数学解题过程中的“合理性”探究

鲁　锋

(江苏省平潮高级中学　226361)

一、合情演绎，合理组合

每年的高考的压轴题中均有新信息题，这类题所涉及的高等数学背景知识点多，选拔功能强，解题难度较大.演绎是理解概念特别是新概念的一种重要手段，通过演绎可以触发知识的核心，如何突破这类问题，我们可以采用对条件进行合情演绎突破理解上的障碍，合理组合所学知识点和方法，进行合理性尝试，才能解决.

例1(2017江苏高考19)对于给定的正整数k，若数列{an}满足an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan，对任意的正整数n(n>k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”.

(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；

(2)若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，求证： {an}是等差数列.

本题的难点在于(1)“P(k)数列”是什么数列？题意读不懂.(2)如何正确的利用题中“既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列””这一条件.(3)所有这些条件与我们所学的数列知识和数列方法有何种联系？

思路突破：(1)对于“P(k)数列”，我们按照从特殊到一般的思维方法，可以取特殊的k=1,2,3代入辅助思考即可.(2)对于“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，合情演绎第(1)问的解题过程，对于数列中的恒成立表达式，合理的解决措施是赋值迭代作差处理.

正解(1)证明：因为{an}是等差数列，设其公差为d，则an=a1+(n-1)d，从而，当n≥4时，an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3.所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an，因此等差数列{an}是“P(3)数列”

(2)证明：数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此,当n≥3时，an-2+an-1+an+1+an+2=4an，……①

当n≥4时，an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an，……②

由①知，an-3+an-2=4an-1-(an+an+1)，……③

an+2+an+3=4an+1-(an-1+an)……④

将③④代入②，得an-1+an+1=2an，其中n≥4，所以a3,a4,a5,…是等差数列，设其公差为d′，在①中，取n=4，则a2+a3+a5+a6=4a4，所以a2=a3-d′.在①中，取n=3，则a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=a3-2d′.所以数列{an}是等差数列.

二、补集思想，逆向突破

在数学研究的过程中，正面演绎综合突破比较困难的情况下，可以利用数学中的补集思想，采用反面突破的方式.其中对参数的意义的思考是解题的关键.

评注参数会给问题的思考带来一些变数，也使得数学的研究变得多彩，弄清参数的意义和影响，不但能较好地理解题意，同时就可以较好地从问题的对立面进行思考,正难则反.

三、合理转化，合情化归

对于绝大部分数学问题，我们主要还是采用综合法进行分析，找出解决问题的思路.但某些具有非典型特征的数学问题，我们还是要进行合理的转化和化归，将问题化到熟悉的解法上来.教材上的例题和习题具有非常典型的思维特点，向课本题进行转化是解决非典型特征数学问题的一个有效方法，也有助于提升学生的数学学科核心素养.

分析(1)本题作为填空题的最后一题，难度很大，得分率很低.

(2)初看本题,学生第一反应是求导,高三复习时导数是求函数最值的最基本的方法,但计算量特别大,在考场很多学生放弃此题.本题学生也能想到先分母有理化，

接下来利用柯西不等式就可以求出.

(3)柯西不等式是由柯西在研究过程中发现的一个不等式，其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用，灵活运用它，亦可使一些复杂繁琐的题目简单化，从而可以拓宽解题思路，节省解题时间，提高效率.

(4)柯西不等式二维形式：若a,b,c,d都是实数，则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,

当且仅当ad=bc时，等号成立.

评注抓住式子中的特有的简洁对称特点和4个实数的特定数量关系是利用柯西不等式的关键所在.

高考的题型和知识点均具有多样性，对于压轴题要学会抓典型的特征，利用特征找出相应解题方法快速解答是我们复习的一个重要内容.

四、数形结合，优化突破

数形结合思想是高中数学的一个重要思想，其优势在于可将数学问题进行巧妙的转化，从而找出所研究的数学问题的本质：数的本质和形的本质.解析几何是利用代数来研究几何的一类数学课程，比较好地承载了形与数的问题.

分析(1)对于根式形式，其形的表现是距离问题，主要是两点之间的距离问题.两个根式相加，体现的是两个距离之和.(2)课本有“在直线l：3x-y-1=0上求一点Q，使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．”，处理方法是①A，C在直线l同侧，则通过求点C关于l的对称点C′,化为求C′A的距离；②A，C在直线l异侧，则可直接求AC的距离.

利用数形结合将代数式的精准与几何图形的直观有机地结合，可以拓展学生的解题思路，发展形象思维能力.通过数形结合，优化数学问题的处理手法，凸显数学问题的本质，从而为简洁明了地解决数学问题提供帮助.

数学思路的生成要合理，条件的分析要合理，方法的选择要合理，才能得到自己能操作的合理解法，才能以不变应万变，解决错综复杂的考试试题.