向量数量积不等式的多种应用

鲍人灯

(浙江省天台育青中学 317200)

由平面向量的数量积a·b=|a|·|b|cos〈a,b〉,可以得到数量积不等式：①a·b≤|a||b|(当且仅当a与b同向时取等号)；②a·b≥-|a||b|(且仅当a与b反向时取等号)；③|a·b|≤|a||b|(当且仅当a与b共线时取等号).在解题中如果能设法构造出上述不等式的一端，然后利用数量积不等式，那么就可以求解诸多数学问题.下面分类举例说明.

一、求最值

例1 求下列函数的最大值：

总之，解题的关键是恰当的变形，使得应用数量积不等式后，消去变元，得出常数.

二、求值域

解(1)原式化成1×sin2x+1×cos2x=y-2.构造向量a=(1,1),b=(sin2x,cos2x).由|a·b|≤|a|

(2)去分母，可化成ysinx+(y-1)cosx=1-2y.

构造向量a=(y,y-1),b=(sinx,cosx),则由向量不等式得

化成y2-y≤0,从而解得值域是0≤y≤1.

点评(1)题是关于sinx、cosx的二次齐次式，(2)题是关于sinx、cosx的一次分式.这些类型的三角式值域问题，都可用本例的方法求解.

三、证明不等式

点评(1)题在运用数量积不等式后，汪意条件a+b=1,使得一端出现常数而获证.(2)题构造出m·n=2,这是解题的闪光点.

四、证明

即1≤(m2+n2)[2-(m2+n2)],(m2+n2)2-2(m2+n2)+1≤0,(m2+n2-1)2≤0,从而m2+n2=1.

点评本例变形中，关注目标式，始终把m2+n2视为一个整体，使得过程顺利.

五、解方程

点评本例运用数量积不等式取等号的条件，得到两个向量a与b同向是求解x的关键.

六、求值

点评本例使用数量积不等式的目的是减元(消去α)化简，因此构造向量a，b时，应使角α、β分别在向量a、b中.

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参考文献：

[1]霍珂.另辟捷径求最值[J].中学生数学,2014(1):22-23.

[2]胡良星.无理函数值域一例五法[J].数理天地,2011(11):14.

[3]陈启健.一个不等式的多证与推广[J].中学生数学,2013(8):7.