例谈向量高考复习中的六种策略

周建平

(浙师大附中(金华二中)　321004)

策略一、“投影”思想

a·b=|a||b|cosθ(其中θ为a与b的夹角)

A．b2-a2B．a2-b2

C．a2+b2D．ab

策略二、“几何”思想

利用几何意义，数形结合也是处理向量问题的重要方法，因此要灵活构建平面或空间图形，凸显向量几何本色.纵观历年向量高考试题，大多数题目都有一定的几何背景，这种命题风格充分体现了对向量本质和数形结合思想的考查，突出了对考生思维灵活性和空间想象能力的检测.

例3 (2008年浙江·理9 )已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是().

解析由(a-c)·(b-c)=0知，向量(a-c)⊥(b-c)，故联想到直径上的圆周角．构造圆O，使向量(a-c)和(b-c)的夹角恰为直径上的圆周角(如图4).

例4(2010年浙江·理16)已知平面向量α,β(α≠0,α≠β)满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°， 则|α|的取值范围是____.

策略三、“坐标”思想

由于向量既具有代数的特征，又具有几何的特征，故很多向量题，通过巧妙建立平面直角系或空间直角坐标系，构建代数与几何联系的桥梁.坐标思想应该是处理向量问题的主要方法，只要能够建立平面直角或空间直角坐标系，把点的坐标表示出来，则向量的坐标就可以求出来，“坐标法”是解决向量问题的一条重要途径，其优点是思维方式比较“固定”，学生容易掌握，关键是合理建立直角坐标系，准确算出关键点的坐标.为强化学生的“坐标”意识，可以经常提醒学生，当用别的方法难以奏效时，不妨用“坐标法”来尝试一下.

A．13 B．15 C．19 D．21

策略四、 “平方”思想

对含有向量关系的等式两边同时进行平方，实质是把向量问题转化为实数问题 .

例9(2017年浙江·理17)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2，则|a+b|+|a-b|的最大值是.

策略五、“基底”思想

根据平面向量基本定理，平面内的任一向量p都可以用两个不共线的向量a、b唯一的线性表示为p=xa+yb(x，y∈R).一般地，常选两个模长与夹角已知或易求的向量a、b作为基底，从而将其他“未知向量”化为a、b这两个“已知向量”，从而实现化繁为简、化零乱为有序.(空间向量基本定理：p=xa+yb+zc(x，y,z∈R)).

A．20B．15C．9D．6

策略六、“极化恒等式”思想

(数量积等于中线的平方减去底边一半的平方)如图10，极化恒等式的几何意义非常明显，它将数量积与三角形法则紧密的联系起来.

C．AB=ACD．AC=BC

总之，向量复习强调关注学生“六种策略”的培养，有了这“六种策略”，学生就能形成“向量思想”，能够在解决实际问题时迅速找到思维的突破口，形成有效的思维.需要指出的是，这“六种策略”对应着六种不同的解题方法，每一种方法都有其优势和局限性.学生在面对具体问题时要能够迅速作出判断，选择“最优化”的解题策略.