导学生用数形结合的方式来解题.在学完本节课内容之后，课后有这样一道题需要学生来解:在a>0的情况下，解不等式ax+1>|x-2|.对于这道题来说，含有绝对值，那么用图形的方法来解题比较方便.因此，可以设y=ax+1，h=|x-2|，在坐标平面内分别画出这两条直线，解两条直线的交点.那么在x≤2时，得到ax+1=2-x，就可以得到x=1/(a-1)，那么就得到两条直线交点横坐标.那么，由所画的图就可以看出，当x>1/(a-1)时，直线y在直线h的上方，与题目中的条件相符合，就得出最终结论.

通过数形结合，将复杂的题目进行简化，题目中的数量关系也会更加明确，学生解题时会更加容易，从而对之后的不等式解题充满信心.因此，面对不等式问题，我们老师还应该用一些数形结合的方法来引导学生进行解题，不断向学生渗透数形结合的思想，最终让解题效率事半功倍.

四、配方解答，拼凑增加裂项

不等式中的有些条件并不能满足学生解题的需求，因为题目中的条件与学生的解题思路之间相差一定的系数或者项数，学生只能望着题目无从下手，从而影响了解题的进度，降低了学生的解题效率.面对这种题目，我们老师可以引导学生将题目中的项数进行拼凑，拼出自己所需要的条件，然后再用相应的方法减去拼凑的条件，从而为之后的解题铺平道路，提高解题效率.

笔者给学生出了一道题来考验他们，这道题的题目是:已知x<3/2，y=4x-1+1/(4x-6)，求函数y的最大值.那么可以通过拼凑增加裂项的方法来解答.因为x<3/2，那么就可以得到6-4x>0，那么y=4x-1+1/(4x-6)=-[6-4x+1/(6-4x)]+5≤-2+5=3.当且仅当6-4x=1/(6-4x)即x=5/4时函数值最大，这样就得出最终结果.

学生解决数学不等式问题并不是只要掌握解题方法就可以解出来的，他们需要根据不等式的题目条件以及特征在众多的解题方法中选择最合适的解题方法，这样才能提高解题的正确率，缩短解题时间.因此，我们老师除了要给学生讲述解题方法外，还需要引导学生将解题方法和所对应的题目类型一一对应，这样才能让教学效率事半功倍.