你看到的是点，我看到的却是函数

吴 琳

初学几何的时候，我们就知道了点动成线；初学函数的时候，我们也知道了，函数描述的是两个变量之间的关系，如果将这两个变量分别看作一个点的横坐标和纵坐标，我们就能得到函数的图像.

如果题目给出的一个点的坐标中含有参数，如点P（2m-1，4m+3），随着m取不同的值，就能得到不同的点的坐标，得到无数个点.这些点是怎么分布的呢？先采用图像法，取一些特殊值.________________________________

m 0_____________________________________（3，11）_2m-____1_4m+____3 P点坐标_-2_____-5_____-5_____（-5，-5）-1-3_____-1_____（-3，-1）-1_____3______（-1，3） （1，7）_______1______1______7_____2__3__1 1__

在平面直角坐标系中描出这些点，可以发现这些点都在同一条直线上，为什么呢？

如果设P点横坐标为x，纵坐标为y，则

①×2-②得：y=2x+5，再回头看看刚刚得出的这些点，都在直线y=2x+5上.因此虽然题目给出的只是一个点P（2m-1，4m+3），但实际上这个点在直线y=2x+5上，是一个一次函数.

通过前面这道题目我们不难看出，一个动点，如果能找出它的横坐标和纵坐标之间的关系，这个关系式，就是这个点所在的函数的图像上一点.

如“不论m为何值，点P（m-1，m2-2m-3）总在函数_______的图像上”.

解决这道题，可以设由①得，m=x+1，所以y=（x+1）2-2（x+1）-3，化简得y=x2-4.

2015年南通中考数学第28题提供的函数解析式是y=x2-2mx+m2+m-1（m是常数）.这个函数解析式可以写成y=（x-m）2+（m-1）.由于这个二次函数二次项系数为1，因此这个抛物线的形状不会改变，而顶点的坐标为（m，m-1），根据前面研究可以发现，这个顶点始终在直线y=x-1上，因此本题可理解为一个抛物线沿着y=x-1平移的抛物线组，了解到这一点之后，这道题就容易多了.

反之，如果已知一个点是函数图像上一点，也可以根据函数的解析式设出点的坐标，如：

（1）一次函数y=2x+5图像上的点可设为（m，2m+5）；

（2）二次函数y=-x2+2x+5图像上的点可设为（m，-m2+2m+5）；

（3）反比例函数图像上的点可设为

例（2017·兰州中考改编）如图1，抛物线y=-x2-2x+4与直线AB：y=2x+4交于A（-4，-4），B（0，4）两点，直线交y轴于点C.点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G.

5.6.6 电疗法 应用频率为1～100电流治疗疾病，促进局部血液循环，消炎、软化瘢痕、松解粘连;防止肌肉萎缩。

（1）连接GB、EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标.

（2）如图2，在y轴上存在一点H，连接EH、HF，当点E运动到什么位置时，以A、E、F、H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E、H的坐标.

图1

图2

【思路分析】（1）点E是直线AB上的动点，所以点E的横纵坐标满足y=2x+4，可设E（m，2m+4），同样方法可设G（m，-m2-2m+4）.根据GE=OB=4，列出一个关于m的方程，即可求出点G坐标.

（2）由于点E、F分别在直线AB、AC上，可设然后根据矩形的性质列出方程，求出m的值.

解：（1）设E（m，2m+4），

则G（m，-m2-2m+4）.

∵四边形GEOB是平行四边形，

∴GE=OB=4，

∴-m2-2m+4-2m-4=4，解得m=-2，

∴G（-2，4）.

（2）设E（m，2m+4），则

过A作AN⊥EG，过H作HQ⊥EG，垂直分别为N、Q.

∵四边形AFHE是矩形，

总之，研究动点横坐标与纵坐标之间的关系可以看出动点在哪个函数图像上运动；反之，如果已知一个点在一个函数图像上，则可以根据函数的解析式设出这个点的坐标.